при иной ширине полосы пропускания. Полагая, что время осред-. нения не меняется и что при анализе используется способ истинаного осреднения, находим следующие значения максимальной до пустимой скорости развертки в каждом поддиапазоне:
В1~
5
Гц,
Ft = 90
Гц,
Rsi =
1,0
Гц/с,
ß 2= l 0
Гц,
F2 = 100
Гц,
Rs2 =
2,0
Гц/с,
B-j ~ 20
Гц,
F3 --300 Гц,
RsS=
4,0
Гц/с,
В4=
50
Гц,
Ft = 500
Гц,
4
Гц/с,
RS — 10,0
Общая продолжительность анализа составит
? > = -£ - + - ^ - + ^
+ - ^ - = 90+50 + 75 + 50=265 с.
^sa
^53
^S4
В данном случае общая продолжительность анализа равна
265 с,
или
менее 5
мин,
что
гораздо меньше продолжительности
16,5 мин, необходимой при постоянной полосе пропускания
Ве =
= 5
Гц.
Рассмотрим в заключение случай, когда при изменении поло сы пропускания изменяется и время осреднения. Пусть при ана лизе Есех частот приемлема нормированная среднеквадратичная
ошибка е =
1іѴ ВеГа =
0,20.
Тогда
максимальная
допустимая
скорость развертки в
каждом
поддиапазоне
составит
В і=
5
Гц,
Таі— 5 с,
Rs 1=
1,0
Ги/с,
, В2= 10
Гц,
Га2 =
2,5
с,
Rs2=
4,0 Ги/с,
Д ,= 20
Гц,
7 ^ =1,25
с,
Rs3=
16,0 Ги/с,
ß 4 =
50
Гц,
Таі =
0,5
с,
• Rs4 ~
100,0
Гц/с.
Общая продолжительность анализа Ts m 139 с, или приблизи тельно 2,3 мин. Из этих примеров хорошо видно, как при условии подходящего выбора полосы пропускания фильтра в анализаторе и времени осреднения можно значительно сократить продолжи тельность измерения спектральной плотности.
8.4.5. Сжатие масштаба времени
Во многих случаях верхняя граница частот, доступных для измерения на аналоговом анализаторе СП, намного выше, чем са мая высокая частота изучаемого процесса, представляющая ин терес для исследователя. Если это так, то частотный диапазон процесса можно расширить, производя запись реализации при более высокой скорости. Это позволяет расширить полосу п р о с екания и сократить время осреднения, которые используются при анализе. В результате при неизменных разрешающей способности
Аналоговые методы анализа
319
статистической точности общая продолжительность анализа уменьшится пропорционально увеличению скорости записи реа лизации.
Предположим, например, что скорость записи увеличена в г раз. Частота всех спектральных пиков при этом увеличится так же в г раз, а эффективная длина записи во столько же раз со кратится. Это означает, что ширина пропускания фильтра при заданном значении ошибки смещения возрастет в г раз, а время осреднения при заданном значении случайной ошибки во столько же раз уменьшится, т. е.
(8.33)
«"Как следует из условий (8.31), новый предел скорости развертки -станет равным
(8.34)
Это означает, что при сохранений прежних значений стати сти ч е ских ошибок увеличение скорости развертки равно возведенному в квадрат коэффициенту сжатия масштаба времени. Понятно, что частотный диапазон F, который подлежит развертке, также воз растет в г раз, т. е. F' = rF. Общая продолжительность анализа, определяемая соотношениями (8.32), составит теперь
T ; = n F 4 B '~ ( T jr ) (rF)/(rВе)= ТJ r.
(8.35)
Следовательно, сжатие масштаба времени анализируемого про цесса в г раз во столько же раз сокращает общую продолжитель ность анализа при сохранении тех же значений статистических ошибок.
Сжатие масштаба времени, очевидно, представляет собой по лезный практический прием при аналоговом измерении спектраль ной плотности, и его следует применять по возможности более часто. Этот прием служит также основой для конструирования многих спектральных анализаторов с «реальным масштабом вре мени». Приборы такого рода обычно представляют собой гибрид ные устройства, позволяющие преобразовывать поступающую на вход непрерывную реализацию в дискретный временной ряд. Полу ченная последовательность отсчетов существенно сжимается во kвремени — до 10е раз, а затем вновь преобразуется в непрерывный 'аналоговый сигнал для анализа с большой скоростью развертки
всильно расширенном диапазоне частот.
