книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

6.3.2. Смещение оценки

Найдем теперь выражение для ошибки смещения, входящей в соотношение (6.46). С учетом истинной плотности распределения из формулы (6.42) находим, что

6.3.3. Нормированная среднеквадратичная ошибка

Суммарное среднее значение квадрата ошибки (6.44) для оцен­

Следовательно, нормированное среднее значение квадрата ошибки

Корень квадратный из выражения (6.57) дает нормированную среднеквадратичную ошибку е.

. Как следует из соотношения (6.57), при измерении плотности распределения к ширине коридора W предъявляются противоре­ чащие друг другу требования. С одной стороны, для уменьшения случайной ошибки желательно задаваться большими значения­ ми W. С другой стороны, чтобы снизить ошибку смещения, необ­ ходимо сузить интервал W. Однако при Т -*■ оо суммарная ошиб­ ка стремится к нулю, если величина W ограничена таким обра­ зом, что W -V 0, а WT —>- оо. На практике при W < 0 ,2 0 ,. нор­ мированная ошибка смещения не превышает одного процента. Это утверждение справедливо потому, что выражение для этой ошибки (6.57) содержит производную р"(х), а плотности распреде-

- ления обычных (приблизительно гауссовских) случайных про-

іцессов не содержат крутых и острых пиков, которым соответст­ вуют большие числовые значения второй производной.

6.3.4. Оценки совместной плотности распределения

Оценки совместной плотности распределения двух реализа­ ций x(t) и y(t) стационарных эргодических случайных процессов (x(^)j и {y(t)\ можно найти следующим образом. Аналогично соотношению (6.36) положим, что величина

дает оценку вероятности того, что ординаты x(t) попадают в ин­ тервал Wx с центром в точке х и ординаты y(t) одновременно по­ падают в интервал Wy с центром в точке у. Эта оценка опреде­

ляется величиной отношения Тх>у/Т, где ТХ)Упредставляет собой

суммарное время, в течение которого эти два события наблю­ даются одновременно в пределах интервала Т. Очевидно, что ве­ личина Тх у в общем случае зависит и от х, и от у. Эта оценка сов­

Совместную плотность распределения р(х, у) можно теперь опре­ делить каквеличину

Р [X, №Ѵ, у, W„]

р (х, у) = lim WXWU W-+0

V 0

«Ѵ>°

И —2244

^случаи оценки взаимной корреляционной функции, когда обе

функции можно получить результаты, применимые к оценкам

. В эту формулу входит фиксированный интервал интегрирования Т вместо переменного интервала интегрирования в формуле (6.63). Именно в таком виде выше было дано определение корреляцион­ ных функций. Отметим, что оценки средних значений квадратов функций x(t) или y(t) представляют собой просто частные случаи соотношения (6.63) или (6.65) при т = 0. Для упрощения обозна­ чений в последующих выкладках вместо формулы (6.63) будет использоваться формула (6.65). В обоих случаях окончательные результаты будут одинаковы, если считать, что процессы заданы на интервале Т + т.

Математическое ожидание оценки Rxy(t)

т

М [ £ ад(т)1= 4 - Г м [ * ( * ) 0 ( < + т )1 d t =

о '

т

о

!4*

Rxy(т) есть несмещенная оценка функции Rxy(т). Среднее значение квадрата ошибки определяется дисперсией

D [Rxy (т)] = М [(Rxy (т) ~ R xy (т))"і=

Чтобы упростить последующие преобразования и согласовать результаты со многими физическими приложениями, представ­ ляющими наибольший интерес, будем считать, что совместная плотность распределения случайных процессов (х(0 ) и {г/(0 } для любой совокупности фиксированных моментов времени есть функция Гаусса. Этого ограничения можно избежать, вводя не­ которые условия интегрируемости для негауссовских частей случайных процессов и не меняя при этом существенным образом окончательные выводы. В случае, когда совместная плотность рас­ пределения процессов \x(t)) и {уОО} нормальна, сами процессы {х(0 } и {г/(0 } порознь также подчиняются нормальному распре­ делению.

Для гауссовских стационарных случайных процессов с нуле­ выми средними значениями формула (3.134) дает следующее вы­ ражение для четвертого смешанного момента:

М [X (и) у (и+ т)х (V) у (ѵ + т)] =

=R2xy СО + Rx (v—u) Ry(ü—u) + Rxy (v— u+ t) Ryx (v—u— t). (6 .6 8 )

Следовательно, дисперсия

—T

A

Второе равенство можно получить из первого, используя под­ становку | = V — и, = dv и меняя затем порядок интегриро­ вания по переменным £ и и. Если считать, что произведения

g/ — (Ве/2) до / + (Ве/2) и отнесена к ширине полосы Ве. Отметим следующее обстоятельство. Так как отличное от нуля среднее значение соответствует наличию дискретной составляющей с нулевой частотой, то предположение о равенстве среднегозначения нулю существенно в дальнейшем лишь в том случае, когда полооа Ве содержит частоту / = 0. Во всех других случаях, когда Ве не включает в себя частоту / = 0, полученные ниже вы­ воды применимы ко всем процессам с произвольным среднимэначением.

Среднее значение квадрата функции x(t) в пределах полосы частот Ве с центральной частотой / определяется выражением

г

величина (6.79) представляет собой несмещенную и состоятель­ ную оценку истинного среднего значения квадрата при Т, стре­ мящемся к бесконечности. Это означает, что

,выходе фильтра с полосой пропускания Ве и центральной часто­ той Д По определению спектральная плотность

представляет собой оценку функции Gx(f), определяемую методом^ который поясняется на рис. 6.1. Среднее значение квадрата функции x(t) в полосе частот от Д до Д можно выразить черезистинное значение спектральной плотности Gx(f) в виде

(6 .8 3 )

h

216 Глава 6

В частности,

м~(Ѵ2)

M V 2)

Из формул (6.82) и (6.84) следует, что

М Ѵ 2)

М Ѵ 2)

Таким образом, для большинства значений Gx(f)

т. е. Gx(f) в общем случае представляет собой смещенную оценку функции.

Среднее значение квадрата ошибки для оценки Gx(f) вычисляют из соотношения (6 .6 ):

6.5.1. Дисперсия оценки

Для того чтобы непосредственно получить выражение для дисперсии оценки спектральной плотности, воспользуемся вы­ водами, подразд. 6.2.2. Как следует из соотношения (6.82), ве­ личина

есть несмещенная оценка, характеризующая среднее значение квадрата функции x(t) в полосе частот Вес центральной частотой/. Если спектральная плотность Gx(f) постоянна в пределах полосы частот Ве, то истинное среднее значение квадрата W2(f, Ве) = = BeGx(f). Это условие выполняется приближенно при достаточно малых значениях Ве. Теперь можно использовать формулу (6.34), положив в ней Rx{0) = BeGx{f):

Так как Ве — постоянная, то