книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf158 |
Глава 4 |
|
В формулах |
(4.69)—(4.71) символ sy \ x обозначает |
выборочной} |
стандартное |
отклонение измеренных значений уг |
от прогноза |
г/г = а + bxit определяемое равенством
-N
2 (Уі—уУ
_ 1і=1і_____
si/1А- — N — 2
Приведенные выше соотношения позволяют найти доверительные
интервалы для А, В и у на основании оценок а, b и у.
Пример 4.6. Построение линейной регрессионной зависи мости. Используя данные, приведенные в табл. 4.4 для приме-.і ра 4.5, найдем уравнение линии регрессии, с помощью которого можно давать линейный прогноз среднего веса студентов универ ситета в зависимости от их роста. Вычислим также 95%-ный до верительный интервал для среднего веса студентов, рост которых составляет 70 дюймов.
Как и в примере 4.5, х — рост, а у — вес студентов. Величи ны, определяющие тангенс угла наклона и свободный член урав нения линии регрессии у по х, уже вычислены в примере 4.5. Подставляя эти величины в формулы (4.65а) и (4.656), находим оценки для тангенса угла наклона
299 056 — 25X 70,64 X 168,96
168,96 — 25 X 70,64*
и свободного члена уравнения |
-w |
а — 168,96—2,85x70,64= —32,3. |
|
Следовательно, уравнение линии регрессии, позволяющее оцени вать средний вес студентов при заданном росте, имеет вид
у - —32,3 + 2,85 X.
Отсюда для роста х = 70 дюймов можно найти оценку веса у =
=167,2 фунта.
Чтобы на основании оценки у = 167,2 фунта найти довери
тельные интервалы для среднего значения веса у, необходимо вычислить стандартное отклонение sy\ х [формула (4.72)]. Эту ве-„ личину удобнее вычислять по формуле
Sy\х— N — 2 (
Основные полооісения математической статистики |
159 |
Щля удобства расчетов отдельные члены этого выражения можно еще более упростить, если воспользоваться соотношениями
2 |
(ѵі~ ѵ)2г=2 |
rf— N fa)2> |
|
<•=1 |
i=i |
|
__ |
N |
|
N |
|
2 i(x<— |
(уі—у)= 2 |
хіУі |
^ху. |
i=i |
/=і |
|
|
Подставляя в эти выражения заданные в примере значения пере^ менных, получаем
I
_1_ |
9917 |
(673)2 \ Ѵг |
=18,65. |
23 |
|
236 j |
|
Теперь, как следует из формулы (4.71), 95%-ный доверительный интервал для среднего веса студентов ростом 70 дюймов состав ляет
у ± Sy |
xt N —2; а/2 |
|
(*0 — X ) 2 |
||
|
N |
|
|
||
|
|
|
2 (*г-*)г |
||
|
|
|
1=1 |
|
|
= 167,2 ± |
(18,65)^23-, |
1 |
-4- |
(70 — 70,64)г /г |
|
0,025 25 |
|
236 |
|||
= |
167,2 ±7,9=153,3-1- 175,1 |
фунта. |
|||
На этом пример 4.6 заканчивается.
Описанные здесь методы корреляционного и регрессионного анализа нетрудно обобщить на случай многих переменных. Как отмечалось выше, такое обобщение лежит в основе исследования описанных в гл. 5 и 6 систем со многими процессами на входе и одним процессом на выходе. Дальнейшее обсуждение этих вопро сов содержится в этих главах.
Упражнения
1. Дана случайная величина х с плотностью распределения
р (X) = — ±------- е ~ (х~ 1)2/8.
2 - / 2rt
^[айдите среднее значение и дисперсию величины х.
