книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf18 |
Глава I |
Можно привести много примеров физических явлений, кото-и рые с достаточным для практики приближением описываются гар моническими процессами. К их числу относятся колебания на пряжения на выходе генератора переменного тока, вибрации
Р и с. 1.3. Гармонический процесс и его спектр.
несбалансированного ротора и другие явления. С точки зрения анализа гармонические процессы представляют собой одну из простейших форм функций времени.
1.1.2. Полигармонические процессы
К полигармоническим относятся такие типы периодических процессов, которые могут быть описаны функцией времени, точ но повторяющей свои значения через одинаковые интервалы
X(t)= x (/ ± пТр) , п = 1, 2 , ' 3 , . . . |
(1.5> |
Как и в случае гармонического процесса, интервал времени, в те-* чение которого происходит одно полное колебание, называется’- периодом Тр. Число циклов в единицу времени называют основ ной частотой fi. Очевидно, гармонический процесс есть частный случай полигармонического процесса при /і = f0.
За некоторыми исключениями,- полигармонические процессы могут быть представлены рядом Фурье.
|
С О |
|
= |
{ancos2nnf1t + bns'm2nnf1t), |
(1.6) |
где |
п—1 |
|
|
|
|
|
А — т ’ |
|
|
1 р |
|
ап= у |
Г X (t) cos 2nnfiidt, п = 0, 1, 2, . . |
|
р |
.) |
|
|
о |
|
|
|
А |
О
Основные характеристики физических процессов |
19 |
^Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:
СО"
X (0 = |
+ 2 Х п cos (2л/г/іt — Qn), |
(1.7) |
|
п=1 |
|
где
Хп = Ѵ a'n+b'n , |
л = 1 , |
2, |
3, . . ., |
0/i=arclg {bn/an), |
n = 1, |
2, |
3, . . . . |
Как'видно из формулы (1.7), полигармонические процессы со стоят из постоянной компоненты Х 0 и бесконечного числа сину соидальных компонент, называемых гармониками, с амплитуда-
Ал‘плигпуда
Частота
Р
Р и с. 1.4. Спектр полигармонического процесса.
ми Хп изначальными фазами Ѳп. Частоты всех гармоник кратны основной частоте Д.
На практике при анализе периодических процессов начальные фазы Ѳ„ часто не принимаются во внимание. В этом случае форму
ле |
(1.7) |
соответствует дискретный |
спектр, |
показанный |
на |
рис. |
1.4. |
Иногда полигармонические |
процессы |
состоят всего |
из |
нескольких компонент. В других случаях компонента с основной частотой может отсутствовать. Предположим, например, что периодический процесс формируется в результате сложения трех синусоидальных волн с частотами 60, 75 и 100 Гц. Наибольший общий делитель этих чисел равен 5 Гц, поэтому период результи рующего периодического процесса Тр составляет 0,2 сек. Следо вательно, при разложении в ряд Фурье значения Хп будут равны нулю при всех п, кроме п = 12, п = 15 и п — 20.
Физические явления, которым соответствуют полигармоничеьркие процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых 'простой гармонической функцией. В действительности когда
2*
20 |
Глава 1 |
тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зачастую при этом имеют в виду только приближенное представление про цесса, который на самом деле является полигармоническим. На пример, при тщательном исследовании колебаний напряжения на выходе генератора переменного тока можно обнаружить не большие колебания с частотами высших гармоник. В других слу чаях в периодическом физическом процессе могут присутствовать гармоьические компоненты с относительно большими амплиту дами Например, вибрации многоцилиндрового поршневого двига теля содержат обычно интенсивную гармоническую компоненту.
1.1.3. Почти периодические процессы ^
Как указывалось в предыдущем подразделе, обычно периоди ческий процесс можно описать рядом гармонических колебаний, частоты которых соизмеримы. И обратно, процесс, образованный суммированием двух или более синусоидальных волн с соизме римыми частотами, является периодическим. Однако процесс, который формируется в результате суммирования двух или более синусоидальных волн с произвольными частотами, не будет, во обще говоря, периодическим.
