книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

148 Глава 4

Таблица 4.3

Схема вычислений при применении критерия согласия

= 13, то область принятия гипотезы составляет, по данным табл. А.З, X 2 < Хіз;о,оэ — 22,36. Следовательно, гипотеза о нор**

мальности распределения рассматриваемого процесса прини­ мается при уровне значимости а = 0,05.

4.7. Критерий серий

Рассмотренные в разд. 4.4 и-4.5 различные методы нахожде­ ния доверительных интервалов и проверки гипотез с использо­ ванием выборочных данных разработаны в предположении, что исходные случайные величины, из которых извлекаются выборки, подчиняются нормальному распределению. На практике эти методы с достаточной степенью точности можно применять, ве­ роятно, и для анализа многих случайных величин, не подчиняю­ щихся нормальному распределению. Однако не существует до­ статочно четкого критерия, пользуясь которым можно было бы определить, насколько может отличаться распределение случай^ ной величины от гауссовского, чтобы выборочные распределения^ приведенные в разд. 4.4, были уже неприменимы. Это затруднение можно обойти, если использовать статистические методы, в кото­ рых не вводится никаких предположений о конкретном виде рас-

здэеделения изучаемой исходной случайной величины. Такие методы называются не зависящими от формы распределения,

или непараметрическими. К числу наиболее известных незави­ сящих от формы распределения критериев, которые применяются для оценивания, относится описанный в разд. 4.6 критерий согла­ сия X2При оценивании данных методами, изложенными в гл. 7, Сможет быть использован еще один важный критерий, не завися­ щий от формы распределения, — критерий серий.

Рассмотрим последовательность N наблюденных значений случайной величины х и каждое наблюденное значение отнесем к одной из двух взаимно исключающих категорий, которые мож- д)о обозначить просто знаками плюс (+) и минус (—). В качестве Простейшего примера приведем бросание монеты, когда каждое наблюдение дает либо решетку (+ ), либо герб (—). Второй при­

бом из этих случаев последовательность наблюдений, имеющих

В рассмотренном примере имеется г — 12 серий в последователь­ ности N = 20 наблюдений.

Число серий, которое встречается в последовательности на­ блюдений, позволяет определить, являются ли результаты незави­ симыми случайными наблюдениями над одной и той ж е случай­

(+) и (—) не меняется от одного наблюдения к другому, то выбо­ рочное распределение числа серий в последовательности есть, случайная величина г со средним значением

ные с 100а%-ных точках функции распределения для критерия серий.

Вероятно, самое непосредственное применение для решение, задач оценивания данных критерий серий находит при провер-- ке независимости единичной последовательности наблюденных значений. Пусть имеются основания считать, что последователь­ ность наблюденных значений содержит тренд. Это означает, что вероятность знаков (+ ) или '(—) меняется от одного наблюденного значения к другому. Наличие тренда можно проверить следую­ щим образом. Введем в рассмотрение гипотезу об отсутствии трен­ да, т. е. предположим, что последовательность N наблюденных значений содержит только независимые значения одной и той же случайной величины. Полагая теперь, что число наблюденных значений со знаком (+ ) равно числу значений со знаком (—), можно считать, что число серий в последовательности будет иметь выборочное распределение, представленное в табл. А.6. Гипотезу можно проверить при любом заданном уровне значимости gt

число серий выходит за границы этого интервала, гипотезу сле­ дует отвергнуть при уровне значимости а. В противном случае ее можно принять.

Определим, являются ли независимыми наблюденные значения путем проверки числа серий, которые встречаются, если отсчиты­ вать наблюденные значения от их медианы. Выполним проверку при уровне значимости а — 0,05.

Просматривая данные выборки, можно убедиться, что медиа-і ной 20 наблюденных значений служит величина х = 5,6. Будем

♦читать, что наблюденные значения свыше 5,6 имеют знак (+ ), а менее 5,6 — знак (—). В результате имеем последовательность

-Таким образом, из последовательности 20 наблюденных значе­ ний выделено 13 серий. Рассмотрим гипотезу о независимости на­ блюденных значений. Область принятия этой гипотезы определяет­

^штерцал между 6 и 15. Итак, нет причин подвергнуть сомнению то обстоятельство, что наблюденные значения независимы. Эта значит, что нет никаких доказательств присутствия тренда.

4.8.Методы корреляционного и регрессионного анализа

Методы корреляционного и регрессионного анализа имеют су­ щественное значение при решении многих вопросов, затронутых в настоящей книге. Понятие корреляции между двумя случай­ ными величинами уже введено в гл. 3 и более детально будет рас­ смотрено в гл. 5 и 6. Понятие линейной регрессии играет важную роль при оценивании частотной характеристики системы по дан­ ным измерений на ее входе и выходе. Методы такого оценивания гашсаны в гл. 5 и 6. Однако содержащиеся в этих главах выклад­ ки относятся к различным функциям частоты; это в какой-то степени мешает увидеть связь с классическим анализом процес­ сов во временной области. Поэтому для лучшего усвоения после­ дующего материала ниже будут изложены в рамках элементар­ ной статистики основные сведения о корреляции и регрессии.

