книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

Заметим, что среднее слагаемое приведенного выражения содер^ жит множитель, равный нулю:

М[Ф—М [Ф]] = М[Ф] —М [Ф ]=0.

Следовательно,

Таким образом, среднее значение квадрата ошибки состоит из двух частей. Первая часть — это дисперсия оценки, характеризую­ щая долю «случайности» в величине ошибки

Вторая часть есть квадрат смещения оценки, характеризующий систематическое ее отклонение

Итак, среднее значение квадрата ошибки равно сумме дисперсии оценки и квадрата смещения оценки

единицах измерения, что и оцениваемый параметр. Для этого можно вычислить положительное значение корня квадратного из величин ошибок, описываемых формулами (6.3)—(6.5). Ква^*, ратный корень из величины (6.3) определяет среднеквадратичной? отклонение оценки, называемое стандартной (или случайной) ошибкой:

Квадратный корень из величины (6.4) определяет ошибку сме­ щения:

Квадратный корень из суммы квадратов ошибок (6,5) определяет

среднеквадратичную ошибку.

Среднеквадратичная ошибка= У до [(ф_ф)2] —

Для удобства весьма желательно представить ошибку в долях от оцениваемого параметра. Для этого ошибку делят на величину оцениваемого параметра и получают нормированную ошибку. При Ф ф 0 нормированные стандартная ошибка, ошибка сме-

чщения и среднеквадратичная ошибка выражаются формулами

Заметим, что нормированную стандартную ошибку ег часто на­ зывают коэффициентом вариации.

В последующих разделах этой главы ошибки оценок пара­ метров выражают через величины, определяемые формулами (6.9). При известных выборочных распределениях оценок на основании этих величин можно найти, как показано в разд. 4.4, доверитель­ ные интервалы для исследуемых оценок. Если среднеквадратич­ ные ошибки малы, то при оценивании параметров, за исключе­ нием спектральной плотности и частотной характеристики, обыч­ но считается справедливым предположение о нормальности выбо­ рочных распределений оценок. Спектральная плотность и частот­ е н характеристика требуют специального рассмотрения, потому что %на практике нормированные среднеквадратичные ошибки оценок этих параметров часто бывают относительно велики. При получении оценок параметров ниже каждый раз будет исследо­ ваться состоятельность этих оценок в соответствии с уравне­ нием ^(4.7).

6.2. Оценки среднего значения и среднего значения квадрата

6.2.1. Среднее значение

Предположим, что отдельная реализация x(t), взятая из ста­ ционарного (эргодического) случайного процесса (х(/)}, опреде­ лена на конечном интервале времени длиной Т. Выборочное сред­ нее значение можно вычислить по формуле

г

поскольку, как следует из соотношения (3.137), оператор мате^ матического ожидания коммутативен с линейными операторами.

Следовательно, независимо от длины реализации Т цх есть несме­ щенная оценка величины р*. Так как р_,. — несмещенная оценка,

Автокорреляционная функция Rx(x) стационарного случай­ ного процесса jx(/)), определяемая формулой (3.44),

Согласно гипотезе о стационарности, Rx(x) не зависит от времени t и является четной функцией аргумента х с максимумом в точке т = 0. Будем считать, что функция Rx(x) непрерывна и ограниче­ на при всех значениях т и что все периодические составляющие функции Rx(x) заранее исключены. Автоковариационная функция Сх(т), определяемая формулой (3.47), имеет вид

Оказывается, что в случае, когда цх Ф 0 , удобнее пользоваться функцией Сх(х), а не Rx(x). Будем полагать, что функция СДт) интегрируема [см. формулу (3.118)], и, следовательно, процесс \x{t)) обладает свойством эргодичности.

