книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

и максимальная допустимая скорость развертки Rs = 0,01 В/c.. Следовательно, минимальная необходимая продолжительность ана­ лиза Ts = 600 с = Юмип. Если же используется способ/?С-осред- нения, то К = 10 с и максимальная рекомендуемая скорость раз­ вертки Rs = 0,0025 В/с. Следовательно, минимальная необходи­ мая продолжительность анализа Ts = 2400 с = 40 мин.

8.3.Автокорреляционная функция

8.3.1.Основные требования к аппаратуре

Пусть дана реализация х(1) стационарного случайного про­ цесса, гре;ставленная в виде записи изменения напряжения Оценку автокорреляционной функции Rx{*) этого сигнала можно найти из выражения (6.65) в виде

Другими словами, оценку автокорреляционной функции полу­

ции (автокоррелограмму).

Эти операции выполняются с помощью аналогового анализа­ тора автокорреляционных функций, называемого в дальнейшем для краткости коррелятором. В некоторых корреляторах смеще­ ние сигнала во времени осуществляется при помощи блока маг­ нитной записи с регулируемой величиной сдвига между записью

ивоспроизведением. В других случаях для получения сдвига во времени используются линии задержки. Затем сигналы на входе,

ивыходе узла задержки перемножаются и осредняются. Осред­

нение по времени выполняется либо путем истинного осреднения, либо /?С-осреднением (см. подразд. 8.1.1). Величину сдвига во времени можно менять от нуля до наибольших вероятных значе­ ний. Так как автокорреляционная функция четная, нет ыеобхо-

димости проводить измерения при отрицательных значениях сдви­ га. Функциональная блок-схема коррелятора приведена на: рис. 8.3. Как и анализаторы ПР, описанные в подразд. 8.2.1,. коррелятор может содержа.ь набор равномерно разнесенных го­ ловок воспроизведения, которые в совокупности охватывают ис­ следуемый диапазон сдвигов. В этом случае для получения авто-

Р и с. 8.3. Функциональная блок-схема анализатора автокорреляцион­ ной функции.

коррелограммы нет необходимости в развертке по сдвигу. Заметим,,

что оценка Кх(т), получаемая по схеме рис. 8.3, найдена осредне­ нием произведения х{і — т) х (/); для стационарных сигналов тот же результат получится, если осреднить x(t) x{t + т).

8.3.2.Разрешающая способность измерений

ивремя осреднения

Как видно из формулы (8.25), для построения коррелограммы необходимо получить значения автокорреляционной функции. Rx(r) при различных значениях сдвига т. Эту задачу можно ре­ шить двумя способами. Первый способ заключается в том, что' значения автокорреляционной функции измеряются при сдвигах, равных тем значениям времени задержки, которые представляют интерес для исследователя. После каждого изменения времени задержки вновь измеряются значения автокорреляционной функ­ ции. Такой способ шаговой развертки обычно осуществляется при помощи корреляторов, в которых осредняющее устройство типа интегратора позволяет построить коррелограмму в виде по­ следовательности дискретных значений автокорреляционной функции при заданных значениях сдвига3*. Второй способ сво-1

11 Анализаторы этого типа называют обычно коррелометрами. В зависи­ мости от числа линий задержки различают двухканальные и многоканальныекоррелометры. — Прим, перев.

.непрерывном изменении сдвига в исследуемом диапазоне его зна­ чений. Способ непрерывной развертки обычно реализуется при помощи корреляторов, в которых осредняющее устройство в виде ^С-фильтра позволяет построить непрерывную коррелограмму0.

При использовании первого способа, связанного с шаговой разверткой, разность сдвигов определяет разрешающую способ­ ность измерений автокорреляционной функции. По мере уменьше­ ния этой разности разрешающая способность увеличивается. Однако число измерений, необходимых для получения автокорреляцион­ ной функции во всем диапазоне изменения сдвига, при этом воз­ растает. Таким образом, в вопросе о выборе величины единичного

•сдвига всегда приходится искать компромиссное решение между разрешающей способностью измерений и продолжительностью анализа. Понятно, что наибольшая допустимая величина сдвига, который можно задавать при анализе, зависит от точного вида коррелограммы анализируемого случайного сигнала. Можно дать, однако, следующую общую рекомендацию. Для того чтобы опи­ сать процесс на заданной частоте, необходимо иметь по меньшей мере две точки автокорреляционной функции на один цикл коле­ бания с такой частотой. Это условие есть прямое следствие того, что корреляционная функция и спектральная плотность пред­ ставляют собой пару преобразований Фурье. Таким образом, кри­ терий разрешающей способности при измерении автокорреля­ ционной функции имеет вид h ^ 1/2fm, где Іі — единичный сдвиг,с с; fm — наибольшая частота составляющей процесса, обладающей заметной энергией, Гц.