^Сжатие или растяжение масштаба времени можно использо вать также для изменения эффективной полосы пропускания. Предположим, например, что для анализа имеющейся реализации необходимо задаться полосой пропускания Ве = 1 Гц, позволяю-
-щей получить приемлемые значения ошибки смещения. Пусть
320
Глава 8
известно далее, что полоса пропускания самого узкого фильтра Q используемом спектральном анализаторе составляет 5 Гц. Тре буемой разрешающей способности можно достичь, просто подвер гая данную реализацию анализу при скорости развертки, обеспе чивающей 5-кратное сжатие реального масштаба времени. Сог ласно соотношениям (8.33), необходимая для анализа полоса пропускания фильтра в этом случае составит В'е = 5 В е = 5 Гц, как это и требовалось.
8.4.6. Характеристики полосовых фильтров
Из определения (8.28) видно, что для достаточно точного изме рения спектральной плотности необходимо знать полосу пропу-t скания фильтра в анализаторе СП. Кроме того, как следует из формулы (6.98), ширина этой полосы определяет нормированную стандартную ошибку измерения. Ширина полосы В е, входящая в указанные формулы, представляет собой идеализированную ве личину, а именно В е есть ширина полосы пропускания узкополос ного фильтра, частотная характеристика которого по предположе нию имеет прямоугольную форму. Узкополосные фильтры в ана лизаторах СП не обладают такой совершенной характеристикой. Поэтому при использовании реального анализатора СП возни кает вопрос, как правильно определить ширину полосы пропу скания, входящую в формулы (8 . 28) и (6.98).
Полосу пропускания узкополосного фильтра можно охаракте ризовать различными способами. Ниже подробно излагаются три. таких способа описания полосы, которые представляют интерес? с точки зрения задачи об измерении спектральной плотностйТ Существуют три определения полосы пропускания: п о ли с а п р о
п у с к а н и я п о у р о в н ю п о л о в и н н о й э н е р г и и В г, ш у м о в а я п о ло са п р о п у
с к а н и я В п и э к в и в а л е н т н а я с т а т и с т и ч е с к а я п о ло са п р о п у с к а н и я B s.
Если имеется некоторый линейный фильтр с частотной характе ристикой H(J), то эти три определения можно записать в виде формул следующим образом:
в г= / 2- / і > где I Н (Д) |2= | Н (Д) |2= - Ь I НтI2,
(8.36а)
СО
f \ m n \ * d f
Вп = —Ь Н - Г -
(8-36б>
СО
[fi*<ßiH*
^
= ^ ---------------
(8.36b)
\\Hlf,\*df
:
о
Аналоговые методы анализа
321
— модуль частотной характеристики (амплитудная частот
ная характеристика) при некотором значении частоты
/, \Нт \ —
максимальное значение амплитудной частотной характеристики. Полоса пропускания по уровню половинной энергии Вп оп ределяемая равенством (8.36а), представляет собой интервал М-х-кду верхним и нижним значениями частоты, при которых ча- Г* отная характеристика на 3 дБ ниже максимального ее значения. Такое определение полосы пропускания весьма удобно потому, что эту характеристику легко измерить, но с физической точки
зрения оно мало применимо к анализу случайных сигналов. Шумовая полоса пропускания Вп, определяемая формулой
(г^Збб), представляет собой полосу пропускания гипотетического прямоугольного фильтра, который пропускает сигнал с тем же средним значением квадрата, что и действительный фильтр, в случае, когда на вход подается белый шум. Другими словами, величина Впесть мера полосы пропускания, которая для фильтров, не обладающих идеальной, т. е, прямоугольной, частотной харак теристикой, удовлетворяет соотношению = BGxi Поэтому Вп представляет собой, очевидно, удобную меру для опенки полосы пропускания при использовании фильтра для измерения нормиро ванного среднего значения квадрата сигнала В' узкой полосе частот, что и требуется при аналоговом методе измерения спек тральной плотности [см. формулу (8.28)].
Эквивалентная статистическая полоса частот Вѣ, определяемая формулой (8.36в), есть полоса пропускания гипотетического пря- ^■^гольного фильтра, который пропускает сигнал с тем же сред ний значением квадрата статистической ошибки, что и действи тельный фильтр, когда на его вход подается белый шум. Другими словами, величина Bs описывает полосу пропускания фильтра, которая с технической точки зрения отвечает случаю определения нор мированного значения дисперсии оценки, входящего в формулу (6.98).
