книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf328 Глава 8
ния (интегратор). Определите минимальную необходимую продол жительность анализа.
8 . Составьте блок-схему анализатора совместной плотности распределения.
9. Составьте блок-схему анализатора взаимной спектральной плотности.
10. Как показано в подразд. 8.4.5, сжатие масштаба времени можно использовать для сокращения продолжительности спект рального анализа. Позволяет ли сжатие масштаба времени умень шить также продолжительность измерения плотности распределе ния и корреляционных функций? Поясните ваш ответ.
z:'â
ГЛАВА 9
ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
В отличие от гл. 8 , где описаны аналоговые методы анализа, эта глава посвящена цифровым методам исследования случай ных процессов. Большая часть приведенных формул записана для случая, когда обрабатываемые данные представляют собой ди скретные временные ряды, являющиеся реализациями стационар ных (эргодических) случайных процессов. В главе рассмотрены за дача исключения тренда, цифровая фильтрация, построение ряда Фурье и быстрое преобразование Фурье, вычисление плот ностей распределения, корреляционных функций и спектральных плотностей, оценивание частотных характеристик и функций ко герентности. Изложение ведется для случаев линейных систем с одним или несколькими входными процессами. Некоторые отно сящиеся к этим разделам технические соображения приведены
вгл. 7.
9.1.Предварительная обработка данных
Вэтом разделе описан ряд основных операций, которые могут быть выполнены в цифровой форме при обработке отдельной реа лизации случайного процесса. Приводимый перечень ни в коей мере не является исчерпывающим, и его не следует автоматически применять ко всем данным наблюдений. Отдельные разделы опи сываемой ниже процедуры могут быть при необходимости исклю чены, другие, наоборот, расширены и дополнены, если этого тре
бует конкретная задача. Однако здесь указываются основные операции, которые должна выполнять цифровая ЭВМ, осуществ ляющая обработку данных наблюдений.
9.1.1.Некоторые соображения о дискретном представлении процессов
Дискрет изация процессов. Пусть в моменты времени, от стоящие друг от друга на интервал времени А/ = h, производится выборка из отдельной реализации и(() случайного процесса с не прерывным временем. Величина этого интервала определяет рас
330 |
Глава 9 |
смотренную в подразд. 7.3.1 частоту свертывания (или частоту^? Найквиста)
/с“ -25Г=Т5Г- |
<9Л> |
|
Пусть |
п = 1,2.....N, |
|
{«„}, |
(9.2) |
|
— численные значения реализации в N точках |
|
|
tn — tQJr nh, |
п— 1,2,..., N. |
(9.3) |
u(t) |
|
|
Р и с . 9.1.^Дискретное представление непрерывного процесса.
Точка t0 выбирается произвольно и в случае, если п принимает значения от 1 до N, а не от 0 до N — 1, в дальнейшие формулы не входит.
Определение объема выборки. Объем выборки N следует по возможности определять исходя из желаемой точности по следующих оценок. Правила такого выбора рассматриваются в“2 последующих разделах этой главы. Исходные данные могут быть представлены в виде
un= u (t0+nh), |
п=І,2,...,ЛГ. |
(9.4) |
Процедура дискретного представления процесса иллюстрируется рис. 9.1. Заметим, что длина реализации Тг должна удовлетво рять равенству Тт= Nh.
9.1.2. Арифметические операции над наблюдениями
Вычисление среднего значения. Выборочное среднее значение находится в виде
N |
|
и — 1 Г I X ’ |
(9.5) |
/і—1 |
<г‘ |
где N — число отсчетов, а ип — значения отсчетов. Рассчитывае
мая по этой формуле величина и представляет собой несмещенную оценку истинного среднего значения р.
Цифровые методы анализа |
333 |
*Согласно методу наименьших квадратов, последовательность коэф фициентов \bk\ выбирается таким образом, чтобы неотрицатель
ная при любых значениях b = |
(b„, blt ..., |
bk) величина |
|
N |
|
К |
|
Q (b)='£1(Un— un)2 = Y] |
2 ** (nh)k |
(9.13) |
|
п—\ |
п=I |
fc= 0 |
|
была наименьшей. Искомая последовательность коэффициентов отыскивается путем приравнивания нулю частных производных
уравнения |
(9.13) |
по переменной bt: |
|
|
|
|
dQ_ |
N |
К |
1-(ЩЧ |
|
|
|
(пНУ |
(9.14) |
||
|
дЬі |
л=1 |
|||
|
|
|
|
|
|
В результате получается система из К. + |
1 уравнений |
вида |
|||
К |
N |
N |
|
|
|
2 |
6* 2 |
(nh)k+l = 2 |
un(nh)1, |
/= 0 ,1 ,2 ...... к , |
(9.15) |
/г=0 |
л =1 |
, л = 1 |
|
|
|
решая которую, находим искомые значения [bk). В частности, при К = 0 уравнение (9.15) принимает вид
|
П—1 |
|0= |
2 |
Un (п®0> |
(9.16) |
откуда |
|
/і=і |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
(9.17) |
|
|
|
- і г І Х |
|||
|
|
/1=1 |
|
|
|
Заметим, что 6 0 |
есть просто оценка среднего |
значения р. |
|||
При К — 1 |
уравнение |
(9.15) |
запишется |
в виде |
|
|
N |
|
N |
|
|
Ьо 2 W |
+ ьг 2 |
= |
2 «л (n h y , |
/ = 0,1, (9.18) |
|
/1= 1 |
/1= 1 |
|
/1 = 1 |
|
|
что дает |
|
ЛГ |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
2 (2 ЛУ+ 1) 2 |
ип-6 2 пип |
|||
|
Ьо= |
/2= 1 |
/1=1 |
(9.19) |
|
|
УѴ (УѴ - |
1) |
|||
|
лг |
|
|
ЛГ |
|
|
1 2 2 л «„ - 6( ЛУ+ 1 ) У “л |
||||
|
/1= |
1 |
|
/1=1 |
(9.20) |
|
*1= - |
ЛУѴ (УѴ — |
1) (УѴ + 1) |
||
Цифровые методы анализа |
335 |
ных плотностей могут быть внесены сильные искажения, В част ности, совершенно недостоверной окажется оценка спектральной плотности на низких частотах. В некоторых задачах знание тренда желательно само по себе. Однако здесь нужно проявлять осторож ность: исключение тренда следует производить только в том слу чае, если его присутствие очевидно или вытекает из физических' соображений.
