книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

смещенными (ошибки смещения равны нулю). Дисперсии оценкй в обоих случаях зависят от спектральных характеристик сигнала

идлины реализации.

Вчастном случае ограниченного по частоте гауссовского белого шума с полосой частот В Гц статистическая ошибка определения среднего значения записывается в виде нормированной средне­ квадратичной ошибки е согласно соотношению (6.23):

В том случае, когда = 0, нормированную среднеквадратичнуюошибку в определении среднего значения квадрата находят по формуле (6.35):

ВТ

Можно показать, что если с квадратичного вольтметра получают среднеквадратичные значения, а не средние зі ачения квадрата,, то соответствующее выражение для нормированной среднеквад­ ратичной ошибки при (д.х = 0 имеет вид

с.к.о. [Ф,] 1

(8. 8>

'ІД ~ 2 / В Т ’

что составляет половину ошибки при измерении средних значе­ ний квадрата. Символом Т в этих формулах для определения оши^. бок обозначается эквивалентное время истинного осреднения? при измерениях.

8.1.4. Время осреднения

Время осреднения Т, входящее в формулы (8.6)—(8.8), есть идеализированная величина, т. е. Т представляет собой время истинного осреднения [(см. формулы (8.1) и (8.2)]. В действитель­ ности же операция осреднения часто выполняется с помощью- сглаживающего /?С-фильтра нижних частот (см. подразд. 8.1.1). Кроме того, исследуемые процессы обычно представлены реали­ зациями конечной длины. Эти обстоятельства следует иметь в- виду при определении соответствующих значений Т в формулах

(8.6)—(8.8).

Рассмотрим прежде всего случай измерения при помощи вольт­ метра, осреднение в котором выполняется интегрированием некоторому интервалу времени Та (истинное осреднение). Время интегрирования Та эквивалентно идеализированному времениосреднения Т в формулах (8.6) и (8.8). Однако величина Т ни при каких обстоятельствах не может быть больше длины анали­

зируемой реализации. Если длина имеющейся реализации состав­ ляет Тг с, то статистическая ошибка измеренной величины ■не может быть меньше величин, определяемых формулами (8.6)— (8.8), при Т = Тг. Другими словами, повторное осреднение не дает дополнительной информации по сравнению с той, что полу­ чается при однократном осреднении. Поэтому в случае истинного осреднения время Т в формулах (8.6) — (8.8) следует в действи­ тельности принимать равным

Т = Та при Та < Тг,

(8.9)

Т = Т Г при Тг < Т а,

где Та — время истинного осреднения (интегрирования), Тг — длина реализации. Из условий (8.9) следует, что наиболее эффективный способ осреднения, при котором статистическая ошибка минимальна, имеет место при использовании времени истинного осреднения, равного длине реализации.

Рассмотрим теперь случай измерения при помощи вольтмет­ ра, осреднение в котором выполняется путем сглаживания сиг­ нала ^С-фильтром нижних частот с постоянной времени К (RC- осреднение). Применение осредняющего /?С-фильгра обеспечи­ вает непрерывное измерение искомой величины, которое в лю-

^бой момент дает взвешенное среднее всех прошлых значений по-

~даваемого на вход фильтра сигнала. Чтобы пояснить эту мысль, предположим, что средние значения квадрата измеряют путем

і?С-осреднения. Типичные примеры измегений во времени по­ лученных /?С-методом средних значений квадрата для периоди­ ческого и случайного сигналов представлены на рис. 8.1.

Как видно из этого рисунка, в случае стационарного перио­ дического сигнала /?С-осреднение обеспечивает точное измерение искомой величины по истечении отрезка времени, который при­ мерно в 4—5 раз больше постоянной времени данного фильтра. При этом подразумевается, что постоянная времени превышает период сигнала. В случае стационарного случайного сигнала после первоначального увеличения измеренные величины будут '^изменяться. Эги колебания характеризуют величину статистиче­ ской ошибки измерения в данный момент времени. Возникает сле­

х.RC-осреднении? На этот вопрос сейчас будет дан ответ для случая измерений среднего значения квадрата.

Пусть, например, среднее значение квадрата случайного сиг­ нала у{() измеряется путем интегрирования по интервалу вре­ мени Т:

Время

Время

Р и с . 8.1. Изменение во времени среднего значения квадрата, измеряе­ мого путем /?С-осреднення.

