Корректность методов анализа случайных процессов, а также интерпретации результатов анализа в значительной степени зависит от некоторых основных свойств анализируемого процес са. К их числу в первую очередь относятся стационарность, при сутствие периодических составляющих и нормальность процесса. Стационарность процесса играет важную роль потому, что мето ды анализа нестационарных процессов существенно более громозд ки, чем в стационарном случае15. Если установлено, что в процессе содержатся периодические составляющие, то это позволяет из бежать в дальнейшем ошибок при интерпретации результатов анализа. Предположение о нормальности позволяет существенно упростить аналитическое исследование25 свойств случайного про цесса (не содержащего периодических составляющих), поэтому желательна проверка этой гипотезы. На рис. 7.1 оценивание основ ных свойств процесса, т. е. этих трех фундаментальных характе ристик, указывается как отдельная операция, выполняемая до начала детального анализа. Однако на практике она зачастую осуществляется как составная часть общего анализа. Ниже рас смотрены практические соображения, касающиеся оценивания основных свойств процесса.
7.4.1. Тест стационарности
По-видимому, наиболее простой^способ оценивания стацио нарности реализации заключается в рассмотрении физической природы процесса, которому эта реализация принадлежит. Если основные физические факторы, определяющие процесс, не зависят от времени, то можно без дальнейшего исследования полагать изу чаемый процесс стационарным. Рассмотрим, например, случай ный процесс изменения давления в турбулентном пограничном слое, возникающем при полете самолета с большой скоростью. Если очертания самолета, его высота и скорость остаются во время полета неизменными, то справедливо допустить, что
Н Если процесс только стационарный, то для получения статистических характеристик требуется обработка ансамбля реализаций. Поскольку харак теристики стационарного случайного процесса не зависят от времени, то про цедура измерений по стационарному ансамблю, вообще говоря, проще, чем при нестационарном ансамбле. Существенное же радикальное упрощениеизмерений и необходимой аппаратуры достигается тогда, когда может быть принята не только стационарная, но и эргодическая модель, поскольку при этом можно измерять вероятностные характеристики (по отношению к кото рым процесс эргодичен) по одной реализации достаточно большой длительно сти по сравнению с интервалом корреляции процесса.— Прим. ред.
2)Не только аналитическое исследование, но и в ряде случаев аппаратур
ой анализ и измерительную аппаратуру.— Прим. ред.
Общие соображения о сборе и обработке данных
269
I рассматриваемый случайный процесс обладает свойством
стаци
онарности. С другой стороны,
если высота,
скорость и
(или)
конфигурация самолета быстро
изменяются,
то следует
ожи
дать, что колебания давления в пограничном слое нестационарны. На практике такие простые физические соображения зачастую не позволяют проверить справедливость гипотезы о стационар ности. В подобных случаях эта гипотеза должна быть проверена путем анализа имеющихся реализаций. Способы проверки могут быть различными, от визуального просмотра реализаций опытным специалистом до детального статистического оценивания раз личных параметров процесса. Во всяком случае, если исследова
тель намеревается установить стационарность процесса по его втделы-юй реализации, необходимо сделать существенные допу щения. Во-первых, следует предположить, что любая реализация правильно отражает нестационарный характер изучаемого про цесса. Это допущение вполне приемлемо для нестационарных процессов, содержащих детерминированный тренд (см. гл. 10). Во-вторых, нужно допустить, что длина данной реализации существенно больше периода самой низкочастотной составляющей процесса. Иными словами, длина реализации должна быть на столько большой, чтобы можно было разделить нестационарный тренд и низкочастотные случайные колебания1*.