4.8.1. Линейная корреляция

При решении широкого круга задач прежде всего необходимо знать, связаны или не связаны между собой две или более слу­ чайные величины. Например, существует ли связь между коли­ чеством выкуренных сигарет и средней продолжительностью жизни или между способностями человека, выраженными коли­ чественными показателями, и его успехами в учебе или научной работе. Решение такого рода задач в инженерной практике обыч­ но сводится к выявлению зависимости между некоторой предпо­ лагаемой возмущающей силой и наблюдаемой реакцией исследуе- >мой физической системы. Существование этих связей и их тесно­ ту можно выразить коэффициентом корреляции р, который был

f

■З^ная оценку гху, нетрудно найти на основании этих соотношений доверительные интервалы для коэффициента рху (см. разд. 4.4).

Ввиду выборочной изменчивости оценок коэффициента кор­ реляции желательно, как правило, убедиться в том, что отличное

*

•••••• •

'от нуля значение оценки действительно отражает наличие стати­ стически значимой корреляционной зависимости между исследуемыми величинами. Это можно осуществить путем проверки гипо­ тезы рху = 0. Если гипотеза отвергается, то корреляционную за­ висимость. признают статистически значимой. Согласно соотно­ шениям (4.58) и (4.59), выборочное распределение величины w !-при рху = 0 является гауссовским с нулевым средним и дисперсией

= (N — З)-1. Следовательно, область принятия гипотезы о

154 Глава 4

равенстве коэффициента корреляции нулю определяется нера­

му распределению. Если рассматриваемая величина лежит вне-' приведенного интервала, то это означает наличие корреляционной

У150 170 165 145 170

университета, выбранные случайным образом. Есть ли основание считать, что при уровне значимости а — 0,05 рост и вес сту­ дентов связаны корреляционной зависимостью? Обозначим сим* волом X рост, а символом у — вес студентов. По даннвЙГ табл. 4.4 находим следующие величины, входящие в формулу

<4.56):

Подстановка этих значений в формулу (4.56) дает оценку коэф^ ■фициента корреляции

г_ __________299 056 — 25x70,64x168,96__________ — 0 44

Лукит вне области принятия гипотезы za/2 = ±1,96. Таким обра­ зом, можно полагать, что между ростом и весом студентов имеет­ ся значимая корреляционная зависимость.

4.8.2. Линейная регрессия

w С помощью корреляционного анализа можно установить,, насколько тесна связь между двумя или более случайными вели­ чинами. Однако в дополнение к этому желательно располагать, моделью зависимости, которая позволяла бы предсказать значе­ ние некоторой величины по заданным значениям других величин. Например, в результате корреляционного анализа приведенных. ^примере 4.5 данных удалось установить наличие значимой в ста­ тистическом смысле линейной зависимости между ростом и весом студентов университета. Логично было бы теперь получить оцен­ ку такой зависимости, которая позволила бы предсказывать вес студентов в зависимости от их роста. Методы решения задач по­ добного рода рассматриваются в регрессионном анализе.

Рассмотрим простой случай двух коррелированных случай­ ных величин х и у. Обращаясь вновь к примеру 4.5, символом Xобозначим рост, а символом у — вес студентов. Наличие линей-’ ной зависимости между двумя этими величинами означает, что у можно вычислить при заданном значении х, пользуясь уравне­ нием

А и В — свободный член и тангенс угла наклона прямой ли­ нии. При идеальной линейной корреляции между случайными ве­

личинами (гху = 1) предсказанное значение уг при любом xt всегда равно измеренному значению yt. На практике, однако, данные измерений далеко не всегда обнаруживают идеальную линейную зависимость. Обычно наблюдается некоторый разбросточек, обусловленный наличием посторонних случайных помех, и, возможно, искажениями за счет нелинейных эффектов, как показано на рис. 4.7. Тем не менее если допустить существование линейной зависимости между величинами и располагать неогра­ ниченно большим количеством измерений, то можно найти такиегіодходящие значения коэффициентов А и В, которые позволяют предсказать ожидаемые значения yt при любых заданных xt.

Значение yt не обязательно совпадает с измеренной величиной уи соответствующей данному значению xt\ оно представляет собой HeaigTopoe среднее для всех таких измеренных величин.

Принятый на практике способ определения коэффициентов, уравнения (4.61) состоит в том, что выбираются такие значения ^ и В, при которых сумма квадратов отклонений измереннвіх ве­ личин от предсказанных была бы минимальной. Этот способ’