Для идеального прямоугольного фильтра все три определения (8.36) полосы пропускания эквивалентны. Однако при любой другой форме частотной характеристики они в общем случае раз личны. Отсюда следует, что полосу пропускания фильтра в ана логовых спектральных анализаторах следует калибровать с уче том ширины шумовой и статистической полос пропускания, опре деляемых соотношениями (8.366) и (8.36в).
Пример 8.4. Калибровка остронастроенного фильтра. Рас смотрим узкополосный фильтр, состоящий из резонансного остронастроенного каскада, ширина полосы пропускания которого мал<%по сравнению с центральной частотой фильтра. Амплитуд ная частотная характеристика остронастроенного ^фильтра
|Я (/)І— [ fl2 + (f_ fr)! + а:
1/2
(8.37)
a « / , .
2 + ( f +
fr)2
21-2244
i
322
Глава 8
Заметим, что максимальное значение характеристики | Н соответствует значению аргумента /= »/,. и приблизительно равно единице:
\H{fr)\ =
1 +
Го
4/*
11/2 ~ 1. а « / г.
(8.38)
а- +
Типичный график амплитудной частотной характеристики остронастроениого фильтра приведен на рис. 8.5. Этот график отражает частный случай частотной характеристики, когда ши рина полосы пропусканіи фильтра по уровню половил-' ной энергии составляет 1 /1 0 центральной частоты,
т. е. Вг = 2а = 0,1 [г.
Из формулы (8.36а) следует, что ширина по лосы пропускания этого фильтра по уровню по ловинной энергии есть, очевидно,
Br= (fr+ a ) - ( f -
—а)=2а.(8.39а)
Ширина шумовой поло-"-*4' пропускания, соглашай формуле (8.366), составит
Р и с. 8.5. Амплитудная частотная ха рактеристика остронастроенного узко полосного фильтра.
со
Вп
'л = 1 . я 2 + ( / -
fr)3 +
+ а2 + (/ + fr)*
df— ъа.
(8.396)
Наконец, из формулы (8.36в) можно найти, что эквивалентная
статистическая полоса пропускания
•>
w
а-
( і
в .
Я
а 2 + ( / - « 2
+
a2 + ( f + fr)2 äf
i g - = 2™. (S39b)
a2 + ( f - f r f
^
df
a 2 + ( H - W 2
Аналоговые методы анализа
323
'^Следовательно, ширина шумовой и ширина статистической экви валентной полос пропускания остронастроенного фильтра связаны с полосой пропускания по уровню половинной энергии следую щим образом:
Вп= ^ В г,
(8.40а)
*
(8.406)
Bs= nBr.
Полученные результаты означают следующее. Пусть предпо лагается измерять спектральную плотность при помощи ан ілизатора СП с остронастроениым полосовымфильтром, ширина
^полосы пропускания которого по уровню половинной энергии ^составляет Вг Гц. Тогда хорошую оценку спектральной плотности можно получить из формулы (8.28), подставляя в нее величину Ва
вместо В.:
т
äx(f) = 1£ r $ * ( t . f , Br)dt.
(8.41)
о
С другой стороны, точное выражение для нормированной стан дартной ошибки измерения можно найти, заменяя Ве на В/.
1
(8.42)
n ß r T
а 8.5. Измерение совместных характеристик процессов
8.5.1. Совместная плотность распределения
Пусть даны две реализации х(і) и y(t) пары стационарных слу чайных процессов, представленные в виде записей изменения напряжения. Оценку совместной плотностиѵраспределения этих сигналов можно определить по формуле (6.61) в виде
р(х,У)=
Тх,У
(8.43)
T W x W y
Здесь TXjlJ — продолжительность
одновременного
нахождения
значений x(t) и y(t) в узких интервалах изменения
напряжения
шириной Wx и Wy вольт с центральными частотами х и у вольт ^соответственно. Иными словами, оценку совместной плотности распределения получают путем выполнения следующих опера-,
ций:
% !,1 амплитудной фильтрации каждого из двух сигналов х(() и:y(t) путем пропускания их через фильтры с узкими дифферен
циальными коридорами шириной Wx и Wу вольт соответственно;
*2 ) измерения суммарного времени одновременного пребыва
ния значений сигналов в.пределах этих коридоров;
21*
324
Глава 8
3)осреднения суммарного времени пребывания сигналов £ пределах коридоров по всему интервалу Т\
4)деления среднего значения относительного времени пре бывания сигналов в пределах соответствующих коридоров на произведение значений ширины коридоров Wx Wy. Смещая цен тральные напряжения коридоров, получают трехмерный график совместной плотности распределения в функции уровней напряже- кия X и у.