Помимо этих допущений, удобно (но не обязательно) пред положить, что любые представляющие интерес нестационарные свойства процесса полностью описываются медленными во вре мени изменениями среднего значения квадрата процесса. Не трудно, конечно, построить нестационарный процесс со стацио нарным средним значением квадрата. Примером может служить синусоидальное колебание постоянной амплитуды, но с непре рывно возрастающей частотой и со случайной начальной фазой. Все же на практике такие случаи встречаются редко, поэтому маловероятно, чтобы нестационарный случайный процесс обла
дал автокорреляционной функцией, зависящей
от времени
t
при всех значениях т, кроме х = 0. Поскольку
R(0) = ¥ 2,
то
переменное среднее значение квадрата случайного процесса обычно означает, что его автокорреляционная функция зависит от времени. Аналогичные рассуждения справедливы и для момен тов более высокого порядка.
Имея в виду эти допущения, можно предложить такую после довательность действий для проверки стационарности случай ного процесса по отдельной его реализации x(t).
А
Строго говоря, в общем случае эга задача неразрешима, поскольку-про- цесс может содержать составляющие со сколь угодно низкой частотой.—
Прим, перев.
это
Глава 7
1.Реализация разделяется на N равных интервалов, причем наблюдения в различных интервалах полагаются независимыми.
2.Вычисляются средние значения квадрата (или отдельно средние значения и дисперсии) для каждого интервала, и эти оценки располагаются в порядке возрастания номера интервала:
X i , Х а , .K g , * ■ • , Х ] у ,
3. Эта последовательность средних значений квадрата прове ряется на наличие тренда или других изменений во времени, которые не могут быть объяснены только выборочной измен чивостью оценок.
Окончательная проверка реализаций на наличие трендов мо жет быть выполнена различными способами. Если известно вы борочное распределение оценок, то можно воспользоваться ста тистическими критериями, описанными в гл. 4. Однако, как от мечалось в подразд. 6.2.2, знание выборочного распределения оценок среднего значения квадрата требует знания частотной структуры процесса. Обычно при проверке стационарности эти сведения отсутствуют. Поэтому более желательно применение непараметрических критериев, при использовании которых не требуется знание выборочных распределений оценок. Один из таких непараметрических критериев, которым можно восполь зоваться для решения данной задачи, описан в разд. 4.7. Это критерий серий, который может быть непосредственно использо ван следующим образом.
Предположим, что последовательность оценок среднего зна
чения квадрата (х*, х\, х*, ..,х%) есть выборка, составленная из независимых наблюдений над случайной величиной со средним значением Если эта гипотеза верна, то изменения последова тельности выборочных значений будут носить случайный характер при отсутствии тренда. Следовательно, число серий в последова тельности относительно, скажем, медианы будёт таким же, как указанное в табл. А6 для последовательности независимых слу чайных наблюдений над случайной величиной. Если же число серий значительно отличается от ожидаемого значения согласно табл. А6, то гипотезу о стационарности следует отклонить1*. В про тивном случае эта гипотеза должна быть принята. Заметим, что описанный метод не требует знания частотной структуры процес-, са или длины интервалов осреднения, принятых при расчете' средних выборочных значений квадрата. Метод справедлив также и для оценки других моментов второго порядка. Его можно я/'*
** Понятие «значительно отличается»— очень неопределенно. Для при^ нятия решения необходим критерий.— Прим. ред.
Общие соображения о сборе и обработке данных____________271
І'пользовать с равным успехом для оценки средних и среднеквад-
'ратичных значений, стандартных отклонений, средних абсолют ных значений1*и любых других параметров. Кроме того, при его использовании нет необходимости исключать из исследуемой реа лизации периодические компоненты. Даже при наличии таких компонент можно получить правильные выводы, если только период основной гармоники мал по сравнению со временем осред нения при расчете выборочных значений.
Время от начала регистрации, с
Ри с. 7.11. Тест стационарности пульсаций скорости ветра.