2. |
Даны две независимые случайные величины х и у со сред |
|
ними |
значениями р* и |
и дисперсиями а* и о|. Найдите |
а) |
среднее значение произведения ху, • |
|
б) дисперсию разности |
(х — у). |
|
V
160 |
|
|
Глава 4 |
|
3. |
Дана |
случайная величина у = сх, где с — постоянна |
||
X — случайная |
величина со средним значением \іх |
и дисперсией |
||
сг2. Докажите справедливость следующих соотношений: |
||||
а) |
Ру = |
qxv, |
|
|
6) |
о1‘ = |
с2а?. |
|
|
4. |
Даны |
четыре независимые случайные |
величины г4, |
|
г3, 2 4, подчиняющиеся нормированному гауссовскому распреде лению. Найдите функции распределения следующих комбина ций этих величин:
а) 2 [ + 2 2 + 2 з + |
24, |
б) z1 + 2о — 23 — г4, |
|
- |
f\ |
в)
[( г г + г 1 + г 32) /3 ]1/2
(г1 + г2 + zi)ß
Г)
В каждом случае определите число степеней свободы или среднее значение и дисперсию — в зависимости от вида функции.
5. Определите, какую функцию распределения следует ис пользовать, чтобы найти доверительные интервалы для оценок следующих параметров распределения двух независимых нор мально распределенных случайных величин х и у:
а) среднего значения рЛ (известны выборочное среднее значе ние X и дисперсия ст2);
б) отношения o2/of (известно отношение выборочных диспер
сий s2/s2); |
' |
^ Л |
в) дисперсии о2 (известна выборочная дисперсия s2); |
I |
|
г) среднего значения \іх (известны выборочные среднее значе |
||
ние X и дисперсия sj). |
N — 200 |
|
6 . Критерий |
согласия у2 применяется для анализа |
|
выборочных значений случайной величины, разбитых на К = 16 разрядов. Определите, сколько степеней свободы соответствует статистике X 2^ у% в случае:
а) проверки гипотезы, состоящей в том, что выборка подчи няется гауссовскому распределению с известными средним зна чением р, и дисперсией а2;
б) проверки гипотезы, состоящей в том, что выборка подчи няется К-распределению с неизвестным числом степеней свободы.' 7. Дана выборка объема N независимых наблюденных значе ний случайной величины х с нулевым средним. Известно, что
эффективная оценка дисперсии величины х имеет вид |
<- |
|
|
s2 = ' at2 х і |
|
;=i |
|
Основные положения математической статистики |
161 |
а) Докажите, что эта оценка несмещенная. |
|
б) Запишите соотношение, связывающее эту оценку с величи ной, подчиняющейся распределению у2, и укажите соответствую
щее |
этому случаю число степеней свободы. |
в) |
Найдите дисперсию этой оценки (учитывая, что дисперсия |
величины yji составляет 2 /г).
8 . Нормированная стандартная ошибка (коэффициент вариа
ции) гг оценки Ф некоторого параметра Ф определяется как от ношение стандартного отклонения оценки к ее математическому ожиданию, т. е. ег = Оф/р,ф. Найдите нормированную стандарт ную ошибку оценки дисперсии s2 по формуле (4.12) при N = 200.
9. Исследуется корреляционная зависимость на основе вы борки, состоящей из N = 7 пар наблюденных значений {хгУі, х2у2, ХзУз> ■••> х7у7). Вычислен выборочный коэффициент корре ляции гху = 0,77. Проверьте гипотезу рху > 0 при уровне значи
мости |
а = 0 ,0 1 . |
|
|
10. |
Выборочные средние значения двух коррелированных |
||
случайных величин х — 1 |
и у = 2. Пусть выборочный коэффи |
||
циент корреляции гхц = |
0,5, а линия регрессии у по х описывает |
||
ся уравнением у = 1 + |
х. |
|
|
а) Найдите тангенс угла наклона Ь' в уравнении линии ре |
|||
грессии X по у. |
|
линии регрессии х по у (х = а' + |
|
б) |
Получите уравнение |
||
+ Ь'у).
