книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf288 |
Глава 7 |
Используя формулу (7.20), можно проверить гипотезу о том, чтГ? Gi(/) = G2(/). Область принятия гипотезы есть
[—za/2 ^ D ^ Za/2], |
(7.22) |
где а —■уровень значимости критерия1*.
7.5.4.Сопоставление цифровых и аналоговых мето дов анализа
f При конструировании систем сбора и обработки данных при ходится в конечном итоге делать выбор между аналоговой, цифро вой или комбинированной (гибридной) аппаратурой для оконча-- тельного анализа исследуемого процесса. При этом, как показано на рис. 7.15, можно произвести этот выбор по-разному. К ана логовой аппаратуре относятся все устройства, в которых требуе мые вычисления осуществляются путем непосредственной обра ботки электрических сигналов, представляющих реализации про цесса с непрерывным временем. Универсальные аналоговые вычислительные машины представляют собой аналоговые устройст ва, которые могут быть запрограммированы на решение диффе ренциальных уравнений при помощи системы операционных уси лителей. Специализированные аналоговые приборы конструируются для выполнения лишь ограниченного числа операций; примерами могут служить вольтметр или кварцевый фильтр для анализа гармонических колебаний. К цифровой аппаратуре относятся все устройства, в которых требуемые вычисления осуществляются/ путем операций над числами, представляющими в дискретно" форме анализируемый процесс с непрерывным или дискретным временем. Цифровые устройства, как и аналоговые, могут быть уни версальными или специализированными. Для наиболее эффектив ного использования аналоговых и цифровых устройств конструи-
!) Этот тест малоэффективен по той причине, что даже при значительно
различающихся спектрах Gi(f) ы G2(/) логарифмы их отношении на разных частотах могут в некоторых случаях составить в сумме малую величину, и
формально гипотезу равенства Gj(/) = G,(/) следовало бы принять. Более сильным тестом является статистика
*
Gi (fi)
G2 (ft)
подчиняющаяся распределению ч? с Nf степенями свободы. Область приняв тия гипотезы приуровне значимости а определяется здесьнері венством D2 g
< П о позднее, когда рукопись перевода была уже в работе, авторы книги пред
ложили аналогичный тест.— Прим, перев.
292 |
Глава 7 |
Фурье, описаны в гл. 9. Изложенный в гл. 9 материал в равной* мере относится к анализу случайных процессов как на универб сальных, так и на специализированных ЦВМ.
Упражнения
1. Произведены измерения ускорения при помощи сейсмиче ского акселерометра (см. рис. 7.2), причем £ = 0,7 и /„ = 100 Гц. По результатам измерений рассчитана оценка спектральной плотности для диапазона частот 0—100 Гц. Определите ошибку смещения в оценке спектральной плотности на частоте 100 Гц, возникающую за счет отличия частотной характеристики акселе рометра от П-образиой формы.
2. По данным предыдущей задачи получена |
также оценка |
|
автокорреляционной функции. Возникают ли |
и |
здесь ошибки |
за счет отличия частотной характеристики |
акселерометра от |
|
П-образной формы и если да, то какие? |
случайного про |
|
3. Предполагается записать 10 реализаций |
||
цесса в частотном диапазоне 0—1000 Гц с использованием кодово импульсной модуляции при 12 импульсах на группу кодов. Если требуется передавать все 10 сигналов по одному регистрирующему каналу, то
а) каким должен быть частотный диапазон регистрирующего устройства?
б) чему равно отношение сигнал/шум?
4. Если приходится производить запись случайного сигнала магнитофоном с избыточным флаттером, то какой тип или типң* модуляции следует предпочесть?
5. Требуется найти цифровым методом оценку спектральной плотности реализации. Известно, что спектральная плотность отлична от нуля только в диапазоне частот ниже 500 Гц. Устано вите:
а) какова наименьшая скорость дискретизации при обработ ке исходной реализации?
б) чему равна эта величина при расчете автокорреляционной функции?
в) чему равна эта величина при расчете плотности распреде ления?
6. Сколько нужно задать уровней квантования при преобра зовании аналогового сигнала в цифровой, если известно, что в ре зультирующей дискретной последовательности потенциальный
динамический диапазон |
(отношение |
пикового значения |
сигнала |
||
к |
среднеквадратичному |
значению |
шума) |
должен быть |
100 гЗ? |
(т. |
е. 40 дБ)? |
|
|
гармоническое |
колеба |
|
7'. В случайном процессе содержится |
||||
ние со среднеквадратичным значением 1 В. Измерена спектраль-
Общие соображения о сборе и обработке данных |
293 |
И ая плотность этого процесса при разрешающей |
способности |
Ве — 1Ü Гц. Какова (в среднем) оценка спектральной плотности на частоте гармонического колебания, если известно, что вблизи этой частоты оценка спектральной плотности случайной части
процесса Q = |
0,1 В'2/Гц? |
8. Какая |
потребуется разрешающая способность по частоте, |
•если при оценке спектральной плотности той же суммы случай ного и гармонического сигналов, что и в упражнении 7, необхо димо получить спектральную плотность на частоте гармониче ского сигнала в среднем в 10 раз большую, чем на других частотах?