При использовании второго способа измерения, связанного

•с непрерывным изменением сдвига в процессе развертки, необхо­ димо дать несколько иную интерпретацию понятия разрешающей ■способности. Этот способ обеспечивает получение непрерывной коррелограммы (при осреднении /?С-фильтром), которая опреде­ лена для всех значений сдвига и во всем анализируемом времен­ ном интервале. Однако автокорреляционная функция при задан­ ном сдвиге представляет собой в действительности взвешенную во времени среднюю величину значений функции при всех преды­ дущих сдвигах. По этой причине резкие изгибы на коррелограмме ■сглаживаются и возникает ошибка смещения, наличие которой приводит к снижению разрешающей способности. При уменьше­ нии скорости развертки по сдвигу разрешающая способность^ измерений автокорреляционной функции повышается. Однако?- как и в случае измерений при дискретных значениях сдвига,

^ Анализаторы этого типа обычно называют коррелографами. —'Прим

>перев.

*продолжительность анализа при этом увеличивается и вновь воз­ никает необходимость в компромиссном решении между разре­ шающей способностью измерений и продолжительностью анализа. Вопрос о максимально допустимой скорости развертки при сохра­ нении принятой разрешающей способности рассмотрен в под-

разд. 8.3.3.

Общие соображения и соотношения для времени осреднения,, относящиеся к измерению плотности распределения, которые были приведены в подразд. 8.2.2, применимы и в случае измерения автокорреляционной функции. Практически наиболее целесооб­ разный способ определения автокорреляционной функции за­ ключается в выборе времени осреднения равным длине имеющей­ ся реализации, что обеспечивает получение минимальных статисти­ ческих ошибок для всех значений автокорреляционной функции. Это означает, что время интегрирования при истинном осреднении или постоянную времени фильтра при /?С-осреднении следует вычислять по формулам (8.22). Если длина имеющейся реализа­ ции не ограничена, то при выборе времени осреднения следуетруководствоваться соображениями о величине случайной ошибки,, изложенными в разд. 6.4. .

8.3.3. Скорость развертки и продолжительность анализа

При использовании многоканального коррелятора значенияавтокорреляционной функции при всех требуемых величинах. сдвига измеряются одновременно. Это означает, что продолжи­ тельность анализа точно совпадает со временем осреднения Т. Однако при анализе с помощью двухканального коррелятора зна­ чения автокорреляционной функции при различных величинах сдвига приходится измерять путем перемещения головки воспро­ изведения в новое положение во время пропускания реализации через анализатор. Если скорость развертки при этом слишком велика, то в результате анализа неизбежно вводятся ошибки.

Рассмотрим вначале способ шаговой развертки, когда исполь­ зуется истинное осреднение. Если необходимо, чтобы при каж­ дом значении сдвига измеренное значение автокорреляционной, функции содержало всю информацию, имеющуюся в реализации,, очевидно, скорость развертки должна быть ограничена величи­ ной, равной частному от деления величины сдвига на время осред— feHHB. Поэтому основное ограничение, накладываемое на ско—

ость шаговой развертки при истинном осреднении, запишется в виде

£

'8 .4 . Спектральная плотность

8.4.1. Основные требования к аппаратуре

Пусть дана реализация х(і) стационарного случайного про­ цесса, представленная в виде записи изменения напряжения. Оценку спектральной плотности Gx([) сигнала можно найти из

формулы (6.82):

т

(8.28>

"о

Здесь x(t, f, Ве) — часть процесса х(і) на выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания Ве Гц и центральной частотой f Гц. Другими словами, оценку спектральной плотности получают путем выполнения следующих операций: -J 1) фильтрации сигнала по частоте узкополосным фильтром с

полосой пропускания Д,Гц;

2)возведения в квадрат мгновенных значений отфильтрован­ ного сигнала;

3)осреднения возведенных в квадрат мгновенных значений

сигнала в пределах интервала времени Т; 4) деления этого среднего значения квадрата на ширину по­

лосы пропускания Ве.

По мере изменения центральной частоты узкополосного фильт­ ра получают график спектральной плотности в зависимости от ^частоты (энергетический спектр).