І6 2
ГЛАВА 5
СООТНОШЕНИЯ МЕЖ ДУ ПРОЦЕССАМИ НА ВХОДЕ
ИВЫХОДЕ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Вэтой главе с теоретических и прикладных позиций рассмат риваются соотношения между процессами на входе и выходе фи
зических систем с одним или многими входными процессами. При выводе всех формул, если не оговорено особо, предполагается, что входные процессы представляют собой реализации стационар ных случайных процессов, а системы линейны и обладают по стоянными во времени параметрами.
5.1. Линейные системы с одним входом
Рассмотрим |
линейную систему с постоянными |
параметрами |
и |
|
с одним |
входом; весовая функция этой системы есть Іг{т), а |
ча |
||
стотная |
характеристика //(/) (см. гл. 2). Пусть на |
вход системы |
||
|
|
Линейная система |
</« |
|
|
x (t) |
с постоянными параметрами |
|
|
|
|
ti(T)uH(f) |
|
|
Р и с . 5.1. Линейная система с одним входом.
соступает гладкая функция x(t), являющаяся реализацией ста ционарного случайного процесса (х(^)), как показано на рис. 5.1. Тогда выходной процесс, или выход, y{t) будет реализацией ста ционарного случайного процесса {«/(/)}. Получим теперь некото рые важные соотношения между входным процессом, параметра ми системы и выходным процессом. Отметим, что индекс выбо рочного пространства k для упрощения обозначений исключен.
Как определено ранее формулами (2.1) и (2.2), выходной процесс {/(^определяется выражением
00 |
|
у (t)= I” h (х)х (t—x)dx. |
(5.1) |
b |
<Н |
|
При необходимости нижний предел интегрирования можно поло жить равным — оо, а не 0 , что облегчает в последующем замену переменных. Однако считается, что h(x) = О при х < 0.
Процессы на входе и выходе физических систем |
163 |
Для двух моментов t и t + т
СО |
|
|
|
У (Оу (t + х) = J |
j* h (і)Л (ц)х (t~l)x (t + r — rj)dldrj. |
(5.2) |
|
oJ |
|
|
|
Математическое ожидание обеих частей формулы |
(5.2) |
есть |
|
СО |
|
|
|
# Л Т) = j J |
h (E)ft (-»і)Ях (т + &—•»))<*№). |
|
(5.3) |
о |
|
|
|
Заметим, что это выражение не зависит от і. Этот |
общий ре |
||
зультат показывает, как получить автокорреляционную функ цию стационарного выходного процесса, зная автокорреляцион ную функцию стационарного входного процесса и весовую функ цию системы и пользуясь только интегрированием по времени.
Взаимная корреляционная функция Rxy(x) стационарных про цессов на входе х(і) и на выходе у(і + т) определяется из соотно
шения |
|
ОО |
|
X ( О у ( t + т )= j4h (l)x (Ox ( t + T—£)dl. |
(5.4) |
b |
|
Найдя математическое ожидание произведения (5.4), получим
|
со |
|
= |
f h(l)Rx (^-l)dL |
(5.5) |
' |
о |
|
Преобразование Фурье равенств (5.3) и (5.5) по всей области частот дает важные соотношения для спектров и взаимных спек-' тров
• Ѵ / ) Ч Ж / ) І 25 Х(/) |
(5.6)' |
Sxy(0=H(f)Sx (f). |
(5.7) |