Конкретнее, сумма двух или более синусоидальных волн обра зует периодический процесс только в том случае, если отношения всех возможных пар частот представляют собой рациональные числа. Это*означает, что существует некоторый основной период,, удовлетворяющий формуле (1.5). Так, процесс
X(t)^=X^ sin (2t -{- 0j) -f- X3sin (3t -f- Ѳ2) X3sin (7t -|- Ѳ3)
— периодический, поскольку 2/3, 2/, и 3/7 — рациональные числа
(с основным периодом, равным 1). С другой стороны, |
процесс |
|
X (t) = X^ sin (2t-f- 0j) -f- X 3sin (3t -f- Ѳ2) |
-f- X3sin (f/~50 |
t -f- 03) |
не является периодическим, поскольку |
числа 2 Р /50 |
и 3/]/50 |
иррациональные (и основной период равен бесконечности). В этом случае процесс является почти периодическим, но соотношение (1.5) не удовлетворяется при любых конечных значениях Тр.
Как следует из приведенных выше соображений, к почти пе риодическим относятся такие процессы, которые могут быть опи саны функцией времени
СО |
|
* ( / ) = £ X„sin (2icfnt + Ѳ„), |
(l.§ \ |
Л=1 |
|
где не все отношения f j f m представляют собой рациональные чис- . ла. Физические явления, которым соответствуют почти пер иодил' ческие процессы, встречаются довольно часто при суммиро вании
Основные характеристики физических процессов |
21 |
двух или более независимых гармонических процессов. Ярким примером почти периодического явления может служить вибра ция самолета с несколькими моторами, работающими в асин хронном режиме.
Амплитуда
|
■^Хг |
|
-Х3 |
тХ4 |
|
|
|
|
|
О |
ft |
'S |
'S |
-Частота |
и |
||||
Р и с . |
1.5. |
Спектр |
почти периодического |
процесса. |
Важнейшее свойство почти периодических процессов таково. Если пренебречь начальными фазами Ѳ„, то формуле (1.8) будет соответствовать дискретный спектр, аналогичный спектру полигармонического процесса. Единственное различие состоит в том, что, как показано на рис. 1.5, частоты компонент несоизмеримы.
1.1.4.Переходные непериодические процессы
Кпереходным относятся все непериодические процессы, не являющиеся почти периодическими процессами, описанными в
подразд. 1.1.3, Другими словами, переходные процессы вклю-
Р и с. 1.6. Примеры переходных процессов.
а) |
хѴ) - |
(A e r-a t |
/5-0, |
|
|
|
ІО |
t< 0, |
|
б) |
x{t) = |
j A e - o t |
cos bt i > Q, |
|
|
|
to |
t < 0. |
|
в) |
x(t) |
IA |
c>t> 0, |
|
i 0 |
c<t< 0. |
|||
|
|
чают в себя все не рассмотренные ранее процессы, которые могут быть описаны подходящими* функциями времени. Три примера переходных процессов приведены на рис. 1.6.
Физические явления, которым соответствуют переходные про цессы, весьма многочисленны и разнообразны. Например, про
22 |
Глава 1 |
цесс, изображенный на рис. |
1.6, а, может описывать изменение' |
во времени температуры воды в чайнике (относительно темпера туры воздуха в комнате) после выключения нагревателя. Кривая на рис. 1.6, б может характеризовать свободные колебания инер ционной механической системы после прекращения действия вы нуждающей силы. График на рис. 1.6, в может описывать изме нение во времени напряжения в тросе, к концам которого при ложена нагрузка и который разрывается в момент с.
№ |
WOI |
:■ |
WOI |
Р и с . 1.7. Спектры переходных процессов.
Важное отличие переходных процессов от периодических и почти периодических состоит в том,' что их невозможно предста вить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве слу чаев получают непрерывное спектральное представление пере ходных процессов, используя интеграл Фурье:
СО |
|
X(f) = j*(rte '2ЯЯ' dt. |
(1.9) |
—00 |
|
-Спектр Фурье X{f) в общем случае является комплексной функ^
•цией, которая может быть записана в показательной форме:
Х(П = \Х(Пі<г/Ѳ(П.
Основные характеристики физических процессов |
23 |
Здесь J X(f) I — модуль, Ѳ(/) — аргумент. Модули | X(f) | преобра зования Фурье трех переходных процессов, изображенных на рис. 1.6, показаны на рнс. 1.71).
1.2. Классификация случайных процессов
Как уже указывалось ранее, процессы, соответствующие слу чайным физическим явлениям, нельзя описать точными матема тическими соотношениями, поскольку результат каждого наблю дения над процессом невоспроизводим. Другими словами, исход, любого данного наблюдения представляет собой лишь один из многих возможных результатов. Рассмотрим, например, измене-
Напряжение
Напряжение
Время
Р и с . 1.8. Реализации на выходе генераторов теплового шума.