9. Воспользовавшись представленной на рис. 7.13 общей схе мой анализа отдельных реализаций, объясните, почему проверка '•стационарности осуществляется прежде, чем проверка периодич
ности |
и (или) нормальности. |
|
10. |
Воспользовавшись представленной на рис. 7.14 общей |
|
•схемой |
анализа совокупности |
реализаций, объясните, почему |
при расчете частотной характеристики всегда необходимо нахо дить и оценку функции когерентности.
I |
ГЛАВА 8 |
▲НАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
Как описано в разд. 7.5, после сбора и первичной обработки: данных обычно выполняется их анализ. Для этой цели исполь зуется аналоговая или цифровая аппаратура либо сочетаются оба, эти способа. В настоящей главе описаны основная аппаратура, и способы, применяемые для обработки данных аналоговыми ме тодами. В ходе изложения даются рекомендации по выбору пара метров схем анализа. Заметим, что приводимые здесь рекомен дации основаны лишь на практическом опыте авторов книги и других исследователей. Каждая такая рекомендация сопровож дается соответствующим обсуждением и примерами количествен ной ее проверки. Однако для некоторых специфических прило жений результатов анализа или при использовании для анализа приборов с нестандартными характеристиками можно отступать от рекомендуемых здесь методов. Следует отметить также, чтопри изложении аналоговых методов везде предполагается, что анализируемые данные являются напряжениями, представляю щими собой реализации стационарных (эргодических) случайныѵ процессов. Методы анализа нестационарных процессов рассмот” рены в гл. 10. ѵ
8.1.Среднее значение и среднее значение квадрата
Основной аналоговый прибор, используемый при анализе случайных процессов, — это вольтметр. Эіо название относится к классу приборов, с помощью которых можно определять сред нее и (или) среднее значение квадрата сигнала, представляющего собой изменения напряжения. Вольтметры широко применяются как самостоятельные приборы для измерения центрированных значений и дисперсий сигналов. Они находят и более важное ис пользование в качестве составной части других приборов, пред назначенных для анализа процессов, которые заданы в аналого вой форме; и в этом случае с помощью вольтметров измеряете^ уровень входного сигнала и определяются параметры сигнала на выходе. Поэтому, прежде чем перейти к рассмотрению более сложных приборов, предназначенных для анализа случайных про-
Аналоговые методы анализа |
295 |
'ѣ
"цессов, следует изложить принципы, на которых основано дейст вие вольтметров, и определить точность соответствующих изме рений.
8.1.1. Основные требования к аппаратуре
Среднее значение. Пусть дана реализация x{t) стационарно го случайного сигнала, представленная в виде записи изменений
напряжения. Тогда оценку р,х среднего значения р* можно опре делить по формуле (6.10) в виде
т
' fix = - Y ^ x ( f ) d t . |
(8.1) |
о |
|
Другими словами, оценка среднего значения находится просто путем осреднения мгновенных значений сигнала в пределах ин тервала времени Т.
Эта операция осуществляется вольтметром постоянного тока ДШТ). Такой вольтметр состоит из простого осредняющего и счи тывающего устройств. Необходимое осреднение можно осущест вить одним из двух способов. Первый способ заключается в том, что сигнал подается на интегратор (операционный усилитель с конденсатором в цепи обратной связи), в котором после деления на интервал времени Т вычисляется оценка осредненного значе ния сигнала для заданного интервала. Этот способ, в дальнейшем ^называемый истинным осреднением, основан на прямом функцио нальном представлении математической операции осреднения,
выражаемой формулой (8.1). Второй способ состоит в том, что сигнал подается на вход фильтра нижних частот (обычно RC- фильтра), в котором флуктуации сигнала непрерывно сглажи ваются; после прохождения через цепочку из трех-четырех RC- фильтров получаются непрерывные оценки среднего значения в функции времени. Этот способ, называемый /?С-осреднением, пред ставляет собой практическую реализацию математической опера ции осреднения, выражаемой формулой (8.1).