9.2. Применение цифровых фильтров
Фильтрацию данных наблюдений можно осуществлять с целью сглаживания процесса, выделения составляющих в от дельных частотных диапазонах и исследования их свойств. На рис. 9.3 показано действие высокочастотного и низкочастотного фильтров на процесс, состоящий из суммы гармонического ко
лебания и |
высокочастотного |
шума. |
Высокочастотный |
фильтр |
|
пропускает |
обладающий высокой частотой |
шум, а низкочастот |
|||
ный — выделяет сглаженное |
гармоническое |
колебание. |
и y(t) |
||
Общее соотношение между процессами x(t) на входе |
|||||
на выходе линейного фильтра дается |
интегралом свертки (2 .2 ) j |
||||
|
со |
|
|
|
|
|
у (0 = J Л (т) X ((—x)dx, |
|
(9.21) |
||
где h(x) — весовая функция фильтра. Его частотная характери стика представляет собой преобразование Фурье функции /і(т):
СО |
|
Н (/)= I h (т) ё_2л/7тсіх. |
(9.22) |
При построении цифрового фильтра в противоположность ана логовому случаю нет необходимости вводить условие физической осуществимости. Иначе говоря, не нужно требовать, чтобы вв ивая функция h(x) была равна нулю при т <С 0 ,поскольку дан ные могут быть накоплены в ЦВМ и в нужный момент поданы на фильтр для фильтрации их в обратном порядке.
Примеры идеальных амплитудных частотных характеристик \# (/)| низкочастотного, высокочастотного и полосового фильтров показаны на рис. 9.4. Частотные характеристики рассматривае мых ниже цифровых фильтров, которыми аппроксимируются идеальные фильтры, изображены на рис. 9.5. Такие фильтры легко программируются, причем в программе достаточно ука-
Цифровые методы анализа |
337 |
*для которого hk = h_k. Заметим, что в равенство (9.23) входят будущие значения входного процесса. Для удобства интервал дискретности Аt обычно включается в значения весовой функ ции hk фильтра. В случае симметричного фильтра эквивалентная уравнению (9.22) конечная сумма определяет фильтр, фазовая частотная характеристика которого равна нулю:
м
Н (/) —2 2 К cos (2 л//еА/). |
(9.24) |
I |
|
Если из физических соображений желательно |
получить отлич- |
, ную от нуля фазовую частотную характеристику, то это можно
'сделать используя несимметричный фильтр. Заметим, что общее число коэффициентов hk (называемых весами фильтра) в форму
лах (9.23) и (9.24) равно М. Эти веса определяются обратным преобразованием Фурье уравнения (9.24):
00 |
|
hk= J Н (/) cos (2 тг/М/) df. |
(9.25) |
Симметричные или несимметричные фильтры такого типа назы ваются нерекурсивными цифровыми фильтрами, поскольку каж дое значение выходного процесса есть результат преобразования лишь конечного числа значений процесса на входе.
П ример 9.1. |
Нерекурсивный |
низючастотный цифровой |
фильтр. Рассмотрим |
в качестве примера последовательность ве- |
|
'сов симметричного нерекурсивного низкочастотного фильтра с
идеальной частотной характеристикой |
|
||
Я (/) = ( |
1 |
При —/о < /< /о > |
(9.2S) |
1 |
0 |
при других /. |
|
Согласно формуле (9.25), веса фильтра {hk| суть |
|
||
hk= Г cos (2гфШ) df = sin(* ffiAf) . |
(9.27) |
||
«/ |
|
|
|
—/о
Таким образом, значения весов пропорциональны величине Mk,
.так что первые веса фильтра затухакт довольно медленно. На прак тике для построения подобного фильтра приходится задавать слишком много весов (1 0 0 и более), а такой метод фильтрации Считается неэффективным. Значение частотной характеристики (9.26) резко меняется от нуля к единице, в результате чего частот ная характеристика, построенная по усеченной последователь ности весов, значительно отличается от желаемой формы (9.26). Это отличие заключается, в частности, в «эффекте Гиббса» —