Перечисленные операции выполняются при помощи аналогово го анализатора совместной плотности распределения, который в дальнейшем для краткости называется анализатором СПР. Ана лизатор СПР в сущности состоит из двух простых анализаторов^ ПР, показанных на рис. 8.2. Разница заключается лишь в том, что на схему «И», подключенную к выходу вспомогательного ге нератора тактовых импульсов, подаются сигналы с двух отдель ных анализаторов ПР, которые содержат устройства, формирую щие дифференциальные коридоры. Как только на входе вентиля сигнал одной из реализаций примет значение, попадающее в пер вый дифференциальный коридор, а сигнал второй реализации одновременно с этим примет значение, попадающее во второй дифференциальный коридор, вентиль отпирается и пропускает тактовые импульсы, показывающие общее время совместного на хождения сигналов в пределах соответствующих коридоров. По следовательность импульсов на выходе вентиля затем осредняется путем либо истинного, либо RC-ocреднения, как и в случае про стого анализатора ПР.
Разрешающая способность и время осреднения при измерение совместной плотности распределения полностью совпадают с ана логичными параметрами, полученными при измерении одномер ной плотности распределения (см. подразд. 8.2.2). Кроме того, общие ограничения, накладываемые на скорость развертки, сов падают с ограничениями, приведенными в подразд. 8.2.3. Однако в данном случае имеются два сигнала, диапазоны изменения которых подвергаются развертке. Отсюда следует, что развертку коридо ра по переменной х необходимо осуществлять во всем анализируе мом диапазоне значений x(t), тогда как коридор переменной у фиксируется в каждом из многих положений, требуемых для охвата всего анализируемого диапазона значений y(t). Если ана лизируемые диапазоны изменения сигналов x(t) и у(1) составляют Ѵх и Ѵу вольт соответственно, то минимальная необходимая про должительность анализа
(8.44а)
ПРИ ^-осреднении.
(8.446)
Xx w" ди
Аналоговые методы анализа
325
►Здесь 7ц — время интегрирования, с; К — постоянная
времени
.RC-фильтра, с; Wx и Wy — значения ширины дифференциальных коридоров, В.
8.5.2. Взаимная корреляционная функция
Пусть даны две реализации x(t) и у(і) пары стационарных случайных процессов, представленные в виде записей изменения напряжения. Оценку взаимной корреляционной функции Rxy(т) этих сигналов можно определить по формуле (6.65) в виде
т
$xy(x) = -f~ § x(t)y(t + x)dt.
(8.45)
о
Другими словами, оценку взаимной корреляционной функции получают путем выполнения следующих операций:
1) смещения сигнала x{t) относительно сигнала y(t) на время задержки т с, называемое сдвигом;
2 ) умножения значения сигнала y(t) в некоторый момент вре мени на значение сигнала x(t) в момент времени, сдвинутый назад на X с;
3) осреднения мгновенных значений произведения в пределах интервала времени Т.
Изменяя сдвиг, получают график взаимной корреляционной функции (взаимную коррелограмму).
Описанные выше операции выполняются с помощью аналого вого анализатора взаимных корреляционных функций, который
*устроен точно так же, как и показанный на рис. 8.3 коррелятор. Единственное отличие состоит в том, что входы в множительное устройство и в узел задержки независимы. Разрешающая спо собность измерений, время осреднения, скорость развертки и про должительность анализа в сущности такие же, как и в случае
измерения автокорреляционной функции (см. разд. 8.3).
8.5.3. Взаимная спектральная плотность
Пусть даны две реализации x(t) и y(t) пары стационарных слу чайных процессов, представленные в виде записи изменения на пряжения. Оценку взаимной спектральной плотности Gxy(f) этих сигналов можно получить по формулам
GxtA f)= C xy{f)-jQ xy{f),
(8.46)
т
ъ
ÖXyW = - £ r
\x ( t,f,B e)y (t,f,B e)dt,
(8.46а)
•
от
(8.466)
Qxy(П ß j r
f * (*• / ’ Ве) У• (*. А в ') dt.