ѵ Описанные операции выполняются при помощи аналогового анализатора спектральной плотности (анализатора СП). В боль­ шинстве анализаторов СП фильтрация осуществляется путем пропускания входного сигнала через узкополосный фильтр с фик­ сированной центральной частотой, обладающий высокой изби­ рательной способностью, и гетеродинного преобразования ча­ стоты. Определение среднего значения квадрата полностью экви­ валентно измерению с помощью квадратичного Еольтметра, опи­ санного в подразд. 8.1.1. Деление на ширину полосы Ве можно осуществить путем соответствующей калибровки шкалы. Функ­ циональная блок-схема анализатора СП приведена на рис. 8.4. Как и в случае анализаторов ПР и кс ррелятсров, рассмотренных чв подразд. 8.2.1 и 8.3.1, анализатор СП может иметь набор смеж­ ных по частоте узкополосных фильтров, которые в совокупности охватывают весь исследуемый диапазон частот. При этом для 5$&мерения энергетического спектра нет несб.ході.мости в развертке по частоте. Такие анализаторы СП с набором фильтров широко применяются на практике.

Следует подчеркнуть, что анализатор СП представляет собой не^что иное, как обыкновенный гармснический анализатор с квад-

ратичным вольтметром. В обычном гармоническом анализаторе;! как правило, используется простой вольтметр переменного тока, с помощью которого измеряется среднее абсолютное значение отфильтрованного сигнала. Если заранее сделаны определенные допущения о виде плотности распределения анализируемого «сигнала, то обычный гармонический анализатор можно исполь-

"Р'и с. 8.4. Функциональная блок-схема анализатора спектральной плот­ ности.

зовать как анализатор СП. Поясним это утверждение. Пусть анадизируемый сигнал подчиняется гауссовскому распределению предполагается измерять спектр сигнала при помощи прибора, который определяет среднее абсолютное значение процесса [фор­ мула (8.4.)I. Для гауссовской плотности распределения с ну­ левым средним значением среднее абсолютное значение

Отсюда видно, что оценку спектральной плотности можно найти

При постоянной ширине полосы частот анализатора коэффициент jt2/8 Ве есть просто калибровочная постоянная. Искомый квадрат

среднего абсолютного значения | jc| можно получить путем соот­ ветствующей калибровки шкалы. Если же сигнал с выхода анализатора пропускается через логарифмический преобразователь, то операцию возведения в квадратможно осуществить тоже путем

. калибровки шкалы.

g3.4.2. Разрешающая способность измерений и время осреднения

Как видно из формулы (6.98), статистическая ошибка, харак­ теризующая оценку спектральной плотности, включает в себя ошибку смещения и дисперсию оценки. Оба эти слагаемые выра­ жаются через поддающиеся регулировке параметры схемы ана­ лиза: ошибка смещения зависит от разрешающей способности анализа Ве (при Ве-*- 0 ошибка гь -*■0), случайная ошибка зави­ сит от произведения ВеТ (при ВеТ -*-'оо ошибка ег -*■ 0). Преждевсего следует выбрать подходящее значение Ве. Этот выбор оченьважен, потому что, как показано в разд. 6.9, ошибки смещения ,при оценивании спектральной плотности могут быть очень ве­ лики. Как правило, выпускаемые промышленностью анализаторы СП позволяют изменять полосу пропускания в широких пределах. Как будет показано ниже, большие возможности при выборе полосы пропускания предоставляет метод расширения или сжатия масштаба времени анализируемого сигнала.

При фиксированной ширине полосы пропускания Ве случай­ ная ошибка, характеризующая оценку анализируемой спект­ ральной плотности, зависит только .от времени осреднения ТЕ Как и в описанной ранее аппаратуре, в анализаторах СП осред­ нение может осуществляться либо путем интегрирования в пре­ делах заданного интервала времени Та (истинное осреднение),, либо путем непрерывного сглаживания низкочастотным /?С- фильтром (/?С-осреднение). Во многих выпускаемых промышлен­ ностью анализаторах СП имеются обе ссредняющие схемы, позво­ ляющие выбирать время ссреднения в широком диапазоне. Если длина Tr 1 меющейся реализации ограничена, то в любсм случае время ссреднения следует выбирать исходя из формулы (8.22). Если же длина реализации не ограничена, то при выборе временя ссреднения следует руководствоваться приведенными в подразд.. 6.5.1 и разд. 6.9 соображениями о величине случайной ошибкя-

8.4.3.Скорость развертки и продолжительность анализа

Соображения о скорости развертки при измерении спектраль­ ной плотности точно совпадают с выводами, полученными в под­ разд. 8.2.3 применительно к измерениям плотности распределения. '-.Единственное отличие состоит в тем, что дифференциальный кори­ дор U? следует заменить на полосу пропускания Ве. Таким обра­ зом, сснсЕные ограничения, накладываемые на скорость разверт- Ш при измерении спектральной плотнссти, запишутся в виде

.характеристики узкополосного фильтра. Для идеального полосового

всегда должно быть больше единицы, следует пользоваться форму­ лами (8.31), а ограничение скорости развертки величиной В\ можно не учитывать.

