книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

228 Глава 6

ностей имеют п = 2ВеТ степеней свободы (см: подразд. 6:5.5 я Как следует из соотношения (5.9), оценка частотной характери­ стики линейной системы имеет вид

Отметим, что выражение (6.120) содержит оценку как амплитуд­

ной |Я (/)| [формула (5.11)1, так и фазовой 4>(f) [формула (5.12)] частотной характеристик. Исследуем теперь статистическую до­

(6 .120 ), обычно содержит ошибку смещения, которая обусловлена следующими факторами:

1) смещение, связанное с самой процедурой оценивания; 2 ) наличие в системе нелинейных и (или) зависящих от вре­

мени параметров; 3} смещение оценок спектральной и взаимной спектральной

плотностей, используемых для вычисления частотной характери­ стики;

4). присутствие инструментального шума на входе (аддитив

шум на выходе не приводит к появлению ошибки смещения); ^ 5) і процесс, измеряемый на выходе, определяется также гими входными сигналами, коррелированными с рассматривае­

мым выходом.

Первый источник ошибки смещения возникает по той причине,

Следовательно, М[Я(/)1 Ф H(f). Не имеет смысла более подробно рассматривать эту ошибку, связанную с самой процедурой оцеу нивания, так как величина ее пренебрежимо мала по сравнению4 с другими ошибками смещения и случайными ошибками, которые встречаются в практике расчетов. В частности можно пока­ зать, что. при п = 2ВеТ -*■оо или ylyif) ->- 1 и отсутствии других

ошибок смещения М[Я(/)1 Н(/). Как будет показано ниже, д^я

снижения случайных ошибок в оценке H(f) до приемлемого уров­ ня необходимо располагать большими значениями п и (или) уху(Л- В общем случае ошибка смещения бывает намного меньше случай­ ной ошибки при любых сочетаниях п и yly(f)-

с одним дополнительным коррелированным процессом. Обратим-^ ся с этой целью к выводам, полученным в подразд. 5.3.3. Пусть- x(t) — измеряемый входной процесс, ѵ(і) — второй, не измеряе­ мый на входе процесс, а y(t) — процесс на выходе. Точное зна­ чение частотной характеристики [формула (5.50)] имеет вид

. G x 0 (f ) Gvy ( f )

Следовательно, если пренебречь всеми другими ошибками смеще­ ния, то из формул (6.120) и (6.123) вытекает, что

ll ~ G 0 ( f ) G x y ( f ) J

Вслучае некоррелированности измеряемого x(t) и не измеряемого

v(t) процессов на входе функция когерентности y^if) = GxV(f) = () и правая часть уравнения (6.124) становится равной^единице. Таким образом, не измеряемые на входе процессы, которые не коррелированы с измеряемым входным процессом, присутствуют на выходе в виде аддитивного шума. Поэтому] в’данном случае ошибки смещения равны нулю. Однако при наличии такого рода процессов оценки частотной характеристики содержат, как бу­ дет показано в следующем подразделе, случайную^ ошибку.

6.7.2. Случайная ошибка

Для того чтобы найти случайную ошибку, характеризующую * оценку частотной характеристики, рассмотрим описанную выше систему с одним входом ix(t) и с одним выходом у{1). Допустим, что условия, при которых]ошибки смещения малы, остаются та­ кими же, как описано в подразд. 6.7.1. Далее обозначим симво­ лом z(t) остаточный посторонний шум на выходе, обусловленный наличием инструментального шума и (или) других некоррелирован­ ных входьых процессов. Тогда для любой пары реализаций ве­

Найдем преобразования Фурье (на конечном интервале) функций

но на основании формулы (6.120) с учетом (3.100) и (3.101), где оценки ^спектральных^ плотностей

Gxy (f,T )= ^rX * (f, Т) Y (/, Т),

Полѵченная таким путем оценка Gz(f, Т) обладает только дву­ мя степенями свободы, потому что разрешающая способность Ве данной оценки, вычисляемой с учетом выражений (6.132),состав­ ляет І/Т .;Чтобы увеличить число степеней свободы, необходимо

