книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

278 Глава 7

всех случаях диктуется следующими важными соображениями^ Во-первых, среднее значение и среднее значение квадрата опре­ деляют некоторый средний уровень и дисперсию процесса; поэтому вычисление этих величин необходимо для решения даже самых простых прикладных задач. Во-вторых, вычисление средних зна­ чений и средних значений квадрата по коротким интервалам

(графиков плотности распределения, коррелограмм и (или) спек­ тральных плотностей), которые вычисляются на последующих этапах анализа. Сравнение непосредственно измеренного сред- f него и среднего значения квадрата с соответствующими оценками, найденными из других характеристик процесса, позволяет проверить аппаратуру для анализа данных или программы ма­ шинной обработки.

Аналоговые методы измерения среднего значения и среднего значения квадрата изложены в разд. 8.1, цифровые — в разд. 9.1. Статистическая точность этих оценок рассмотрена в разд. 6.2.

Определение автокорреляционной функции. Следующий очевидный этап анализа — нахождение оценки автокорреляцион­ ной функции (блок Б). Автокорреляционная функция стационар­ ного процесса представляет собой обратное преобразование Фурье спектральной плотности. Поэтому в результате определения автокорреляционной функции не получают никакой новой ин­ формации о процессе, кроме той, которую дает энергетический спектр. Бывают, однако, такие случаи, когда автокорреляционная1^ функция даеттребуемую информацию в более удобной форме. Как показано на рис. 7.13 и в подразд. 7.4.2, автокорреляционная функция может оказаться эффективным средством при выделении скрытых периодичностей, содержащихся в случайном процессе. Кроме того, вычисление автокорреляционной функции произво­ дится иногда как промежуточный этап при вычислении оценки

•спектральной плотности. Как отмечается в подразд. 9.6.1, этот устаревший способ получения оценки спектральной плотности еще находит применение в отдельных случаях.

Аналоговые методы измерения автокорреляционной функ­ ции детально описаны в разд. 8.3, цифровые — в разд. 9.5. Ста­ тистическая точность оценок рассмотрена в разд. 6.4.

Определение спектральной плотности. Наиболее важная одномерная характеристика стационарных случайных процессов—

•спектральная плотность, описывающая частотный состав прд£ десса. Для линейных физических систем с постоянными пара­ метрами энергетический спектр выходного процесса может быть найден как произведение энергетического спектра процесса на входе на квадрат амплитудной частотной характеристики систе-

фіы. Результаты измерения энергетического спектра дают инфор­ мацию о динамических характеристиках системы. Общая пло­ щадь под кривой спектральной плотности как функции частоты равна среднему значению квадрата Ѵ2. В более общей формули­ ровке среднее значение квадрата процесса в некотором рассматри­ ваемом интервале частот определяется площадью под кривой спектра мощности в пределах этого интервала. Очевидно, что данные измерений спектральной плотности (блок В) представ­ ляют значительную ценность для большинства приложений ана­ лиза. Оценка спектральной плотности может использоваться так­ же для выделения скрытых периодичностей (см. подразд. 7.4.2) и как промежуточный этап при вычислении автокорреляционной ^функции.

В гл. 5 было показано, насколько велико с физической точки зрения значение спектральной плотности при исследовании соотношений между случайными процессами; на входе и выходе линейной системы. Аналоговые методы измерения энергетическо­ го спектра рассмотрены в разд. 8.4, а цифровые — в разд. 9.6. Статистическая точность этих оценок рассмотрена в разд. 6.5.

О п редел ен и е п л о т н о ст и р а с п р е д е л е н и я . Последний ос­ новной этап рассматриваемой процедуры анализа заключается в оп­ ределении плотности распределения (блок Г). При анализе про­ цессов плотность распределения часто не измеряют, так как обыч­ но полагают, что все случайные явления подчиняются нормаль­ ному закону. В некоторых случаях, однако, распределение зна­ чений случайных процессов может существенно отличаться от ^гауссовского. Если при проверке нормальности распределения такие отклонения обнаружены, то необходимо измерить плот­ ность распределения вероятности значений процесса и сопоставить с его истинными вероятностными характеристиками. Кроме того, 'оценка плотности распределения может быть использована при проверке гипотезы о нормальности процесса (см. рис. 7.13 и под­ разд. 7.4.3).

Аналоговые методы измерения плотности распределения опи­ саны в разд. 8.2, а цифровые — в разд. 9.4. Статистическая точ­

Все рассмотренные до сих пор методы могут быть применены толь­ ко для анализа реализаций стационарных процессов. Если в ре­ зультате оценивания основных свойств процесса выяснено, что рассматриваемая реализация принадлежит некоторому неста­ ционарному процессу, то для ее анализа необходимо использовать специальные методы (блок Д). Задача анализа нестационарных и переходных процессов рассмотрена в гл. 10. Заметим, что для анализа некоторых классов нестационарных процессов можна иногда использовать ту же аппаратуру или программы для ЦВМ,.