ние во времени напряжения на выходе генератора тепловогошума. Запись этого напряжения будет иметь примерно такой вид, как показано на рис. 1.8. Однако напряжение на выходе второго генератора той же конструкции и сборки будет меняться во вре мени совершенно иным образом, чем у первого генератора. И во обще записи изменения во времени напряжения на выходе раз-
J) Авторы книги дают здесь описательное определение переходного процесса; поэтому существование интеграла (1.9) не является следствием' этого определения и должно в (конкретных случаях обосновываться.—
Пріім. ред.
24 |
Глава 1 |
|
ных |
генераторов теплового шума |
внешне совершенно несходны |
{рис. |
1.8). Следовательно, запись |
напряжения на выходе какого- |
либо генератора представляет собой лишь одну из бесконечного множества возможных реализаций зависимости напряжения от времени.
Функция времени, описывающая случайное явление, называет ся выборочной функцией (или при конечном интервале времени — реализацией)1). Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явле ния, называется случайным, или стохастическим, процессом. Следовательно, реализация, полученная в результате наблюдений над случайным физическим явлением, может рассматриваться как элемент множества возможных физических реализаций случай ного процесса. і
Р и с . 1.9. Классификация-] случайных процессов. |
, |
Различают стационарные и нестационарные случайные про цессы. В свою очередь стационарные случайные процессы могут быть^эргодическими или неэргодическими. Для нестационарных случайных процессов? существует специальная классификация нестационарное™. Связь между/различными классами случай ных процессов показана схематически на рис. 1.9. В последую щих разделах мы обсудим в общих’чертах значение и физический смысл различных классов случайных процессов. Более строгие математические определения и выводы даны в гл. 3 и 10.
1.2.1. Стационарные случайные процессы
Физическое явление при рассмотрении с позиций теории слу чайных процессов можно описать в любой момент времени пу тем осреднения величин подмножеству выборочных функций,^
*) В дальнейшем авторы не следуют строго этой терминологии, называя иногда реализацией выборочную функцию(например, в после дующих разделах гл. 1). — Прим, перев.
Основные характеристики физических процессов |
25 |
"представляющих данный случайный процесс. Рассмотрим, .напри мер, множество выборочных функций (называемое также ансамб
лем), образующее случайный процесс (рис. 1.10). Среднее значе-
Р и с . 1.10. Ансамбль выборочных функций, формирующих [случайный процесс.
ние (первый момент распределения) случайного процесса в мо мент времени tt может быть найдено путем суммирования мгно венных значений каждой выборочной функции ансамбля в момент tx и деления этой суммы на число выборочных функций. Аналогич ным образом корреляция между'значениями случайного процесса в два различных момента времени (смешанный момент, называе мый автокорреляционнойЩфункцией) определяется путем осредне ния по ансамблю лроизведений 'мгновенных значений процесса в моменты іг и tx -Кт. Иначе_говоря, среднее значение цл(*і)Аи
26 |
|
|
Глава 1 |
|
|
|
автокорреляционная функция Rx(tx, |
tx + т) случайного про |
|||||
цесса {%(0} |
(фигурные |
скобки означают ансамбль выборочных |
||||
функций) определяются |
из |
соотношений |
|
|||
|
M *i) = |
1 |
w |
xk {tx), |
(1.10а) |
|
|
l'm~ |
V |
||||
|
|
|
|
ft-I |
|
|
|
Rx{tx, г"і+ т ) = 1іш-^- |
y \x k(t1)xk (t1 + x), |
(1.106) |
|||
причем при |
суммировании |
предполагается, что появление всех |
||||
выборочных функций равновероятно1). |
т), опреде-. |
|||||
В общем случае,-когда функции цД^) и Rx(tx, tx + |
||||||
ляемые уравнениями (1.10), меняются с изменением момента вре
мени tx, |
случайный процесс {л:(0} |
называется |
нестационарным. |
В частном случае независимости j.ix(tx) и Rx{tx, |
tx + т) от tx слу |
||
чайный |
процесс {x(t)\ называется |