Среднее значение и дисперсия этого измеренного среднего значе^ ния квадрата определяются выражениями

Fjc= MU(7’) |= ^ ( 0 ) ,

т

Положим теперь, что автокорреляционная функция

Здесь величина В равна эквивалентной статистической ширине полосы частот Bs, которая будет определена ниже (индекс s для сокращения опущен). Нормированное среднее значение квад­ рата ошибки при оценке величины х(Т) составит

В частном случае, когда произведение ВТ намного больше еди­ ницы, формула (8.13) принимает вид

Рассмотрим теперь случай, когда средние значения квадрата случайного сигнала у(() определяются путем сглаживания возведен­ ных в квадрат мгновенных значений сигнала при помощи RC- фильтра нижних частот. Пусть постоянная времени сглаживаю­ щего фильтра равна К , а длина реализации — Тг. Среднее значе­

ние квадрата в момент времени ТГсоставляет

г

о

где для ДС-фильтра нижних частот

h (Тг— t)=^~é~ (тг~‘),к При (Тг— і) > 0.

Среднее значение и дисперсия среднего значения квадрата вели­ чины z(K, Тг) определяются соотношениями

Ь

Положим теперь, как и прежде, что автокорреляционная функ­ ция выражается формулой (8.12). Дисперсия среднего значения квадрата будет тогда равна

тг

оі= - 2У j е~4Вх \е~ХІК— е~п г/к &/К] dx=

о

В частном случае, когда произведение ВК намного больше еди­ ницы, равенство (8.17) принимает вид

при 4ВК» 1.

Следовательно, нормированное значение дисперсии измеренной величины z(K, Тг) составит

= \ ) Y ВТп что точно равно ошибке, получаемой при определении искомой характеристики путем истинного осреднения. Понятно, что эіо минимальное значение достигается при ßC -осреднении только в предельном случае при К -*оо . Однако ошибка быстро приближается к своему минимальному значению, когда постоян­ ная К становится больше Trt2. Например, при К = Тг нормиро­

ванная среднеквадратичная ошибка е = 1,04l Y В ГГ, что всего на 4% больше минимального значения. Следовательно, если из­ мерения выполняются с использованием /?С-осреднения, то в случае постоянной времени, большей чем длина одной реализа­ ции, выигрыш будет невелик. Напомним, что все полученные вы­ воды относятся также и к измерениям среднего значения.

'8.2. Плотность распределения

8.2.1. Основные требования к аппаратуре

Пусть дана реализация х(/) стационарного случайного сигна­ ла, представленная в виде записи изменений напряжения. Оцен­ ку сигнала плотности распределения можно определить по фор­ муле (6.39) в виде

(8 .2 1 )

Здесь Тх — промежуток времени, в течение которого значения Сигнала х(() находятся в пределах узкого интервала величин на­ пряжения шириной W вольт с центральным значением напряже­ ния X вольт. Другими словами, оценку плотности распределения получают путем выполнения следующих операций:

1) амплитудной фильтрации сигнала путем пропускания его через фильтр с узким дифференциальным коридором шириной

Wвольт;

2)измерения суммарного времени пребывания значений сиг­ нала в пределах данного коридора;

3)осреднения значений времени пребывания сигнала в пре­ делах коридора по всему интервалу 71;

4)деления среднего значения относительного времени пребы­ вания сигнала в пределах коридора на ширину коридора W.

Смещая центральное напряжение коридора, получают график плотности распределения в функции уровня напряжения.

_ Перечисленные операции выполняются при помощи аналого­ вого анализатора плотности распределения, который в дальней­ шем для краткости называется анализатором ПР. Время, в тече­ ние которого значения сигнала находятся в пределах некоторого узкого интервала величин напряжения, обычно измеряется в ана­ лизаторе ПР с помощью устройства, позволяющего сформировать

дифференциальный коридор (пара триггеров Шмитта или другой'- аналогичпый блок);, сигнал с этого устройства подается на логи­ ческую схему «И», подключенную к выходу вспомогательного генератора тактовых импульсов. Как только сигнал (анализируе­ мая реализация) примет значение, входящее в данный коридор, схема «И» отпирается и пропускает тактовый импульс. Когда значения сигнала выходят за пределы коридора, схема «И» за­ пирается. Эта последовательность импульсов на выходе вентиля осредняется в пределах всей длины реализации для определения среднего значения времени пребывания сигнала в пределах ко­ ридора. Операция деления на ширину коридора W может осу­ ществляться ^путем„соответствующей калибровки^шкалы. Как

Р__и с. 8.2. Функциональная блок-схема анализатора плотности распре­ деления.