что и в стационарном случае. Однако интерпретация результатов^ такого анализа требует особой осторожности (см. разд. 10.1

и10.2).

Анализ периодических и почти периодических процес­ сов. Если в результате оценивания основных свойств процесса установлено, что рассматриваемая реализация содержит периоди­ ческие или почти периодические составляющие, то анализ не­ сколько усложняется. В частности, для решения задачи можно воспользоваться одним из двух описанных ниже приемов. Вопервых, можно разделить случайную и периодическую части пу­ тем фильтрации и рассматривать их раздельно (блок Е). Вовторых, можно совместно анализировать периодическую и слу­ чайную части процесса, учитывая присутствие периодических составляющих при интерпретации результатов. Например, если построен энергетический спектр процесса, содержащего гармо­ нические колебания, то около максимумов энергии на соответст­ вующих этим гармоникам частотах можно изобразить символ дельта-функции и указать среднее значение квадрата гармоники. Последняя оценка находится как произведение спектральной плот­ ности энергии на частоте соответствующего гармонического коле­ бания на разрешающую способность анализатора спектра. Если этого не сделать, то можно, как уже отмечалось в подразд. 7.4.2, дать неверную физическую интерпретацию таким максимумам спектральной плотности.

Специальные этапы анализа. В зависимости от конкретных целей исследования возможно применение различных специаль­ ных приемов анализа отдельных реализаций. Например, как? показано в работе [10], при исследовании усталости различных механических конструкций приходится строить оценки плотности распределения вероятности экстремальных значений нагрузки. Некоторые вопросы связи, касающиеся проблемы шумов, тре­ буют исследования пересечений нулевого или некоторого другого произвольного уровня [1]. Иногда вместо спектральной плотности для описания спектрального состава процесса используются дру­ гие характеристики; например, спектры уровня акустического

шума часто выражаются в среднеквадратичных значениях на 1/1 или 1/3 октавы частотного диапазона. Необходимость прове­ дения таких специальных видов анализа, указанных в блоке Ж, устанавливается при решении конкретных инженерных задач.

7.5.2. Анализ совокупности реализаций

В предыдущем разделе были описаны методы анализа отдель­ ных реализаций, полученных в результате эксперимента. Про­ цедура определения наиболее важных статистических характери­ стик совокупности реализаций изображена схематически на

Р и с . 7.14. Общая схема анализа совокупности реализаций.

%юванного материала может без всякой необходимости усложнить интерпретацию результатов. Кроме того, неопытный исследо­ ватель может ошибочно придать физический смысл случайному разбросу отдельных оценок. Наконец, если результаты анализа статистически эквивалентных данных объединены до стадии ин­ терпретации, то, как показано ниже, точность полученных оце­ нок возрастает. Заметим, что для большинства прикладных задач эквивалентность оценок энергетических спектров может служить достаточным критерием эквивалентности реализаций, по которым построены эти оценки. Способ проверки эквивалентности энер­ гетических спектров описан в подразд. 7.5.3.

ьОбъединение эквивалент ны х некоррелированны х дан­

ны х . Результаты анализа отдельных реализаций, для которых уста­ новлена статистическая эквивалентность, должны быть объеди­ нены (блок Г). Это осуществляют путем расчета соответствующих средних взвешенных величин из оценок, полученных при анали­ зе отдельных реализаций. Пусть, например, по двум некоррели­

рованным реализациям получены оценки спектральной плотности,, которые представляют статистически эквивалентные процессы.

Если исходным оценкам Gj(/) и G2(f) соответствуют пхи п2 степе­ ней свободы, то новая, объединенная оценка спектральной плот­

Выборочное распределение такой объединенной оценки имеет вид

я

гд'е статистика yj имеет ^-распределение с п степенями свободы

(см. подразд. 4.2.2).

Как следует из формулы (7.8), процедура объединения позво­ ляет получить оценку спектральной плотности с меньшей случай­

284 Глава 7

ной погрешностью. Однако нужно также отметить, что операций объединения не приводит к уменьшению систематических оши­ бок (смещения) при оценке спектральной плотности (определение и анализ этих ошибок даны в разд. 6.5). Это обстоятельство зача­ стую вынуждает производить новую обработку реализаций, обла­ дающих статистически эквивалентными свойствами, причем спо­ собы обработки строятся таким образом, чтобы уменьшить ошиб­ ки смещения. Для случая нахождения оценок спектральной плот­ ности такая новая обработка может заключаться в пересчете оце­ нок спектральной плотности по исходной реализации, но со зна­ чительно увеличенной разрешающей способностью по частоте. Это приводит к росту дисперсии оценки и уменьшению ошибки^ смещения. Последующее осреднение позволяет уменьшить дис­ персию оценки.