слабо стационарным, или |
|
стационарным в широком смысле. Среднее значение слабо ста ционарных процессов постоянно, а автокорреляционная функция
зависит |
только |
от величины сдвига т, т. е. цх(іх) = цх и |
Rx(t1, |
+ т) = |
Rx(т). |
Для случайного процесса (х(г')} можно рассчитать бесконечное множество начальных и смешанных моментов более высоких по рядков; их совокупность полностью описывает плотности рас-; пределения процесса. Когда все начальные и смешанные моменты распределения не зависят от времени, случайный процесс {*(/)}
называется |
строго стационарным, или стационарным в |
узком |
||||
ѵ> Этому |
несколько расплывчатому |
определению |
можно |
придать |
||
строгий смысл следующим образом. Пусть xk(t) (1 ^ |
оо ) — после |
|||||
довательность независимых реализаций процесса x{t), |
в*> 0 — фиксиро |
|||||
ванное число. Тогда |
если для любого t My?(t) |
со, то вероятность того, |
||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
ТГ2] **(*і) —Mx(tJ |
> е , |
|
|
|
|
|
ft=i |
|
|
|
|
стремится к |
0 при |
УѴ->-оо и любом фиксированном |
tx, подобным Ж( |
|||
образом при |
любых |
фиксированных tx, |
вероятность |
неравенства |
||
|
хк ((і)хк {tx + х)— Мх [tx)x {tx+ т) |
>S |
|
|||
|
k=.\ |
|
|
|
|
|
стремится к 0 при N - * x Прим. редЛ
Основные характеристики физических процессов |
27 |
^смысле1). Для многих практических приложений доказательства слабой стационарности процесса вполне достаточно, чтобы оправ дать справедливость предположения о строгой стационарности2).
1.2.2. Эргодические случайные процессы
В предыдущем разделе был рассмотрен вопрос об определении
свойств случайного процесса |
путем осреднения по ансамблю |
в отдельные моменты времени. |
Однако в. большинстве случаев |
возможно также описать свойства стационарного случайного
процесса |
путем осреднения по времени отдельных выборочных |
. функций |
ансамбля. Рассмотрим, например, k-ю выборочную |
функцию случайного процесса, изображенного на рис. 1.10. Среднее значение px(k) и автокорреляционная функция Rx(т, k) этой выборочной функции определяются выражениями
т
о
|
т |
|
Rx (Т, &)=1іт-^г- |
Г Xk {t)xk (t + x)dt. |
(1.116) |
7 -*со 1 |
J |
|
|
0 |
|
" Если случайный процесс (х(/)} |
стационарен и определенные фор |
|
мулами (1.11) рх(£) и Rx(т, k) одинаковы для различных выбороч-
. ных функций, то случайный процесс (х(^)} называется эргодиче- *Ъким. Для эргодического случайного процесса среднее значение и автокорреляционная функция (а также и другие моменты, по лученные осреднением по времени) равны соответствующим сред ним по ансамблю: рх(/г) = рх и Rx(т, k) = Rx(т). Следует заме тить, что только стационарные процессы могут обладать свойст вом эргодичности.
Эргодические случайные процессы, очевидно, представляют важный класс случайных процессов, так как все их свойства мо гут быть определены осреднением по времени одной выборочной
J) |
Это |
определение |
не точно. |
Процесс |
|
называется |
стационарным |
||||||
в узком смысле, если для любых п, |
<1; . . |
., |
tn, т распределение |
случай |
|||||||||
ного |
вектора (x(tt + т)........... х((п + |
т)) не |
зависит от т. |
Из |
этого |
сле |
|||||||
дует, |
что все смешанные моменты |
+ |
т) |
. . . x%(tn + |
т) |
не |
зависят |
||||||
от т, |
если |
они существуют. Если все смешанные моменты существуют и |
|||||||||||
однозначно |
определяют |
соответствующие |
|
законы |
распределения, то |
||||||||
З^езависимость от х |
влечет за собой стационарность |
в |
узком |
смысле. |
|||||||||
"Но процесс, стационарный в узком смысле, |
может |
не |
обладать |
даже |
|||||||||
математическим ожиданием.— Прим. ред. |
|
. . ., x(tn)) нормален, |
то [из |
||||||||||
, I 2) |
Если любой |
случайный вектор (лД і), |
|||||||||||
-стационарностй x(f) |
в широком смысле следует его стационарность в узком |
||||||||||||
смысле.— Прим. ред. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||