V Следовательно, в случае, когда р,жФ 0 , нормированное сред­ нее значение квадрата ошибки оценки будет равно

Величина е, равная корню квадратному из выражения (6.23),

представляет собой нормированную среднеквадратичную ошибку,

которая в данном случае содержит только случайную ошибку, поскольку ошибка смещения равна нулю.

iß.2.2. Среднее значение квадрата

Пусть, как и в подразд. 6.2.1, x(t) есть отдельная реализация стационарного эргодического случайного процесса (х(£)}. Сред­ нее значение квадрата процесса {лг(^)} можно найти путем осред­ нения в пределах конечного интервала времени Т следующим образом:

т

смещенная оценка величины Т-2.

Среднее значение квадрата ошибки этой оценки равно ди­

Предположим теперь, что {*(/)) — гауссовский случайный про-^ цесс со средним значением рх ф 0. В этом случае математическое^ ожидание в формуле (6.27) запишется с 'учетом соотношения (3.134) в ином виде:

Из основного соотношения (6.16) следует, что

Таким образом,

т т

i

— СО

m

Следовательно, величина Y2 есть состоятельная оценка параметра

IF2, так как дисперсия Dl1?2] стремится к нулю при Г -+ оо и при условии, что функции С2(т) и Сх(х) абсолютно интегрируемы на интервале (— оо, оо), как это устанавливается соотношениями

(3.118).

Пример 6.2. Дисперсия оценки среднего значения квадрата для гауссовского белого шума с ограниченной полосой частот. Рассмотрим важный частный случай гауссовского белого шума с ограниченной полосой частот, когда

Эта величина представляет собой дисперсию оценки среднего значения квадрата гауссовского белого шума с ограниченной полосой частот В в интервале наблюдения Т. Соотношение (6.33)

206 Глава 6

есть выборочная оценка величины р{х). Вероятность того, что ордината реализации x(t) попадает в интервал между хг и х2, можно выразить JRчерез плотность распределения следующим образом:

и, следовательно, р{х) в общем случае представляет собой смещенную оценку вероятности р(х).

Среднее значение квадрата ошибки для оценки р(х) находят по формуле (6 .6):

Для того чтобы найти дисперсию оценки р(х), необходимо знать статистические свойства промежутков времени Д*,, которые в сумме дают интервал Тх. К сожалению, получить такую вре-

^менную статистику для случайного процесса очень трудно. Однако

соответствующее выражение для дисперсии величины р(х) в общем виде все же можно получить исходя из следующих эври­ стических соображений.

Как видно из соотношения (6.39), дисперсия оценки р(х)

где Р(х, W) — оценка величины Р(х, U7). Дисперсия оценки этой доли времени, полученной по выборке объемом N независимых значений случайной величины, имеет вид [13]

Подставляя выражение (6.48) в (6.47) и полагая, что

Р (х, W) ^ Wp (х) С 1,

можно получить приближенную формулу для дисперсии оценки, характеризующей плотность распределения:

где число^іѴ должно быть определено. Далее, как следует из до­ сказанной *в подразд. 3.5.2 теоремы о дискретном представлении "процесса во временной области, реализацию x(t) случайного про­ цесса с полосой частот В, заданную на интервале времени Т, можно полностью описать N = 2ВТ дискретными значениями. Эти N дискретных значений не обязательно, разумеется, будут стати­ стически независимы. Тем не менее для любого данного стацио­ нарного случайного процесса, обладающего свойством эргодич­ ности, каждая, его реализация содержит п — N/c2 независимых выборочных значений (степеней свободы), где с — постоянная. Таким образом, из формулы (6.49) следует, что

Постоянная с зависит от вида автокорреляционной функции про­ цесса и от величины интервала дискретности. Для ограниченного по частоте непрерывного белого шума, как показывают резуль- ?Іаты расчетов, с ^ 0,3. Если из ограниченного -по чаототе белого шума производится выборка N = 2ВТ дискретных значений, то результаты расчетов дают для этого случая постоянную с ~ 1 ,0 ; как это и следовало ожидать на основании ■,соотношения (6 .2 1 ).