Прим ер 7.2. Тест стационарности. Чтсбы проиллюстриро вать применение критерия серий для проверки стационарности, рассмотрим результаты расчетов, приведенные на рис. 7.11. Ис ходные данные для этого примера состояли из 480-секундной
реализации наблюдений над пульсациями скорости ветра. Эта реализация, была получена во время испытательного полета припомощи датчика, установленного в носовой части самолета, летев шего в чистой турбулентной атмосфере. Для оценки стационар ности турбулентного потока реализация была разделена на 20 ин тервалов равной длины (по 24 с). Для каждого интервала была рассчитана оценка стандартного отклонения. Медианное значение оценок стандартного отклонения составило ~0,34 м/с. Допу стим теперь, что рассматриваемой процесс стационарен. Согласно табл. А6, эта гипотеза может бьіть принята при уровне значи мости а = 0,05, если число серий в последовательности стандарт-*
** В отечественной литературе и согласно ГОСТ 16465-70 принят термив «средневыпрямленное значение*. — Прим. ред.
'272
Глава 7
ных отклонений (относительно медианного значения) составляет не менее 6, но не более 15. Как видно из рис. 7.11, число серий равно всего лишь 5. Следовательно, гипотеза о стационарности отвергается при 5%-ном уровне значимости, т. е. процесс должен рассматриваться как нестационарный. На этом пример 7.2 за канчивается.
Заметим в заключение, что предположение о стационарности может быть зачастую подтверждено (или опровергнуто) при по мощи простого непараметрического критерия средних значений квадрата (или других связанных с ним оценок характеристик), рассчитываемых по отдельным отрезкам имеющейся реализации. Однако если исследователь не считает постоянство во времени среднего значения квадрата достаточным доказательством ста ционарности автокорреляционной функции, то следует исполь зовать и другие методы проверки, при которых производится раз биение процесса по отдельным диапазонам частот. В частности, можно разделить процесс на несколько смежных частотных диапа зонов при помощи полосового фильтра и отдельно проверить на стационарность оценки средних значений квадрата в каждом интервале частот1*. Поскольку спектральная плотность и автокор реляционная функция представляют собой пару преобразований Фурье, постоянство во времени одной функции означает, что и другая функция обладает тем же свойством.
7.4.2. Тест периодичности
Теоретически наличие периодических и (или) почти периодиче ских составляющих в случайном процессе проявляется в виде дельта-функций в его спектральной плотности. На практике ока зывается, что спектральная плотность содержит острые пики, ко торые можно ошибочно приписать узкополосному случайному шуму. Желательно поэтому установить наличие периодических составляющих, чтобы не путать их с узкополосным случайным шумом, спектральная плотность которого конечна. Если периоди ческие составляющие имеют большие амплитуды, то их наличие совершенно очевидно. Однако при малых амплитудах периодиче ские компоненты не проявляются столь отчетливо. Установление их наличия осуществляется наиболее эффективно при помощи методов, тесно связанных с методами анализа чисто случайных процессов. Поэтому практически методы выделения скрытых
7
*) Применять фильтры следуете осторожностью, так как результаты из мерений в большой мере зависят от соотношения характеристик фильтра и процесса, продолжительности усреднения, особенностей осредняющего уст ройства и т . п. — Прим. ред.
Общие соображения о сборе и обработке данных
273
'периодичностей представляют собой развитие методов анализа случайных процессов. В частности, периодические составляющие можно зачастую обнаружить в случайном процессе в результате визуального анализа оценок спектральной плотности, плотности распределения и (или) автокорреляционной функции, рассчитан ных по данным наблюдений над стационарным процессом - (см.
гл. I)1*.
П р и м е р 7 .3 .
Спектр смеси шума и гармонического колебания.
Чтобы показать,
как по энергетическому спектру можно обна
ружить наличие гармонической составляющей в случайном про
цессе, обратимся к рис. 7.12. В этом примере процесс на
выходе
генератора случайного шума смешивается с гармоническим сиг
налом. Среднеквадратичное значение амплитуды гармонического
сигнала задано равным 1/12 от соответствующего среднеквадратич
ного значения случайного сигнала. На графике рис.
7.12, а,
полученном при использовании фильтра с относительно широкой
полосой пропускания, наличие синусоиды почти незаметно.
