книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf2 1 8 |
Глава 6 |
Следовательно, нормированное среднее значение квадрата ошиб~ ■ки можно приближенно представить в виде
(6.98)
Квадратный корень из величины (6.98) дает нормированную
•среднеквадратичную ошибку в.
Следует отметить две важные особенности выражения для ошибки, характеризующей оценку спектральной плотности. Вопервых, к разрешающей способности Ве предъявляются два противоречащих друг другу требования: для уменьшения ошиб ки смещения необходимо задаваться малым значением Ве, тогда как для уменьшения случайной ошибки разрешающую способность ■следует увеличивать. Это противоречие аналогично описанной в подразд. 6.3.3 ситуации, связанной с выбором ширины интерва ла W при измерении плотности распределения. Однако в данном случае вопрос стоит еще более остро, так как на практике кри вая спектральной плотности зачастую содержит резко выражеьлые пики (которым соответствуют большие числовые значения второй производной), что делает затруднительным снижение ошиб ки смещения. Во-вторых, ошибка смещения включает в себя толь ко полосу пропускания Ве, а не всю полосу частот В, присутст вующих в процессе. Следовательно, случайная ошибка в большей степени зависит от параметров схемы анализа, чем от неизвест ных параметров процесса. Это обстоятельство еще раз подчерки вает практическое значение формулы (6.98) для планирования эксперимента и анализа процессов. Затронутые здесь вопросы рассматриваются также в разд. 6.9.
6.5.4. Оценки взаимной спектральной плотности
Оценки взаимной спектральной плотности двух стационарных (эргодических) случайных процессов {x(/f)j и (г/(0 ) обычно вы ражают через синфазную Cxy(f) и квадратурную Qxy(f) составляю щие этой функции:
GXy( / ) = Сху ( / ) — І 0 . Х У ( / ) • |
(6.99) |
Действу я таким же образом, как и при выводе соотношения (6.93), найдем, что дисперсии'оценок Cxy(f) и Qxy(f) удовлетворяют сле дующим ограничениям:
( 6 . 1 0 0 )
Ошибки при анализе случайных процессов |
219- |
смещения можно представить приближенно в виде
(6. 101)
5*
b \Q x u (/)] ~ ~24" Q x y (/)•
Точные значения дисперсий (6.100) зависят от функции когерент ности у! (/). Вычисление взаимных спектров представляет собой обычно промежуточный этап при нахождении оценок других ^‘параметров (функций когерентности и частотных характеристик). Поэтому задача оценивания взаимной спектральной плотности рассматривается ниже совместно с исследованием ошибок, харак теризующих оценки других параметров.
6.5.5.Оценки спектральной плотности, получен ные преобразованием Фурье на конечном интервале
В подразд. 6.5.1 приведено выражение для дисперсии оценок спектральной плотности, которые получают путем фильтрации, возведения в квадрат и осреднения. Эти операции обычно осу ществляются с помощью аналоговой аппаратуры. Можно найти »также выражение для дисперсии оценок спектральной плотности,
которые получают путем непосредственного преобразования Фурье. Эту операцию осуществляют с помощью цифровых вычисли тельных машин, используя описанный в гл. 9 алгоритм быстрого преобразования Фурье. Краткое описание этого второго способа вычисления спектра может облегчить задачу определения оши бок, характеризующих оценки ^спектральной плотности.
Рассмотрим вычисляемую по формуле (3.102) спектральную плотность стационарного (эргодического) гауссовского случай ного процесса \x{t)}. В частном случае реализации неограничен ной длины Т энергетический спектр
G*(/) в 2ІІШ -4- М [I X (/, Г) I2], |
(6.102) |
рте Х(/, Т)]— преобразование Фурье функции х(і) на конечном Отрезке времени:
т
Х (/, T )= J x{t) e-*W dt. |
(6.103) |
о
220 Глава 6
Оценку величины Gx(f) можно теперь получить, просто опускай' в формуле (6 .10 2 ) знаки предела и математического ожидания:
Gx {f) = ^ - \ X { f ,T ) \ \ |
(6.104) |
При этом обеспечивается наиболее высокая из возможных раз
решающая способность |
Ве = 1/Т. |
|
|
|
||
Для того чтобы найти дисперсию этой оценки, заметим, что |
||||||
преобразование Фурье X(f, |
Т) на |
конечном отрезке времени |
Т |
|||
дает |
ряд составляющих |
с |
частотами / = klT, где k |
= 1 , 2 , |
3 |
|
и т. |
д. Отметим также, |
что X(J, Т) |
есть комплексная |
величина, |
||
действительная XR(f, Т) и мнимая Xj(f, Т) части которой представ.^ ляют собой, как можно показать, некоррелированные случай ные величины о нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями. Так как преобразование Фурье есть линейная опе рация, то очевидно, что в том случае, когда процесс x(t) подчи няется нормальному распределению, функции X R{f, Т) и X,(J, Т) будут нормальными случайными величинами. Отсюда можно
заключить, |
что величина |
|
|
IX (/, Т) р = Х%(/, Т) + X} (/, Т) |
(6.105) |
есть сумма |
квадратов двух независимых нормальных |
величин. |
■Следовательно, как вытекает из определения (4.16) с учетом вы ражения (4.37), каждая частотная составляющая оценки G(f, Т
имеет |
выборочное |
распределение |
|
|
|
G(f.T) |
хі |
|
|
G(f) |
2 |
где X2 |
— величина, |
подчиняющаяся распределению ха с п = 2 |
|
степенями свободы. |
|
|
|
Необходимо подчеркнуть, чго величина (6.106) не зависит от длины реализации Т. Поэтому при увеличении длины реализа ции функция распределения, которая описывает случайную ошибку полученной оценки, не меняется, а только возрастает число частотных составляющих оценки. Если длину реализации интерцретировать как меру объема выборки, характеризующего данную оценку, то отсюда следует, что формула (6.104) дает не состоятельную оценку спектральной плотности (что отмечалось еще в подразд. 3.2.3). Кроме того, случайная ошибка такой оцен ки достаточно велика. Обращаясь к соотношениям (4.19) и (4.20)', можно видеть, что среднее значение и дисперсия величины, под чиняющейся распределению х2. составляют п я 2 п соответственна. Поэтому нормированная стандартная ошибка, определяющая случайную погрешность полученной оценки, будет иметь вид
р |
оФх (т |
■\ f 2п |
2_ |
(6.107) |
|
Gx (f) |
п |
п ‘ |
|
|
|
Ошибки при анализе случайных процессов |
221 |
тЗ рассматриваемом случае п = 2 и ег = 1 , т. е. |
стандартное от |
клонение равно самой оцениваемой величине. Для большинства расчетов такая случайная ошибка не приемлема.
