книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

238 Глава 6

в формуле (6.151) возрастает. Следовательно, как можно ожйу дать, в этом случае оценки частотной характеристики #*(/) ста­ новятся более точными. Большое числовое значение функции тожественной когерентности, связывающей процесс на выходе и все процессы на входе, означает, что модель системы со многи­ ми входами оправдывается хорошо, а уровень постороннего шума мал. Этому обстоятельству можно дать то же объяснение, - которое давалось в подразд. 6.7.2 в связи с большим числовым вначением функции обычной когерентности для системы с одним входом. Малое числовое значение функции множественной ко-

Р я с. 6.6. Доверительная область для оценки частотной характери­ стики.

герентности, связывающей исследуемый процесс на входе и все другие входные процессы, говорит о том, что информация о дан­ ном тракте не является избыточной и, следовательно, оконча­ тельная оценка получается статистически более достоверной. Большое числовое значение отношения спектральной плотности исследуемого процесса на входе к спектральной плотности про­ цесса на выходе свидетельствует о малом вкладе входного про­ цесса в процесс на выходе по сравнению с остальными входными процессами. Это означает более благоприятное отношение энер­ гий полезного сигнала и шума для этого тракта, что приводит к получению статистически более достоверной оценки.

Пример 6.5. Доверительные интервалы для оценок ампли-/. тудной и фазовой частотных характеристик (система со многими входами). Рассмотрим систему с восемью входами и одним выхо­ дом. Предположим, что числовое значение фазовой частотной характеристики, связывающей процесс xt(t) на входе и процесс

%(t) на выходе, при значении частоты / 0 составляет, согласно оцен­ ке 1,94 рад [уравнение (6.149)], а соответствующая оценка ампли­ тудной частотной характеристики равна 3,20. Будем считать, что число степеней свободы п = 1 0 0 , а выборочные значения

Gt(fо) = 0,11; Gu(fо) = 0,82; Й.,(Л>) = 0,90 и yL(/o) = 0,85. Оп­ ределим 95 %-ный доверительный интервал для истинного значе­ ния фазовой частотной характеристики на этой частоте, полагая, что ошибка смещения пренебрежимо мала.

= 0,42 рад. Таким образом, 95%-ные доверительные интервалы для истинных значений амплитудной частотной характеристики и фазовой частотной характеристики, измеряемой в радианах, со­ ставляют, согласно формуле (6.152),

Этот пример показывает, какую большую роль могут играть ошиб­ ки в оценках частотной характеристики в случаях, когда функ­ ция когерентности, связывающая рассматриваемый входной про­ цесс и другие входные .процессы, имеет относительно большое числовое значение.

Пример 6.6. Оценивание частотной характеристики. Рас­ смотрим систему с тремя входами и одним выходом, которая уже обсуждалась в примере 5.7 (см. рис. 5.10). Отметим, что входной процесс ха(/) коррелирован с двумя другими ^входными процес­ сами, а в процессе на выходе у(і) присутствует инструментальный шум n(t). Все три тракта системы представляют собой идеальные низкочастотные ДС-фильтры.

Частотная характеристика тракта системы, связывающего про­ цессы х2(() и y(t), вычислена по формуле (6.149); результаты вы­ числений представлены на рис. 6.7, а. Число степеней свободы этой оценки п — 64 (см. пример 5.7), а функция множественной ^"когерентности с увеличением частоты уменьшается, согласно дан­ ным, приведенным в примере 5.8, от 1,00 до 0,95. Наличие слу­ чайных колебаний на графиках показывает, что оценки ампли­ тудной и фазовой частотных характеристик содержат случайные ошибки.

Если функция множественной когерентности процесса на вы-^ ходе и всех процессов на входе равна единице, то, как следует из соотношения (6.151), случайная ошибка имеет нулевое значе-

ние. Для системы, показанной на рис. 5.10, это условие удовле­ творяется при n{t) = 0, что и было реализовано. После этого была вновь вычислена частотная характеристика тракта, связы­ вающего вход x2(t) и выход y(t). Результаты расчета приведены на рис. 6.7, б. Видно, что кривые не содержат таких колебаний, ко-/ торые свидетельствовали бы о наличии случайных ошибок. По­ казанные здесь кривые соответствуют теоретической частотной характеристике реального і?С-фильтра, который включен в систе­ му между точками входа (процесс хг{і)) и выхода (процесс y(t)).