График на рис. 7.12, б, построенный при использовании фильтра
с шириной полосы пропускания, составляющей 1/5 от ширины
предыдущего фильтра, показывает, что гармоническая состав
ляющая, по-видимому, присутствует.
График на рис.
7.12, в,
полученный при использовании фильтра, ширина полосы про
пускания которого еще в 5 раз меньше, достаточно четко
свиде
тельствует о наличии синусоидальной составляющей. На этом
I
пример 7.3 заканчивается.
Из рис. 7.12 видно, что в спектре с высокой разрешающей спо
собностью периодические составляющие проявляются в виде
острых пиков, даже если энергия этих составляющих относитель
но невелика. Однако острый пик в энергетическом спектре неко
торой реализации может характеризовать также и узкополосный
случайный процесс. Эти два случая можно различить, применив
для измерения спектральной плотности фильтр с возможно бо
лее узкой полосой пропускания. Если полученный пик в спектре
характеризует гармоническое колебание, то измеренная ширина
пика всегда будет равна ширине полосы пропускания использо
ванного при анализе фильтра независимо от того, насколько узка
йолоса фильтра. Кроме того, величина
спектральной плотности
всегда будет возрастать прямо пропорционально уменьшению полосы пропускания. Этот метод выделения периодичностей не применим, очевидно, если ширина наиболее узкой возможной
---------------
*■) Строго говоря, никакие статистические методы анализа не позволяют с полной уверенностью доказать наличие периодических компонент в конеч ной реализации случайного процесса. Поэтому тесты целесообразно соче тать с априорными данными и физическими сооб ражениями.— Прим, перев.
18-2244
gib
В е = 50 Гц
а: £
•о С
§1
WO
Частота, Гц
Р и о . 7.12. Оценки спектра мощности смеси гармонического ^сигнала и шума.
. . é
Общие соображения о сборе и обработке данных
275
*юлосы пропускания фильтра превышает диапазон частот воз можного узкополосного случайного процесса. Необходимо также, чтобы длина имеющейся реализации была достаточно большой, так чтобы выполнялось условие ВеТ ^>1. В противном случае неопределенность в измерении спектра случайной части процес- -•еа приведет к появлению ложных пиков, которые могут маскиро вать пики, обусловленные гармоническим колебанием1*.
Наличие гармоник в случайном процессе можно обнаружить также по плотности распределения вероятностей значений про цесса. Графики плотности распределения гармонических и слу чайных процессов сильно различаются (рис. 1.13). Обычно плот- (ность распределения случайного сигнала очень близка, по край ней мере внешне, к известной колоколообразной кривой Гаусса; плотность распределения гармонического процесса имеет чаше образную форму. Применение описанного способа выделения периодичностей связано со следующей трудностью: наличие гармонического колебания можно четко установить по графику плотности распределения только в том случае, если энергия этого колебания достаточно велика по сравнению с энергией случай ной части процесса. Вообще говоря, выявить наличие гармони ческого колебания весьма затруднительно, если дисперсия гар монического колебания меньше дисперсии случайной части про цесса. Далее, при наличии в процессе нескольких гармонических
•составляющих плотность распределения такова, что отличить гармонический процесс от случайного трудно. Разумеется, обе *эти трудности можно свести к минимуму путем фильтрации про цесса с тем, чтобы ликвидировать единичные ложные пики при нахождении плотности распределения.
Наиболее эффективный метод выделения гармонических коле баний в случайном процессе — это построение автокоррелограммы. При чисто случайном процессе автокорреляционная функция
•с увеличением временного сдвига всегда приближается к величи не, равной квадрату среднего значения. С другой стороны, авто корреляционная функция гармонического процесса или суммы гармоник продолжает осциллировать независимо от того, на сколько велико значение сдвига. Этот факт иллюстрируется на рис. 1.15.
