книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

Величина y\.x(f) называется функцией множественной когерент­ ности выходного процесса у{і) и всех входов xt(t), £ = 1, 2 , q. Эта функция удовлетворяет неравенству

Неравенство (5.101) может быть получено непосредственно из формулы (5.100) в предположении, что Szz(f) > 0 и SZZ(J) ^ Syy(f), что вполне справедливо для рассматриваемой модели. Для дока­ зательства неравенства SZZ(J) ^ Syy(f) достаточно показать, что процессы z(t) и Хі(1) некоррелированы при всех £. В этом случае из формулы (5.95) следует, что функция Syy(f) представляет со­ бой сумму функции SZZ(J) с некоторой (всегда неотрицательной) суммой спектральных плотностей, а все функции взаимной спек­ тральной плотности равны нулю. По определению взаимная кор­ реляционная функция^процессов z{t) и xt(t) есть

/?гі (т) = М [г (ф :г(£ + т)],

где z(t) определяется уравнением (5.95):

ч' °°

[г (0 = у (/) — Г hj (ß)Xj (t— ß)dß.

/-i.oj;

Теперь, пользуясь свойством коммутативности операции вычис­ ления математического ожидания с линейными операциями ин­ тегрирования и суммирования, находим

R2i (т)=М [у(()х, (t + т)] _ 2 J hj (ß)M [xt (t + x)xj (t— ß)]dß =

/ “ 1 0

= [Rui W - 2 ] hj (ß)/?„ ( ^ T - ß ) r f ß . ' l

/-»o

Согласно уравнению (5.97),

что и требовалось доказать.

Функция множественной когерентности, определенная фор­ мулой (5.100), включает в себя как частные случаи функции ІЬбычной и частной когерентности, определенные ранее. Так, функцию частной когерентности можно рассматривать как функ­ цию множественной когерентности для остаточных (условных)

Преобразование Фурье уравнения (5.97) в данном случае имеет вид

Исключая из равенства (5.104) функцию Яг(/), получаем

(5.105)

а это выражение совпадает с выражением для функции обычной когерентности. Таким образом, функция множественной когерент­ ности содержит функцию обычной когерентности как частный случай.

^ В общем случае частотные характеристики Яг(/), входящие в фі^шулу (5.100), могут быть определены из решения системы линейных уравнений

я

яя

поскольку Syy(f) = SyU(/), а знаменатель дроби в (5.108) ес£$ именно Sty if). Таким образом, при отсутствии помех и строго!! линейности системы со многими входными процессами и одним выходом функция множественной когерентности равна единице, Очевидно, что этот результат можно получить и более непосредст венным путем, просто полагая в формуле (5.100) Szz(f) = 0.

Более детальный анализ функций множественной когерент ности, а также функций частной когерентности и других типов этой функции содержится в работах [20] и [26]. Вопросы практи ческой интерпретации функций множественной когерентности рас­ смотрены в гл. 6 этой книги.

&

Р и с . 5.12. Функция множественной когерентности между тремя вход­ ными процессами и выходным процессом для системы, изображенной на рис. 5.10.

Пример 5.8. Измерение функции множественной когерент­ ности. Рассмотрим систему с тремя входными процессами и од­ ним выходным процессом, обсуждавшуюся ранее в примере 5.7 и показанную на рис. 5.10. Функция множественной когерент­ ности выходного процесса y[t) и всех трех входов хг(/), і = 1, 2 , 3, изображена на рис. 5.12. Как видно из рисунка, числовые значе­ ния функции множественной когерентности весьма велики в<| всем диапазоне частот (свыше 0,95), но с ростом частоты проис­ ходит некоторое их уменьшение. Единственной причиной того, что функция множественной когерентности не равна единице во всем диапазоне частот, является присутствие инструментальнаго шума в процессе на выходе системы. Поскольку спектральная плотность инструментальных помех на всех частотах постоянна^ а процессы хг( 0 подвергаются низкочастотной фильтрации, относи* тельный вклад инструментального шума в суммарный сигнал на'

Я^іходе системы возрастает с частотой. Именно на это обстоятель­ ство и указывает уменьшение числовых значений функции мно­ жественной когерентности с увеличением частоты.

5.4.4.Матричная форма результатов

}Приведенные выше формулы могут быть выражены более сжа­ то в матричной форме, что позволяет, кроме того, более просто получить некоторые новые результаты. Определим вначале <7-мер-

ный вектор входных процессов

^ X (0 = [*1 (fl, Х2 (fl...........Х„(і)]. (5.109)

Далее определим g-мерный вектор взаимных спектральных плот­ ностей выходного процесса у(!) и входов лД0 :

Определим, наконец, матрицу размерности q X q взаимных спек­ тральных плотностей всех входных процессов xt(t):

Соотношение (5.42) может быть записано в матричной форме:

^де Н*'(/) — комплексно-сопряженный транспонированный век­ тор. В развернутом виде равенство (5.115) записывается так:

г)

7. Используя формулу (5.84), вычислите функцию частной когерентности для системы, определенной в упражнении 6 .

•8 . Выведите формулы (5.86) и (5.88).

9.Используя формулу (5.100), вычислите функцию множест­ венной когерентности для системы, определенной в упражнении 6 ,

впредположении, что спектральная плотность постороннего шума z{t) имеет вид Sz(f) — 19/(25 + /2)-

10.Убедитесь в справедливости соотношения (5.125) для слу­

чая, рассмотренного в упражнении 9.

Я

I

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ ПРИ АНАЛИЗЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

^ Как отмечено в гл. 4, точно определить характеристики слу­ чайны х величин по выборочным данным невозможно. По выборке конечной длины можно найти лишь оценки интересующих иссле­ дователя параметров. В гл. 4 приведены сведения о точности определения ряда основных параметров случайного процесса по выборке объема N независимых измеренных значений этого про­ цесса. В настоящей главе рассматривается вопрос о точности оценок параметров для непрерывной реализации процесса дли­ ной Т. Предполагается, что анализируемые реализации принад­ лежат стационарному (эргодическому) случайному процессу с не­ прерывным временем. Рассмотрены оценки как основных пара­ метров процесса, так и частотной характеристики и функций коге­ рентности, полученных на основе оценок спектральной плотности для систем с одним и многими процессами на входе. Здесь анали­ зируются только те ошибки, которые обусловлены статистиче­

ск о й изменчивостью исследуемых процессов. Сведения о других ошибках, связанных с получением исходных данных и их обра­ боткой, приведены в гл. 7.

6.1. Понятие о статистических ошибках

Точность оценки некоторого параметра случайного процесса, полученной на основании выборки, характеризуется, как указано в разд. 4.1, средним значением квадрата ошибки

(с. з. к. о.):

Равенство (6.1) можно представить в виде М[(Ф—Ф)2] = М[(Ф—М [Ф ]+М [Ф ]—Ф)2] =

= М [(Ф—М [Ф])2] + 2М [(Ф—М [Ф])(М [Ф]—Ф)1 + М [(М [Ф]—Ф)*Ь