Эти формулы вытекают непосредственно из определений после соответствующей подстановки и алгебраических преобразований. Заметим, что уравнение (5.6) содержит только амплитудную ча стотную характеристику \H(f)\, тогда как соотношение (5 .7 ) представляет собой, собственно говоря, систему из двух уравне ний, содержащую как амплитудную, так и фазовую частотные характеристики. Для односторонних спектральных'плотностей *&(/), Gy(f), Gxy(f), которые существуют только при / О, уравне ния (5.6) и (5.7) принимают вид
Gu(f)=\H(f)\*Gx (f), |
(5.8) |
G*y(f)=H(№x (f). |
(5.9) |
11*
164 Глава 5
Из равенств (2.15) и (3.75) вытекает, что формула (5.9) эквива-
лентна |
следующей: |
|
|
I Gxy(f)\e-I0xy®=\H(f)\e-N>U)Gx (n- |
(5.10) |
Таким |
образом, |
1 |
|
\G*y(f)\ =\H(f)\Gx (n> |
(5.11) |
|
*Х»(П = Ф(П- |
(5.12) |
Из равенства (5.8) видно, как определить спектральную плот ность Gy{f) выходного процесса, зная спектральную плотность Gx(f) входного процесса и амплитудную частотную характеристи ку i H(f) I системы. Очевидно, среднее значение квадрата выход ного процесса есть
оо |
со |
|
\ G « m = ^ \ H { f ) \ * G x {f)df. |
(5.13) |
|
оо
Соотношение (5.8) позволяет также найти спектральную плот ность входного процесса по спектральной плотности выхода и амплитудной частотной характеристике системы или найти эту характеристику по спектральным плотностям входного и выход ного процессов. Но найти общую частотную характеристику #(/) системы по формуле (5.8) невозможно, поскольку эта форму ла не содержит фазовой частотной характеристики ф([).
Для определения общей частотной характеристики системы необходимо знать взаимную спектральную плотность. Соотноше ние (5.9) обеспечивает более удобную интерпретацию взаимной спектральной плотности через функции #(/) и Gx(f). Соотноше ние, при помощи которого определяется только фазовая частот ная характеристика системы и которое содержит взаимные спек тральные плотности, имеет вид
Охи ff) |
H ( f ) = e-/20 ( f ) ; |
(5.14) |
Gyx (/) |
|
|
где H*(f) — функция, комплексно сопряженная c #(/). Заметим, что формула (5.14) определяет не 0(/), а 20(/).
Равенства (5.8) и (5.9) составляют основу многих физических приложений теории случайных процессов. На рис. 5.2 показано, как преобразуются спектральные плотности Gx(f) различных входных процессов при прохождении через линейную систему с частотной характеристикой #(/).
Пример 5.1. Реакция фильтра нижних частот на белый шум. J Пусть на вход ^С-фильтра нижних частот с постоянной времени ~ К = RC поступает белый шум. Найдем спектральную плот ность, среднее значение квадрата и автокорреляционную функ цию выходного процесса.
Процессы на входе и выходе физических систем |
165 |
^ Частотная характеристика .RC-фильтра нижних |
частот |
Н (/)= (! + І 2 п К [ Г = \ Н (/) \ е г Ю <». |
|
что соответствует весовой функции вида |
|
е~х/к ПрИ г > О, |
|
h(т) =
Опри т<сО.
Р и с . 5.2. Соотношения между |
входом н выходом линейной системы. |
а — спектральная плотность; |
б — взаимная спектральная плотность. |
Здесь
| Я ( / ) | = [ 1 + (2Л/С/)2Г 1/2.
0 (/) = arctg (2п/С/).