и при использовании вольтметров, требуемое осреднение по вре­ мени можно провести путем истинного осреднения или /?С-осред- нения (см. подразд. 8.11). Развертку, необходимую для охвата всего исследуемого диапазона изменений напряжения, обычно осуществляют путем смещения напряжения после анализа сиг­ нала в пределах данного дифференциального коридора, для чего сигнал смешивается с калиброванным постоянным напряжением. Функциональная блок-схема анализатора ПР приведена на рис. 8.2. Следует отметить, что в схему анализатора ПР можно включать набор смежных дифференциальных коридоров, которые в сумме охватывают весь исследуемый диапазон изменения н.%ч пряжения. В этом случае для построения графика плотности рас­ пределения нет необходимости в осуществлении развертки. Од­ нако более употребительным на практике остается анализатор ПР с одним коридором.

но долго. В этом случае к вопросу о выборе времени осреднения следует подходить так же, как и к вопросу о выборе требуемой длины реализации (см. подразд. 6.3.1).

8.2.3.Скорость развертки и продолжительность анализа

При использовании анализатора ПР, имеющего много диф­ ференциальных коридоров, плотность распределения на всех, исследуемых уровнях сигнала должна измеряться одновременно. Это означает, что продолжительность анализа практически равна времени осреднения Т. Однако при использовании анализатора ПР с одним дифференциальным коридором плотность распределе­ ния на всех исследуемых уровнях сигнала должна измеряться путем развертки, охватывающей весь диапазон изменения сиг­ нала при одном дифференциальном коридоре. В э*ом случае реа­ лизация процесса подвергается непрерывному анализу путем многократного ее пропускания через анализатор. Развертку можно осуществлять либо путем дискретного смещения коридора,, т. е. шагами, либо путем непрерывного его смещения. Шаговая развертка часто используется при истинном осреднении, а непре­ рывная развертка — обычно при ЯС-осреднении. В любом слу­ чае при чрезмерно большой скорости развертки в результате анализа неизбежно вносятся ошибки.

При истинном осреднении скорость развертки должна быть достаточно низкой, чтобы для расчета каждого осредняемого. значения использовалась вся информация, содержащаяся на каждом уровне анализа. Это значит, что скорость развертки долж­ на быть меньше чем частное от деления ширины коридора на время осреднения. Следовательно, основное ограничение, накла­ дываемое на скорость развертки при измерении плотности рас­ пределения путем истинного осреднения, записывается в виде

вертки, В/с.

При -RC-осреднении скорость развертки должна быть достаточ­ но мала, чтобы .RC-фильтр успевал реагировать на резкие изме­ нения плотности распределения (см. рис. 8.1). В противном случае осредняющий #С-фильтр будет сглаживать резкие изменения* плотности распределения, что приведет к появлению ошибки смещения. В наиболее неблагоприятной ситуации, когда плот­ ность распределения меняется скачкообразно, эта ошибка сме­ щения по истечении времени, равного четырем постоянным вре­

мени #С-фильтра, составит менее 2% отсчетной величины. От­ сюда следует, что в наиболее неблагоприятном случае, когда ошибка составляет меньше 2%, продолжительность анализа за­ писи при каждом приращении уровня на ширину дифференциаль­ ного коридора должна быть не менее учетверенного значения постоянной времени /?С-фильтра. Следовательно, рекомендуемое ограничение, накладываемое на скорость развертки при измере­ нии плотности распределения путем І^С-осреднения, запишется в виде

меется, и увеличить скорость развертки. Однако это возможно лишь в двух случаях: 1) если допустимо увеличение ошибки смещения и 2) если изменения плотности распределения невелики. Например, экспериментальные исследования с помощью цифровых вычислительных машин показывают, что максимальная ошибка смещения при развертке гауссовской плотности распределения в

то время осреднения (8.22) следует ввести в (8.23) и найти таким образом максимальную допустимую скорость развертки в зави­ симости от длины реализации. Тогда можно сделать следующие

Если диапазон изменения напряжения при использовании анали­

Пример 8.1. Продолжительность анализа плотности распре­ деления. Предположим, что необходимо определить плотность распределения случайного сигнала с нулевым средним значением и среднеквадратичным значением, равным 1 В. Длина реализа­