Если необходимо свести к минимуму статистическую ошибку, то выражение (8.22) для времени осреднения следует подставить в формулу (8.31), что позволит получить максимально допусти­ мую скорость развертки в зависимости от длины реализации. В результате можно сделать следующие выводы. При истинном осреднении Rs < Ве'Тг, так как при условии минимума ошибки

более чем на 4% необходимо, чтобы К = Тг.

Рассмотрим теперь, какова общая продолжительность анали^' за. Если исследуемый диапазон частот при измерении спектраль-

.ной плотности с помощью анализатора СП составляет F Гц, то, как следует из формулы (8.31), минимально необходимая продол­ жительность анализа

(8.32а)

(8.326)

'При выводе соотношений (8.32) предполагалось, что реализация -случайного процесса анализируется при постоянной полосе про­ пускания Ве, а истинная длина реализции равна Тг. Оба эти ус- -ловия на практике не следует считать ни необходимыми, ни даже желательными. Совсем наоборот, меняя ширину пропускания во время развертки по частоте и (или) сжимая масштаб времени сй> „нала, можно существенно сократить продолжительность анализа Ч5ез снижения статистической достоверности его результатов. Эти- ^вопросы рассмотрены в двух последующих подразделах.

jß.4.4. Изменение полосы пропускания

Если принять рекомендованное формулами (8.22) время осред­ нения, то при условии, что полоса пропускания фильтра в анали­ заторе СП остается постоянной, измерения на всех частотах бу­ дут произведены с одной и той же статистической ошибкой. Одна­ ко на практике встречаются такие случаи, когда в процессе анали­ за желательно менять ширину этой полосы. Как отмечалось в разд. 6.9, частотные характеристики физических систем неред­ ко содержат острые пики, ширина которых пропорциональна их центральной частоте. Спектральная же плотность на выходе фи­ зических систем пропорциональна квадрату модуля частотной

.характеристики (т. е. квадрату амплитудной характеристики). 'Поэтому энергетические спектры случайных сигналов, отражаю­ щих реакцию физических систем, часто содержат пики, ширина

.которых пропорциональна частоте. Отсюда следует, что полосу пропускания Ве при измерении спектров можно расширять прямо пропорционально анализируемой частоте, сохраняя при этом до­ статочно высокую разрешающую способность. В результате точ­ ность измерений на высоких частотах повышается. Можно по­ ступать и по-другому— сохранять одинаковую для всех частот точность измерений, уменьшая время осреднения по мере увели­ чения частоты. Как видно из соотношений (8.32), любой из этих способов позволяет значительно сократить общую продолжи­ тельность анализа.

Пример 8.3. Продолжительность спектрального анализа. Шусть по реализации длиной Тг = 5 с необходимо оценить с по­ мощью анализатора СП спектральную плотность случайного сиг­ нала в диапазоне частот 10—1000 Гц (F = 990 Гц). Полоса пропу­ скания фильтра Ве = 5 Гц. Если используется способ истинного осреднения, то Та = 5 с и максимальная допустимая скорость раз­ вертки Rs = 1,0 Гц/с. Следовательно, минимальная необходимая

продолжительность анализа Тя = 990 с, или 16,5 мин. Если ис­ пользуется способ /?С-осреднения, то К — 5 с и рекомендуемая максимальная скорость развертки Rs = 0,25 Гц/с. Отсюда можно найти, что минимальная продолжительность анализа будет рав­ на Tg — 3960 с, или 66 мин.

Рассмотрим теперь случай, когда в ходе анализа ширину по­ лосы пропускания фильтра в анализаторе меняют с таким расѵчетом, чтобы сохранялась требуемая разрешающая способность измерений. Пусть ширина полосы меняется следующим образом:

,при анализе спектра, разбит, таким образом, на четыре поддиапа­ зона, в пределах каждого из которых развертка осуществляется