сгладить оценку Gz(/, Т), либо осредняя ее по ансамблю независи­ мых оценок, либо используя более широкую полосу пропуска­ ния Ве (см. подразд. 6.5.5), В этом случае

где аргументы, выражающие зависимость результатов от Ве и Т, для простоты опущены. Предположим теперь, что операция сгла­ живания применяется к различным спектральным оценкам с тем,

подчиняется распределению у„3 с п степенями свободы, как опи­ сано в подразд. 4.3.2. Два слагаемых, стоящих в правой части соотношения (6.134), статистически независимы. Поэтому сте­ пени свободы, связанные с каждым слагаемым, следует сумми­ ровать:

где число % подлежит определению. Первое слагаемое G£(f) пра­ вой части (6.134) должно иметь число степеней свободы, равное

разности числа степеней свободы оценки Gz(/);'nnчисла дополни­ тельных ограничений, накладываемых!на оценку Ö£(f). Из фор­ мул (6.127) — (6.129) вытекает, что величина Z(f, Т) выражается через оценку H(f, Т), а не через истинное значение частотной ха­ рактеристики H(f). Это обстоятельство накладывает два независи­

ния оценки H(f, Т). Следовательно, оценка G£(f) имеет число сте­

Число степеней свободы для слагаемых, стоящих в правой части уравнения (6.134), в сумме должно составлять п. Отсюда следует, что второе слагаемое имеет только две степени свободы, и поэтому величина

подчиняется распределению у2 с двумя степейямщсвободы. Член

jT

где п = 2ВеТ — число степеней свободы каждой оценки спектр ральной плотности; F2,n- 2 а — 100 a -процентная точка/^-распре­

деления с пг = 2 и п2 — п — 2 степенями свободы; Gx(f) и Gv(f) — оценки энергетического спектра процессов на входе x(t) и на вы­

ходе y(t) соответственно; yly(f) — выборочное значение функции обычной когерентности, связывающей процессы на входе x(t) и на выходе y(t). С геометрической точки зрения соотношение (6.146) характеризует, как показано на рис. 6 .6 , окружность

радиуса г(/) с центром в точке #(/). При любом значении часто­ ты / соответствующие доверительной вероятности (1 — а) дове­

рительные интервалы для оценок амплитудной | #(/) | и фазовой

Ф(/) частотных характеристик выражаются приближенными соот­ ношениями

IН (!) \ - г ( П < I я (/) I < IЯ (/) I + г (/),

(6.147)

ф (/) ~ дф (/) < ф(!) < ф (!) + Дф(/).

Здесь r(f) — положительное значение корня квадратного из5величины г2(/), определяемой по формуле (6.Г46), а

\Н(П\

Как видно из формул (6.146), выражаемая через величинуу r(f) случайная ошибка в оценке частотной характеристики силь­ но зависит от числа степеней свободы п и выборочного коэффи­ циента когерентности уху(/)- В частности, при п оо t или

Уху(!) -*■ 1 r(f) -*■ 0. Однако при использовании этих выводов в некоторых предельных случаях следует соблюдать осторожность.

Если, например, yxy(f) ~ yly(f) — 0, то это означает, что между точками измерения не располагается никакая физическая систе­ ма и, следовательно, никакой частотной характеристики!найти нельзя. С другой стороны, при отличных от гуля значениях функции УхУ(!) независимо от того, насколько они малы, оценку частотной характеристики можно получить с любой требуемой степенью достоверности, если объем собранных данных измере­ ний позволяет обеспечить достаточно большое значение п. В дру-

гом предельном]?'случае,^ когда у%у(!) ~ Ухи(!) = 1, из формулы (6.146) следует, что случайная ошибка равна нулю независимсГ' отГтого, каково значение п. Этот вывод теоретически справедлив даже в предельном случае, когда п—2 , так как идеальная коге­ рентность означает, что величина y(t) представляет собой просто­ детерминированную функцию аргумента x(t). Тем не менее на

• практике не следует пытаться найти оценку частотной характери­ стики при оценивании спектральной плотности с двумя степенями

по оценкам спектральных плотностей с двумя степенями свободы, всегда равна единице независимо от.истинного значения коге­ рентности.