Ч Здесь есть и еще одно практически важное соображение. Уменьшение ^ирины полосы пропускания фильтра эквивалентно увеличению длины его весовой функции, поскольку эти две характеристики представляют собой пару преобразований Фурье. Использование же очень длинной весовой функ ции ведет к ряду неудобств, в частности, к значительному сокращению длины реализации (и, следовательно, к увеличению дисперсии оценок), к появлению нелинейных эффектов и т. д.— Прим, перев.
276
Глава 7
7.4.3. Тест нормальности 11
Наиболее просто проверить, подчиняются ли реализации стационарного случайного процесса нормальному закону, мож но, измерив плотность распределена значений процесса и срав нив ее с теоретическим нормальным распределением. Если дли на реализации достаточно велика*2’ и ошибки измерения малы по сравнению с отклонениями функции от нормальной кривой, то несоответствие ее нормальному распределению будет очевидно. Если выборочное распределение оценки плотности распределения известно, можно применить критерии нормальности даже в том случае, когда статистические ошибки велики. Однако, как и в случае проверки стационарности (см. подразд. 7.4.1), при на-? хождении выборочного распределения оценки плотности распре деления необходимо знать частотную структуру процесса. Та кого рода сведения на практике получить трудно. Следовательно, более желательно применять непараметрические критерии, .-у
Один из наиболее удобных непараметрических критериев нормальности распределения — это критерий согласия хи-квад рат, описанный в разд. 4.6. Этот критерий следует применять к дискретным выборочным значениям, характеризующим иссле дуемый случайный процесс. В том случае, когда анализ произ водится цифровыми методами, никаких затруднений не возни кает, так как процесс уже представлен последовательностью дискретных выборочных значений. Однако при использовании аналоговых методов для применения этого критерия следует представить процесс в дискретном виде. Подробно применение* критерия согласия хи-квадрат рассмотрено в примере 4.3.
7.5. Анализ данных
Методы, при помощи^которых изучаются свойства случайных процессов, логично разделить на две группы: методы анализа отдельных реализаций и методы анализа ансамбля реализаций при известных^статистических свойствах каждой отдельной реа-
Ч Следует заметить, что вытекающая из физических данных информация о нормальности процесса нередко более полна, чем о стационарности. Так, например, если исследуемый случайный процесс может рассматриваться как результат прохождения широкополосного процесса с гладким спектром через весьма узкополосную (по отношению к ширине спектра процесса) систему, то гипотеза о нормальности исследуемого случайного процесса вполне правое мерна.— Прим. ред. w
2) Говорить о достаточной продолжительности реализации случайного процесса можно только в относительном смысле — по отношению к интерва лу корреляции данного процесса (см., например, 12] в списке дополнитель ной литературы). — Прим. ред.
Общие соображения о сборе и обработке данных
277
зфпизации. Ниже описываются практические приемы анализа. Затем кратко сопоставляются аналоговые и цифровые методы анализа.
7.5.1. Анализ отдельных реализаций
Схема оценивания статистических характеристик отдельных реализаций представлена на рис. 7.13. Заметим, что многие из рекомендуемых этапов обработки могут быть при необходимости
Реализация может принадлежать стациоРеализация несомненно принадлежит нестацио- парному случайному процессд___________________ [ парному или неслучайному процессу___________________
Определениесреднего значенияи среднего значениянвадрата
Определениеспентрал&ной плотности
Анализреализации нестационарных переходных процессов
Анализреализации периодичеснихили ’очтипериодичесних процессов
Р и с. 7.13. Общая схема анализа отдельных реализаций.
исключены; возможно также осуществление дополнительных опе раций. Отметим еще, что в приводимую здесь схему включены эта пы определения основных свойств процессов, рассмотренные в разд. 7.4. Это сделано для того, чтобы пояснить взаимную связь этих двух частей общего анализа. Рассмотрим теперь каждый
.блок, показанный на рис. 7.13.
Щ Определение среднего значения и среднего значения квадрата. Первый этап (блок А) заключается в вычислении среднего значения и среднего значения квадрата (или дисперсии). Необходимость выполнения этих вычислений практически во