О
S26 Глава 8
Здесь x(t, /, Ве) и y(te, /, Ве) — части процессов x(t) и y{t) соот ветственно на выходе узкополосных фильтров с полосой пропу
скания Ве Гц и центральной частотой / Гц. Символ y(t, /, Ве) обозначает сигнал, сдвинутый по фазе относительно сигнала y(t, /, Ве) на 90°. Другими словами, оценку взаимной спектраль ной плотности получают путем выполнения следующих операций:
1) фильтрации сигналов x(t) и у(і) по частоте узкополосными фильтрами с одинаковыми полосами пропускания Ве и с одинако выми центральными частотами;
2 ) перемножения мгновенных значений двух отфильтрован ных сигналов без сдвига фаз;
3)перемножения мгновенных значений двух отфильтрован ных сигналов, сдвинутых по фазе на 90° относительно друг друга;
4)осреднения каждого из этих двух произведений мгновен
ных значений в пределах интервала времени Т\ 5) деления этих средних произведений на ширину полосы
пропускания Ве.
Изменяя центральную частоту двух полосовых фильтров, по лучают графики действительной и мнимой частей взаимной спект ральной плотности (взаимный спектр).
Описанные операции выполняются при помощи аналогового анализатора взаимной спектральной плотности. Этот анализатор в сущности состоит из двух анализаторов СП, показанных на рис. 8.4. Различие заключается лишь в том, что вместо квадрг ю- ров в нем установлены множительные устройства и добавлен фазо вращатель, изменяющий фазу одного из сигналов на 90°. Узкополосные фильтры, установленные в двух анализаторах, должны ' быть хорошо согласованы, чтобы исключить нежелательные из менения фазы. Разрешающая способность измерений, время осред
нения, скорость
развертки
и продолжительность анализа точно
_такие
же,
как
и в случае
измерения спектральной ^плотности
(см.
разд.
8.4).
8.5.4.Частотные характеристики и функции когерентности
Как показано в гл. 6 , при оценивании’гчастотных характери стик и функций когерентности необходимо вычислять отношения измеренных значений спектральной и взаимной спектральной плотностей. Кроме того, при определении статистической точ ности оценок приходится рассматривать выражения для о ш и б о к , ^ состоящие из нескольких слагаемых. Выполнение арифметиче ских операций такого рода с помощью аналоговой аппаратуры обычно связано с большими неудобствами. Поэтому частотные
Аналоговые методы анализа
327
характеристики и функции когерентности вычисляют, как пра вило, с помощью цифровых электронных машин, как это рассмот рено в следующей главе.
Упражнения
1. Докажите, что среднее абсолютное значение |х | гармони ческого сигнала x(t) = Xsin2nft составляет (2/л)Х, как это вид
но из формулы (8.5).
2. Докажите, что соотношение (8 .8 ) справедливо при малых
значениях ошибок (е <С 1).
значение
квадрата
3. Пусть необходимо измерить среднее
для ограниченного по частоте (В = 100 Гц)
белого шума с нуле
вым
средним значением.
Нормированная
среднеквадратичная
■ошибка должна составить
0 ,1 .
а) Определите требуемое время осреднения, если использует
ся звено истинного осреднения (интегратор).
б) Полагая, что полученное в результате измерений среднее
значение
квадрата
Ф2 = 1
В2, найдите 95%-ный доверительный
интервал для оценки 'Г2.
4.
Используя зависимость (8.19), докажите, что в том случае,
когда длина реализации намного превышает постоянную време
ни К, эффективное время осреднения при измерении среднего
значения
квадрата
путем
7?С-осреднения
составляет
Т =
2К
(
{формула
(8 .2 0 )|.
пу-
5.
Если автокорреляционная функция (8.25) измеряется
'тем неоднократного пропускания реализации длиной Тг через анализатор, то при отличных от нуля сдвигах т появляются ■ошибки смещения. Укажите источник этих ошибок.
6 . Пусть спектральная плотность измеряется с помощь анализатора СП, содержащего звено для определения среднего абсолютного значения сигнала. Анализатор калиброван в расчете на измерение гауссовских процессов, для которых справедлива зависимость (8.30). Найдите ошибку калибровки в случае, когда в действительности процесс подчиняется равномерному распреде лению в интервале ±а, т. е.7
7. Пусть спектральная плотность измеряется при неизменной Полосе пропускания Ве — 5 Гц в диапазоне частот от 10 до 000 Гц и нормированная стандартная ошибка гг должна соста вить 0,10. Для измерений используется анализатор СП, содер жащий один фильтр (позволяющий осуществлять развертку по частоте) с верхним пределом 20 000 Гц и звено истинного осредне-
