книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

ПРО (х2(0 ). Эти утверждения базируются на аналогии с основными "понятиями регрессионного анализа, рассмотренными ранее в гл. 4, а также на соображениях, изложенных в следующем разделе.

В общем случае системы с двумя коррелированными входами функции Sbß ) и S2y(f) определяются формулами (5.49), а функ­ ция S uu(f) — формулой (5.42). В частности,

SyV( /) = I Нг(/) I *su (/)+m (f)H2(/)su (/)+

S 2 2 ( f ) S y y ( f )

5.4. Функции частной и множественной когерентности

Определения остаточных случайных величин и функций част­ ной когерентности, базирующиеся на критерии среднего квадрата ошибки, приведены в подразд. 5.4.1 и 5.4.2 для частного случая линейной системы с двумя входными процессами. Обобщения этих понятий основываются на том же критерии. Общие определе­ ния функций множественной когерентности даны в^подразд. 5.4.3

и5.4.4.

5.4.1.Остаточные случайные величины

Рассмотрим два действительных стационарных случайных про­ цесса (х(/)) и [y(t)). При фиксированном t величины x(t) и y(t) являются случайными в рассматриваемом выборочном простран­ стве. Для того чтобы избавиться от необходимости центрировать эти величины, положим, что средние значения равны нулю. Ли­

12*

Используя формулу (5.60), перепишем этб равенство в виде

S w y ( f ) = S y y ( n - Sxyl^x y{i f — = Syy(f) П -Ѵ ІЛ /)]. (5-ß5)

где

х(0 и у{1). Величина 5Д4,4г/ (/) в формуле (5.65) называется остаточ­ ной (условной) спектральной плотностью процесса Ay(t)1). Для функции SAyby(f) принято обозначение

указывающее на ее связь с м. н. к.-прогнозом величины у(() по x(t).

Рассмотрим снова случай линейной системы с двумя входами (рис. 5.7), причем входы хх(/) и x2(t) могут быть коррелированьи

Весовые функции с(т) и Ь{т) определяются подобно тому, как это сделано в соотношениях (5.56) — (5.60). Таким образом, они должны удовлетворять равенствам

11 Правильнее называть эту величину остаточной (условной) спектраль­ ной плотностью процесса у(і) либо спектральной плотностью остаточного

»роцесса Ду{і).— Прим, перев.

вычитая из хг(/) и y(t) их м. и. к.-прогнозы по х2((). Соответствую­ щие этим величинам остаточные спектральные плотности обозна­ чаются в дальнейшем как

Вывод формулы для функции Slj/-2 (/) несколько сложнее. Согласно уравнениям (5.72) и (5.73), остаточная (условная)

взаимная корреляционная функция1) величин Ахх(1) и Дг/( 0 есть

Преобразование Фурье обеих частей последнего уравнения дает равенство

которое с учетом равенства (5.70) определяет остаточную (услов­ ную) взаимную спектральную плотность1) процессов ДXi(t) и

Ду(0

Сопоставляя уравнения (5.75) и (5.82) с определением частотной характеристики Ях(/) [формула (5.50)1, получаем интересный результат

J) См. примечание на стр. 181.— Прим, перев.

В частном случае, когда входные процессы некоррелированы, функции 5 12(/) = у12(/) = 0. При этом функции обычной когерент­ ности принимают вид

а*(і>

Р и с . 5.9. Пример ошибочно высокой когерентности.

Это равенство показывает, что если одна из функций обычной ко­ герентности не равна нулю, то другая обязательно будет меньше единицы. Заметим, что при вычислении функции обычной коге­ рентности у2y(f) между процессами хД/) и у(І) влияние процесса'/ х2Д) проявляется в создании шума в выходном процессе (Д/).4- Этим объясняется ошибочно низкое значение функции обычной когерентности, маскирующее существование строго линейной за­ висимости между процессами хД^) и y(t). Однако, как следует из равенства (5.89), при вычислении функции частной когерент­ ности, связывающей процессы xx(t) и у((), влияние процесса х2Д) исключается как из хД/), так и из y(t), что позволяет получить истинное значение когерентности, равное единице.

Пример ошибочно высокой когерентности показан на рис. 5.9. Пусть значение функции когерентности между двумя процессами xi(t) и у{() оказалось близко к единице. Казалось бы, это дает основание считать, что эти функции можно рассматривать как вход и выход некоторой линейной системы. Но предположим, что существует и третий процесс х2(/), когерентный с хД/) и также дающий вклад в у(і) после прохождения через линейную систему-Д

нейную систему с y{t). В действительности же процессы Хі(Л

тах системы. Если вычислить функцию частной когерентности процессов хг(/) и у{1), то, как видно из рис. 5.11, б, ее значения оказываются несколько меньшими (до 0,75).

Р и с . 5.11. Функции когерентности между входным процессом x2{f) и выходным процессом y(t) для системы, изображенной на рис. 5.10.

u — функция обычной когерентности; б — функция частной когерентности.

5.4.3. Функции множественной когерентности

Процесс у({) на выходе линейной системы со многими входами и при наличии аддитивного шума (рис. 5.6) описывается равенст­ вом

ч ”

' - ‘ о

Здесь г{()"— остаточный шум, определяющий отклонение модели от линейной и неизвестные внешние помехи (если таковые име-

Дy(t) в формуле (5.61) в том смысле, что она указывает, насколь­ ко точно может быть предсказан выходной процесс y(t) только по линейным преобразованиям входов х;(/), і — 1 , 2 , ..., q, в при­ сутствии шума. Заметим, что процессы y(t) в соотношениях (5.95) и (5.33) не идентичны.

Автокорреляционная функция остаточного стационарного слу­

і^Это условие вытекает, как и при выводе уравнения (5.59), из требования такого выбора функций A; (ß), которые минимизи­ руют средний квадрат отклонения реального выходного процесса у{1) от его линейной аппроксимации только процессами xt(t).

Оно непосредственно следует также и из уравнения (5.95) в пред- | положении, что остаточный шум z{() некоррелирован с процессами хг(/), а средние квадраты ошибок не учитываются. И наоборот,

из формулы (5.97) следует, что процессы z(t) и xt(i) некоррелированы. Таким образом, подстановка выражения (5.97) в равен­ ство (5.96) дает

(5.98)

Выполняя преобразование Фурье обеих частей последнего ра­ венства, получаем выражение для спектральной плотности оста- ■Я5чных случайных величин

t=l