книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

ранее. Как следует из формул (3.83), функция когерентности пр4 всех / удовлетворяет условию

Для того чтобы исключить влияние дельта-функций в начале координат, следует, прежде чем пользоваться двумя последними соотношениями, центрировать подвергаемые анализу данные. Заметим, что функция когерентности аналогична квадрату нор­ мированной взаимной корреляционной функции р^„(т), определен­ ной формулами (3.52) или (3.54).

Для линейной системы с постоянными параметрами справед­ ливы равенства (5.8) и (5.11), подстановка которых в_(5.23) дае?

Следовательно, в идеальном случае линейной системы с постоян­ ными параметрами и одним входом при полном отсутствии помех на входе и выходе функция когерентности будет равна единице.

когерентности будет равна нулю. Если функция когерентности оказывается больше нуля и меньше единицы, то возможны три

ми входами.

При анализе линейных систем функция когерентности yly(f) позволяет выделить ту часть среднего значения квадрата выход­ ного процесса 2/(0 , которая на частоте/определяется входным про­ цессом x{t). И обратно, величина [1 — y%(f)l служит мерой той части среднего значения квадрата процесса 2/(0 , которая на ча­

измеряемые процессы на входе х{1) и выходе 2/(0 включают в себя истинные сигналы u(t) и v(t) и некоррелированные шумовые со­ ставляющие п(і) и m(t) соответственно, как показано на рис. 5 .3 .

Измеряемые на входе и выходе процессы определяются выраже­ ниями

x(t)=u(t) + n (О, y(t)=v (t) + m(t).

Измеренные значения спектральной плотности при идеальных ^условиях связаны соотношениями

Gx (n = Gu(n + Gn(f),

Gu(f) = G0(f) + Gm(n,

GxU {f)=GU0(/).

'JCftf

Р и с . 5.4. Самолет, летящий в турбулентном воздушном потоке.

В х о д н о й п р о ц е с с дг(0 — с к о р о с т ь в е р т и к а л ь н ы х п о р ы в о в в е т р а ; в ы х о д н о й п р о ц е с с

В данной задаче искомая функция когерентности

Зависимость (5.27) позволяет оценить вероятные значения функ­ ции когерентности, когда в процессах на входе и выходе присутст­ вует некоррелированный посторонний шум. Заметим, что, по­ скольку величины Ni и іѴ2 положительны, измеренное значение функции когерентности будет теоретически меньше искомого. Отметим также', что вклад других некоррелированных входных дЛоцессов, помимо х({), проявится в выходном процессе как влия­ ние некоррелированного постороннего шума.

Пример 5.6. Измерение функции когерентности. Рассмотрим самолет, летящий в турбулентном воздушном потоке (рис. 5.4). Пусть входным процессом x(t) будет скорость вертикальной со­

ставляющей порывов ветра, измеряемая датчиком, установлен­ ным в носовой части самолета; процесс на выходе у(1) есть верти­ кальное ускорение самолета в единицах g, измеряемое акселеро­ метром, который находится в центре тяжести самолета. Пример спектральной плотности и функции когерентности для реальных данных такого типа представлен на рис. 5.5. Функции спектраль­ ной плотности вычислялись для диапазона частот от 0,1 до 4,0 Гі^ при разрешающей способности 0,05 Гц и длине реализации

10 мин.

Р и с . 5.5а. Функция когерентности между скоростью порывов ветра результирующим ускорением самолета.

Как видно из рис. 5.5а, входной процесс (скорость вертикаль­ ных порывов ветра) и выходной процесс (вертикальное ускорение самолета) обнаруживают довольно значительную когерентность, достигающую 0,8—0,9 в диапазоне частот примерно от 0,3 до 2,0 Гц. На более высоких и более низких частотах функция коге­ рентности близка к нулю. На низких частотах вертикальное у корение самолета определяется в основном работой пилотирующего устройства, а не влиянием атмосферной турбулентности. П оэт^у уменьшение функции когерентности на этих частотах отражает влияние на выходной процесс других входных процессов, помимо х((). Как показано на рис. 5.56, на более высоких частотах спект'' ральная плотность процесса на выходе y{t) резко уменьшается в

^зультате того, что частотная характеристика самолета близка

кхарактеристике низкочастотного фильтра, а спектральная

плотность процесса на входе уменьшается с ростом частоты.

tдругой стороны, уровень шума в датчиках и регистрирующих

. тройствах обычно не убывает с ростом частоты. Поэтому убы­ вание функции когерентности на сравнительно высоких частотах объясняется, по-видимому, влиянием постороннего аппаратур­ ного шума. На этом пример 5.6 заканчивается.

Предположим далее, что x^t) — выборочные функции раз-і личных стационарных случайных процессов со средними зна­ чениями рг. Здесь независимо от t

где каждая функция xt(t) определена на соответствующем выбо­ рочном пространстве. Имея в виду линейность оператора мате­ матического ожидания, найдем математическое ожидание функ­ ции y{t):

.‘•=і о

(5.35)

Равенство (5.35) справедливо при любых рг. Если каждое р, = О, то Pj, = 0. При практических расчетах следует прежде всего цен­ трировать анализируемые реализации. Это значительно упро­ щает окончательные формулы и их интерпретацию.

Соотношение (5.36) выполняется и при коррелированных входах. Если предположить, что все входы взаимно некоррелированно и средние значения равны нулю, то

(т) при i= j,

(5.38)

при І Ф /.

этом случае формула (5.36) сводится к виду

Найдем теперь соотношения для спектральных плотностей. Двусторонняя спектральная плотность S^/) стационарного слу­ чайного процесса определяется как преобразование Фурье авто­ корреляционной функции Ry(т). Поэтому преобразование Фурье обеих частей равенства (5.36) позволяет получить спектральную плотность выходного процесса у ( і ) в виде

В формуле (5.42) функции S;j(/) представляют собой взаимные спектральные плотности входов х,(0 и Xj(t), т. е. Su(f) = Sx[x.(f).

Вместо Sy(f) и Si}(f) можно ввести односторонние спектральные плотности Gy(f) и Guff), поскольку общий множитель, равный 2,