Среднее значение квадрата. Оценку среднего значения квадрата Ч™сигнала можно определить по формуле (6.24) в виде
|
т |
$ 1 = 4 - |
(8.2) |
|
о |
другим и словами, оценка среднего значения квадрата находится путем выполнения следующих операций: 1) возведения в квадрат мгновенных значений сигнала; 2) осреднения квадратов мгновен ных значений сигнала в пределах интервала времени Т. Оценка
296 |
Глава 8 |
среднеквадратичного значения определяется как корень квадрат^ ный из среднею значения квадрата.
Описанные выше операции выполняются при помощи квадра тичного (среднеквадратичного) вольтметра. Один из широко при меняемых типов квадратичных вольтметров осуществляет непре рывное возведение в квадрат подаваемого на вход вольтметра напряжения с помощью детектора, имеющего квадратичную ха рактеристику. Возведенное в квадрат напряжение осредняется по времени путем либо истинного осреднения, либо і?С-ссредие- ния. В тех случаях, когда необходимо найти среднеквадратичное значение, извлечение корня можно осуществить путем соответст вующей калибровки отсчетной шкалы. В • квадратичных вольт-.) метрах других типов используются детекторы, непосредственна определяющие среднеквадратичные значения сигнала.
8.1.2. Измерения с помощью вольтметра
Среднее значение сигнала представляет собой меру статиче ской составляющей сигнала, а дисперсия — меру динамической его составляющей. Среднее значение квадрата дает меру как статической, так и динамической составляющих, что видно из полученного ранее соотношения
¥і=о* + цг. |
(8.3> |
Во многих случаях бывает необходимо измерить среднее значе^ ние квадрата сигнала путем раздельного измерения статическойсоставляющей (среднего значения) и динамической составляющей (дисперсии). Это связано с тем обстоятельством, что вольтметры с требуемыми частотными характеристиками, предназначенные для измерений высокочастотных составляющих, часто не реаги руют на постоянный ток. Измерения, выполненные такими при борами, дают возможность получить дисперсию или стандартное отклонение, хотя эти приборы часто называют приборами для определения средних значений квадрата или среднеквадратичных значений процесса.
Следует отметить, что многие выпускаемые промышленностью вольтметры калиброваны таким образом, что по их шкале отсчи тывают среднеквадратичные значения гармонического сигнала (напряжения), поэтому с помощью приборов такого рода нельзя измерять среднеквадратичные значения сигнала (напряжения) другой формы. Такие приборы обычно состоят из простого в ң ^ прямителя и эквивалентного сглаживающего фильтра нижних частот; измеряется величина, пропорциональная либо среднему абсолютному значению сигнала (осредпенная величина сигнала, взятого по модулю), либо пиковое значение подаваемого сигнала.
Аналоговые методы анализа |
297 |
Отметим, что среднее абсолютное значение |х | определяется фор-
мулой
т
Й = 4 ~ ^\x{t)\dt. |
(8.4) |
о |
|
При измерении пиковых или средних абсолютных значений отсчет, выраженный через среднеквадратичное значение напря жения гармонического сигнліі, можно получить путем соответст вующей калибровки шкалы. Сделать это нетрудно, так как пико вое, среднее абсолютное и среднеквадратичное значения напряже ния гармонического сигнала связаны между собой. Полагая, что »среднее значение р.^. равно нулю, соотношения между этими вели чинами можно записать следующим образом:
Мгновенное значение x(0 = -Xsin2ü/Y,
Пиковое значение Х —Х,
Среднее абсолютное значение |а:| = — X, |
£(8.5) |
Среднеквадратичное значение Wx= —~ Х .
Эти соотношения часто используются в выпускаемых про мышленностью приборах, так как детекторы, при помощи ко торых измеряются пиковые или средние абсолютные значения напряжения, стоят намного дешевле, чем детекторы для измере ния истинных среднеквадратичных значений напряжения. Такие приборы обычно называют вольтметрами переменного тока, чтобы подчеркнуть, что они применяются только для анализа перемен ного напряжения. Если эти вольтметры использовать для изме рения полигармонического или случайного сигнала, то они будут давать неверные показания.
8.1.3. Точность измерений
Любые измерения напряжения сопровождаются ошибками, связанными с разрешающей способностью аппаратуры и методом калибровки. Эти инструментальные ошибки зависят как от ка чества изготовления прибора, так и от условий его эксплуатации. Однако измерение случайных процессов связано также с допол нительными, статистическими ошибками (см. разд. 6.2). Эта ста- /та£тическая ошибка в общем случае включает в себя ошибку сме щения, определяющую систематическую часть общей ошибки, и дисперсию, которая определяет случайную ее часть. В разд. 6.2 ) показано, что вычисляемые по формулам (8.1) и (8.2) оценки среднего значения и среднего значения квадрата являются не