На практике случайную ошибку, характеризующую оценку (6.104), уменьшают путем последующего сглаживания оценки. Существуют два способа сглаживания. Первый способ — сгла живание по ансамблю. Для этого, как показано на рис. 6.2, а,
находят индивидуальные оценки по независимым |
реализациям |
||
і — 1 , 2 , 3, |
..., q, а затем осредняют q оценок на |
каждой |
|
частоте. Второй |
способ — сглаживание по частоте. |
Для |
этого, |
как показано на рис. 6 .2 , б, осредняют результаты вычислений !>.для I смежных частотных составляющих оценки, полученной по одной реализации. В любом случае операция сглаживания озна чает приближение к математическому ожиданию в формуле
(6 .10 2 ), в результате чего оценка получается состоятельной.
Для того чтобы пояснить этот вывод, положим разрешающую
•способность спектрального анализа равной Ве = 1jTe. При осред нении по ансамблю общая требуемая длина реализации составит Т = qTe, откуда q = Т/Д . При втором способе сглаживания, когда частоты составляющих разделены интервалами Аf = 1/Г, число I — Bj&f = Т/Д , как и при сглаживании по ансамблю. Это означает, что при q = / два рассмотренных способа сглажи вания эквивалентны. Далее, учитывая равенство Х а + Х ь —
— Ха+ь и полагая величину Gx(f) постоянной в пределах полосы Ве, можно видеть, что полученные оценки представляют собой
»«величины, подчиняющиеся распределению х2 с п = |
21 степеня |
|||||
м и свободы. Так как I = |
Bjts.f и Д/ = |
1/Т, то справедливо сле |
||||
дующее важное соотношение: |
|
|
|
|
||
|
п— 2ВеТ. |
|
(6.108) |
|||
Подставляя выражение (6.108) |
в равенство (6.107), |
находим |
||||
. _ |
g IGx(01 |
1 |
|
(6.109) |
||
Y W |
’ |
|||||
|
Gx if) |
|
|
|||
■что согласуется с выводами подразд. 6.5.1.
Следует еще раз подчеркнуть некоторые важные выводы, по лученные в ходе проведенного выше обсуждения. Во-первых, если ■оценку энергетического спектра находят путем прямого преобра зования Фурье [формула (6.104)], то для получения состоятель ной оценки необходимо применять операцию сглаживания. Вовторых, если эта операция не проводится, то нормированная стан дартная ошибка вычисляемой оценки будет равна единице. В-третьих, выборочное распределение сглаженной оценки при ближенно совпадает с распределением ха с п = 2ВеТ степенями
свободы. Следовательно, если оценка Gx(f) спектральной плот ности Gx(f) вычисляется по реализации длины Т при разрешаю-
Ошибки при анализе случайных процессов |
223 |
\
$$цей способности Ве, то соответствующий доверительной вероят ности 1 — а доверительный интервал определяется неравенством
|
n Ö ( f ) |
» п = 2ВеТ. |
(6 . 1 1 0 ) |
|
2 |
||
Х п; а /2 |
Xfi; 1—а/2. |
|
|
Рассмотрим теперь ошибку смещения, характеризующую оценку спектральной плотности, которую получают путем сгла живания оценок (6.104). Наиболее наглядное представление об ошибке смещения, найденной в подразд. 6.5.2, можно получить в случае сглаживания по частоте. При этом способе оценкуспект-
Р и с . 6.3. Пример ошибки смещения при сглаживании оценок спек тральной плотности по частоте.
Тральной плотности на частоте / 0 определяют путем осреднения спектральных плотностей составляющих с частотами в диапазоне
/о — BJ2 < / < / < , + BJ2 (рис. 6.3). Так как M[ö(/0)] ф G(f0),
то в результате возникает ошибка смещения. Исключение состав ляет частный случай, когда G"(f0) = 0. Очевидно, что ошибка
смещения увеличивается с |
ростом |
G"(f0) при фиксированном |
значении Ве или с ростом |
Ве при |
фиксированном значении |
С ' Ф Ф 0 . |
|
|
6.6. Оценки функций когерентности
Рассмотрим две реализации x{t) и y(t), принадлежащие стацио нарным (эргодическим) случайным процессам {х(0 ) и [y(t)}. Предположим, что реализации заданы на отрезке времени одина ковой длины Т и оценки спектральных и взаимных спектральных /плотностей имеют п = 2ВеТ степеней свободы (см. подразд. 6.5.5). Согласно определению (5.23), оценка функции когерентности yly(f) двух случайных процессов имеет вид
й Л / ) = |
1Gxv(f) I2 |
( 6 .1 1 1 ) |
|
4 (f)^ (f) ‘ |
|||
|