При аналоговых методах анализа иногда используется и дру­ гой подход. Он состоит в сращивании отдельных реализаций и их последующем анализе как одной большой последовательности наблюдений. Такой способ может дать вполне приемлемые ре­ зультаты, но следует помнить, что некоторые существенные огра­ ничения, налагаемые длиной исходной реализации, сохраняют силу. В частности, если производится сращивание q реализаций, длина каждой из которых равна Т, так что полученная реализа­ ция имеет длину qT, то наиболее низкая частота, которую можно

добно автокорреляционной функции и спектральной плотности взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность представляют собой пару преобразований Фурье. Сле­ довательно, получение взаимной коррелограммы теоретически не дает никакой новой информации о процессе, кроме той, которую содержит взаимный спекгр. Однако эта функция позволяет иногда получить требуемую информацию в более удобной форме. B_j<a- честве примера можно привести определение задержки по вре­ мени'между процессами, измеряемыми в лвѵх точках. Измерение взаимной корреляционной функции как отдельная стадия анализа представлено блоком Д. Заметим, что оценка взаимной коррелят ционной функции может служить показателем коррелированности1 двух отдельных реализаций; ее вычисление является иногда про-; межуточным этапом при расчете взаимной спектральной плот­ ности.

Аналоговые методы измерения взаимной корреляционной функции описаны в подразд. 8.5.2, а цифровые — в подразд. 9.7.2. Статистическая точность измерений этой функции рассмотрена в разд. 6.4.

X О п редел ен и е вза и м н о й сп ек т р а л ьн о й п лот ност и .

Наиболее важная часть анализа совместных характеристик сово­ купности коррелированных реализаций — это измерение взаим­ ной спектральной плотности (блок Е). Взаимная спектральная плотность содержит сведения о линейных зависимостях, которые могут наблюдаться между отдельными реализациями, принадле­ жащими данной совокупности. Физическая интерпретация этой информации часто непосредственно ведет к решению поставлен­ ных задач (см. гл. 5).

Аналоговые методы получения взаимной спектральной плот­ ности изложены в подразд. 8.5.3, цифровые — в подразд. 9.7.3.

.Статистическая точность оценок этой функции рассмотрена в ы'юдразд. 6.5.4.

О п редел ен и е ф ун к ц и й к о гер ен т н о ст и . Оценки функций когерентности находят косвенным путем — по оценкам спек­ тральной и взаимной спектральной плотностей (блок Ж). Раз­ личные типы этой функции (обычная, множественная и частная) применяются для разных целей. Во-первых, функции когерент­ ности могут быть использованы как показатели коррелирован­ ное™ отдельных реализаций. Во-вторых, оии играют весьма су­ щественную роль при определении точности оценок частотных характеристик. И, в-третьих, с их помощью возможно иногда непосредственно решить некоторые задачи.

Формулы для вычисления функций когерентности и их приме­

нечной целью анализа совокупности реализаций является установление линейных зависимостей между процессами, к кото­ рым принадлежат рассматриваемые реализации. Существование таких линейных соотношений может быть установлено по оцен­ кам взаимных корреляционных функций, спектральных плот­ ностей или функций когерентности. Однако вычисление частот­ ных характеристик (блок 3) позволяет наилучшнм образом опи­ сать линейные зависимости.

Формулы для вычисления частотных характеристик и их применения рассмотрены в гл. 5. Статистическая точность оце­ нок этих функций исследуется в разд. 6.7 и 6.8, а метод их^ вы­ числения — в разд. 9.8.

О п редел ен и е д р у г и х со вм ест н ы х х а р а к т е р и с т и к .

При совместном анализе совокупности реализаций можно в зави­ симости от целей конкретного исследования вычислять и другие совместные характеристики (блок И). В их число можно вклю­ чить совместную плотность и функцию распределения, рассмот­ ренные в разд. 3.1.

В предыдущем разделе отмечалось, что при расчете оценок спектральной плотности по двум или более статистически неза­ висимым реализациям следует проверять эквивалентность этих оценок. Ниже показано, каким образом может быть выполнена эта проверка.

Если число степеней свободы п достаточно велико, например

п > 30, то оценка Gif) спектральной плотности Gif) имеет прибли­ зительно нормальное распределение. В разд. 6.5 показано, что

но найти при измерении величины Gif), приближенно выражается в виде

где (Za/2 — 100 a/2)% -пая. точка нормированного гауссовского распределения. При выводе соотношения (7.11) предполагалось,

Логарифмическое преобразование оценки 0(f), т. е. величина

log Gif), имеет распределение, более близкое к нормальному, чем исходное распределение. Среднее значение и дисперсия величины

log Gif) составляют

Таким образом, дисперсия в этой формуле не зависит от частоты!.' Теперь доверительный интервал величины log Gif), соответствуют щий доверительной вероятности 1 — а , приближенно можно вхч-

Это соотношение можно получить непосредственно из формулы^ (7.11) и найти таким образом эвристическое объяснение завися-1