Пусть(найденное по формуле (6.120) числовое значение оценки амплитудной частотной характеристики, связывающей процесс на входе x(t) с процессом на выходе у(і) при данном значении часто­ ты / 0, составляет 1,25. Предположим, что измеренные значения

спектральных плотностей составляют Gx(f0) = 0,13 и Ъу(/0) —

= 0,28 при уІу — 0,70, а число степеней свободы п = 100. Опре­ делим 99 %-ный доверительный интервал для истинного значения амплитудной частотной характеристики на этой частоте, полагая ошибку смещения пренебрежимо малой,

Для условий этого примера пг = 2, п2 = 98 степеней свободы. По данным4табл. А5в находим, что при доверительной вероят­ ности 1 — а = 0,99

А2 ,9 8 ; о.оі — 4,82.

Из^соотношения (6.146) следует, что

Таким образом, 99 %-ный доверительный интервал для амплитуд­ ной частотной характеристики составляет

l,0 0 < j t f ( / o ) | < 1.50.

6.8. Оценки частотных характеристик (система со многими входами)

Рассмотрим "теперьт юбладающую постоянными параметрами Линейную систему, на вход которой поступает q процессов xt(t), і = 1, 2, ..., q, обладающих гладкими свойствами. Эти процессы формируют один процессЦна выходе y(t), причем, как показано на рис. 6.5, каждому тракту системы соответствует своя частотная

характеристика і = 1, 2, 3, .... q. Пусть величина Gt(f) —

236 Глава 6

= Git(J) представляет собой оценку спектральной плотности'

входного процесса xt(i), а G0(/) — оценку взаимной спектраль­ ной плотности входных процессов хг(/) и X j ( t ) . Пусть далее сим­

вол Giy(f) обозначает оценку взаимной спектральной плотности входного Хі(і) и выходного y(t) процессов. Тогда, согласно форму­ ле (5.120), оценку частотной характеристики, связывающей

У(і)

Р и с . 6.5. Линейная система со многими входными процессами.

процесс в каждой точке входа и процесс в точке выхода, можно найти из матричного соотношения

В частном случае, когда входные процессы некогерентны, квадратная матрица переходит в диагональную, обратная матри­ ца которой такова, что формула (6.149) распадается на ряд не­ зависимых соотношений типа (6.120). Следовательно, форму­ ла (6.149) представляет собой наиболее общее .соотношение, не­ обходимое для вычисления частотных характеристик по данным об измеренных в точках входа и выхода процессах.

Оценки частотных характеристик, вычисляемые по формуле (6.149), в общем случае содержат ошибки смещения того же типа и того же происхождения, что и ошибки, рассмотренные в подразд. 6.7.1 для системы с одним входом. Кроме того, оценки вклю­ чают в себя также случайные ошибки, аналогичные по форме слу­ чайным ошибкам, о которых говорилось в подразд. 6.7.2. В слу­ чае системы со многими входами выражение для случайной ошиб­

ЩЗдесь q — число процессов на входе (процесс на выходе не учиты­

y(t) на выходе и все измеренные процессы на входе; y\.x(f) — оцен­ ка функции множественной когерентности, связывающей про­ цесс Xi(t) и другие измеренные процессы на входе. Следовательно, соответствующие доверительной вероятности (1 — а) довери1тельные интервалы для амплитудной | Ht(f) | и фазовой частотных характеристик при любом значении частоты и для любого тракта системы і = 1 , 2 , ..., q определяются в виде

3)оценка функции множественной когерентности ylx (f) при­ ближается к нулю;

4)числовое значение оценки спектральной плотности 0 г(/) входного процесса возрастает;

5)числовое значение оценки спектральной плотности Gy(f) выходного процесса уменьшается.

Эти пять выводов согласуются и с интуитивными соображе­ ниями. По мере увеличения п точность всех выборочных величин