Обращаясь снова к формуле (6.98), можно сказать, что ошиб­ ка смещения, характеризующая оценку спектральной плотности, зависит главным образом от разрешающей способности Ве. Одна­ ко на величину ошибки смещения сильно влияет также значение второй производной G"(/), которая характеризует «островершин­ ность» энергетического спектра в пределах полосы пропускания Ве. Следовательно, при отыскании связи между ошибкой смеще­ ния еь и полосой пропускания Ве необходимо установить предель­ ное числовое значение производной Gx(f), для чего нужно распо­ лагать некоторыми сведениями о физической сущности исследуе­ мого процесса. В качестве примера рассмотрим реакцию резонанс-

Р и с. 6.8. Ошибка смещения еь для линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка.

ной физической системы в случае, когда каждое ее резонансное звено можно представить в виде простой системы второго поряд­ ка, режим работы которой описывается уравнением (2.19). Пред­ положим, что спектр вынуждающей силы на входе системы остает­ ся однородным в пределах полосы частот вблизи любого значе­ ния резонансной частоты. Тогда энергетический спектр реакции системы вблизи резонансной частоты имеет вид Gx(f) — c\H{f) |2, где с — постоянная, а Н{[) измеряется в механических единицах, как в формулах (2.24). Ошибку смещения для измеряемого спект­ ра вблизи резонансной частоты можно теперь выразить через отношение разрешающей способности Ве к ширине полосы проп^ скания Вг частотной характеристики H(f) по уровню половинной энергии. На основе выполненных в работе [18] расчетов построен график, показанный на рис. 6 .8 . Следует отметить, что ошибка смещения при оценивании спектральной плотности приводит к

выбору длины реализации для получения достаточно точных оце-^ нок энергетического спектра, обычно можно применять и для. оценивания других параметров.

нормированную среднеквадратичную ошибку: а) оценки сред­

ним значением и известной ковариационной функцией Сх(х). Покажите, каким образом можно найти ширину полосы ча­ стот В для эквивалентного ограниченного по частоте нормаль­

двух реализаций x(t) и у(і) ограниченного по частоте белого шума, где

x(t)=s(t) + n1(t) и y(t)=s(t) + n2(t)

(ширина полосы частот составляет В, а длина каждой реализа­ ции Т). Допустим, что функции s(t), n^t) и n2(t) взаимно некоррелированы, обладают нулевыми средними значениями, а сред­

чтобы нормированная среднеквадратичная ошибка, характери­ зующая оценку спектральной плотности [уравнение (6.98)1, стремилась к нулю при Т -*■ оо независимо от вида функции-

6 . Величину Я(/) = \Gx(f)/G’x(f) [,/г называют спектральной по­ лосой частот случайного процесса на частоте /. Обозначим сим­ волом Ятах максимальное ее значение. Определите, какие требо­ вания предъявляются к величинам Ве и Т как функциям Ятах>. если нормированные ошибка смещения и случайная ошибка, ха­ рактеризующие оценку спектральной плотности, не должны пре­ вышать 5%.

7. Рассмотрите оценку Gx(f) спектральной плотности, вычис­ ляемую преобразованием Фурье на конечном интервале с после­ дующим осреднением по ансамблю (рис. 6.2, а). Пусть реализа­ ция x(t) длиной Т = 60с разбита на 12 независимых смежных участков. Найдите 95%-ный доверительный интервал для истин­

через систему входного сигнала «(/), искаженного посторонним аппаратурным шумом n(f), не проходящим через систему. Измеряе­

9. Рассмотрите систему с одним входом и одним выходом в случае, когда измеренное на частоте /„ значение функции коге­ рентности, связывающей процессы на входе x(t) и выходе y(t),

составляет у^у(/о) = 0,75. Пусть измеренные значения спектраль­

ных плотностей Öx(fo) = 2,1 и GJ[Q) = 0,80 получены при неко­ тором числе степеней свободы п. Определите, каково должно быть

.минимальное значение п, чтобы 95%-ный доверительный интер­ вал для истинной амплитудной частотной характеристики соста­ вил ±10% от измеренного ее значения. Ошибкой смещения мож-

пренебречь.

10. Рассмотрите систему с двумя процессами на входе и од­ ним на выходе в случае, когда оценка функции множественнойкогерентности, связывающей процесс на выходе y(t) и два изме­ ренных входных процесса х^і) и x2(t), на частоте /„ составляет-

оценки спектральных плотностей получены по реализации дли­ ной Т = 13с при Бе = 8 Гц.

а) Вычислите ?выборочные^значения амплитудной и фазовой частотных: характеристик, связывающих процессы x2(t) и у(() на частоте f/ 0.

б) Вычислите на 'основе приведенных выше оценок спектраль­ ных плотностей 95%-ные доверительные интервалы для амплитуд­ ной и фазовой частотных характеристик. Ошибками смещения, можно пренебречь. -