Из формул (5.11) и (5.13) следует, что если входной процесс —
белый шум со спектром <3Х (/) = |
а при всех / > 0 , то |
|
||
І |
:01>( / ) - 1 Я ( / ) 1 ^ х К / ) = 1 + |
(2З Д Т > 0 < f < o o , |
|
|
|
со |
со |
=T“* |
|
|
=JGs»(/Wl=J1+(2лК/)а |
(5.15) |
||
|
|
|
|
|
о! о
166 |
Глава 5 |
|
|
Согласно |
(3.68), |
|
M |
|
|
||
|
Ry (т) = f Gy(/) cos 2nfxdf= |
e - 1TI /* |
(5.16) |
|
о |
|
|
Пример 5.2. Реакция фильтра нижних частот на гармониче ский процесс. Пусть на вход /?С-фильтра нижних частот, описан ного в примере 5.1, поступает гармонический процесс со спек тральной плотностью Gxif) = (Ха/2 )6 ( / — / 0), где / 0 > 0. Опре делим спектральную плотность, среднее значение квадрата и авто корреляционную функцию выходного процесса. В этом случа^
Gy (f)— \H (f) 12GX( / ) - ^ |
2/2)S (f~ fo) |
|
||
|
1 |
+ (2лKf)2 |
|
|
w |
X 2/ 2 |
|
||
41 = f Gy{f)df = |
(5.17) |
|||
l + (2яKfo)* |
||||
Ry(t) = J Gy (/) cos2 jx/xd/= i +%nKhf C0S2я^ т- |
(5-18) |
|||
0 |
|
|
|
|
Пример 5.3. Система с вынуждающей силой на входе и сме щением массы на выходе. Определим спектральную плотность, автокорреляционную функцию и среднее значение квадрата вы^ ходного процесса для системы, ко входу которой прилагается вынуждающая сила (в данном случае в виде белого шума), а на выходе наблюдается смещение массы (рис. 2.2). Результаты, ко торые будут сейчас получены, справедливы также и для других аналогичных систем, рассмотренных в гл. 2 .
Пусть GJJ) ,= а. Тогда, как следует из формулы (2.24а) или из табл. 2 .1 , если выразить вынуждающую силу в единицах смещения, т. е. х(і) = F(t)lk, спектральная плотность выхода примет вид
'fiy (f) = \H (/) 1\ da = j. [j _ Q/fn)i]а + (2Cf{fnf • ° < / < °°-
Соответствующая автокорреляционная функция выхода опреде ляется выражением
anfae |
Iх I cos (2 nfn - / 1 —£2т) + |
4С
+ |
sin (2nfnт Л Г = Г а I т I) j . |
(5.19) |
Процессы на входе и выходе физических систем |
1G7 |
Среднее значение квадрата процесса на выходе
¥ 3 = f Gy (fjd f = Ry(0) = |
. |
(5.20) |
b |
|
|
Пример 5.4. Система со смещением основания на входе и Смещением массы на выходе. Определим спектральную плотность, автокорреляционную функцию и среднее значение квадрата вы ходного процесса для системы со смещением основания на вхо де и смещением массы на выходе (рис. 2.4) для случая, когда на вход поступает белый шум. Эти результаты справедливы также щ^для других аналогичных систем, рассмотренных в гл. 2 .
~ Пусть Gx(f) = а. Тогда, согласно формуле (2.38а) или табл. 2.1, спектральная плотность выходного процесса принимает вид
Q (f) — \ H( F) ' l 2 л — |
0 t1+ |
|
9 кп ~ 1 |
d- d |
II - (ШпУѴ + (2ЯИп) |
Соответствующая автокорреляционная функция выхода опреде ляется выражением
Ry |
4С |
|
e-WnZ I' I Jcos (2я[пу г1 — ?т) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
С О - |
4P) |
sin (2nfny 1 |
—С3 1Т [) |
(5.21) |
/ і — Р |
|
||||
|
U + 4 P ) |
|
|
||
вреднее значение квадрата процесса на выходе
со |
|
|
(0\ = _£"МL+JP)_ |
(5.22) |
|
^ 2 = ( Ч ( М = Я Л 0 ) |
4С |
|
Эти два примера иллюстрируют важность автокорреляционных функций, представляющих собой экспоненту с синусоидальным множителем, во многих физических задачах.
5.2. Функция обычной когерентности
Если”спектральные плотности Gx(f) и Gy(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то функция когерентности входного процессах^) и выходного процесса y{t) представляет собой дейст вительную характеристику, определяемую выражением
ѴЬ(/) |
IОхйіШ І |
I Sxu (f) r |
(5.23) |
|
G* U ) O y U ) |
SxU)SyU) • |
|||
|
|
где символы G и S обозначают соответственно односторонние из меримые и двусторонние теоретические спектры, определенные