книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

В разд. 4.3 при рассмотрении оценок средних значений было показано, что вероятность, характеризующую выборочное сред­ нее значение, можно оценить в виде

Приведенное вероятностное утверждение теоретически справедли­ во только до извлечения выборки и вычисления среднего значения х.

После извлечения выборки величина х принимает определенное числовое значение, а не является случайной. Поэтому приведен­ ное выше выражение джя вероятности уже не применимо, так как

отношение (х — рЛ.) ] / N/ах либо попадает, шбо не попадает

в указанные пределы. Другими словами, послс-того как выборка извлечена, теоретически верное выражение для вероятности имеет вид

Будет ли точно е значение вероятности (4.45) равно нулю или еди­ нице, обычно неизвестно. Однако можно полагать, что по мере уменьшения а (т. е. расширения интервала между значениями 2і—а/2 и га/г) вероятность Р все с большей степенью достоверности будет приближаться к единице, а не к нулю. Эту же мысль можно высказать другими словами: если повторно извлекать большое

число выборок и по каждой выборке вычислять х, то следует ожи­ дать, что доля случаев, для которых отношение величин, входя­ щее в формулу (4.44), будет попадать в данный интервал, соста-- вит примерно (1 — а). Тогда можно указать интервал, в который,

доверительным интервалом. Вероятность, с которой доверитель­ ный интервал включает оцениваемое значение параметра, назы­

цх можно получить по известным выборочным величинам х и d пѵтем перестановки членов в соотношении (4.40):

При выводе неравенств (4.46) учитывается, что Zi_a/2 = —га/2; in: 1—а/2 = —tn; а/2 • Доверительная вероятность, соответствующая приведенному выше интервалу, составляет (1 — cs). Следователь­ но, статистический вывод можно сформулировать следующим об­ разом: «истинное среднее значение pA попадает в указанный ин­ тервал с доверительной вероятностью (1 — а)», или, как часто говорят, «с доверительной вероятностью 100 (1 — а) %». Аналогич­ ные статистические выводы можно сделать для оценок любых 'параметров, если известно соответствующее выборочное распре­ деление. Например, как следует из формулы (4.37), доверитель­ ный интервал для дисперсии ст2, соответствующий доверительной вероятности 1 — а при выборочной дисперсии s2, вычисленной по выборке объема N, составляет

П ример 4.1. Определение доверительных интервалов. Пусть

■имеется нормально распределенная случайная величина х. Про­ изведено N — 31 независимых наблюдений этой величины, ре­ зультаты которых приведены в виде таблицы

■Определим 90% -ные доверительные интервалы для истинного сред­ него значения и истинной дисперсии случайной величины х.

Как следует из неравенства (4.466), доверительный интервал для среднего значения р^, соответствующий доверительной ве­

роятности 1 — а при выборочном среднем значении х и выбороч­ ной дисперсии s2, вычисленным по выборке объема N = 31, имеет вид

Как следует из неравенства (4.47), доверительный интервал для дисперсии а2, соответствующий доверительной вероятности

140 Глава 4

и выборочную дисперсию и подставить эти величины в полученное соотношение для доверительного интервала. Пользуясь форму­ лой (4.3), можно найти выборочное среднее

Следовательно, 90%-ные доверительные интервалы для среднего, значения и дисперсии случайной величины х составляют

[56,85 < \іх < 60,37],

[22,91 < сг^< 54,22].

4.5. Проверка гипотез

Рассмотрим случай, когда некоторая оценка Ф вычислена по выборке объема N независимых наблюдений случайной величи­ ны X . Предположим, что есть основания считать истинное значе­ ние оцениваемого параметра Ф равным некоторой величине Ф0.

Далее если даже Ф = Ф0, то выборочное значение Ф не будет, по-видимому, точно совпадать с Ф0,!-из-за выборочной изменчи­

вости статистики Ф. Поэтому возникает следующий вопрос. Если принять гипотезу'Ф = Ф0, то насколько велико должно быть раз­

личие между Ф итФ0, чтобы эту гипотезу следовало отвергнуть как ошибочную? На этот вопрос можно ответить в статистическом смысле, рассматривая вероятность достижения некоторой задан-/

^найнмым и гипотезу Ф = Ф0 следует отвергнуть. Если вероят­ ность превышения данной разности не является малой, то нали­ чие этой разности можно отнести за счет обычной статистической изменчивости и гипотезу Ф = Ф0 можно считать правдоподобной1).

Приведенные рассуждения намечают самую простую форму статистического метода, называемого проверкой гипотез. Для того чтобы пояснить сущность этого метода, предположим, что выбо­

рочная величина Ф, представляющая собой несмещенную оценку параметра Ф, имеет плотность распределения р{Ф). Если гипо­ теза Ф = Ф0 верна, то функция р(Ф) должна обладать средним

Р и с. 4.5. Области принятия и отклонения при проверке гипотез.

^значением Ф0, как показано на рис. 4.5. Вероятность того, что параметр Ф не будет превышать нижнего уровня Фі_а/2 , составит

Ф а/2

а) Природа статистических выводов такова, что при отклонении гипотезы £мы можем заранее оценить вероятность возможной ошибки (отклонить истин­ ную гипотезу); напротив, если гипотеза не отклонена, то это не означает, что она подтверждена с заданной вероятностью; это означает лишь, что она согла­ суется с поставленным статистическим опытом, но, возможно, осуществим другой эпыт, в результате которого она должна быть отвергнута.— Прижг ред.

Следовательно, вероятность того, что параметр Ф выйдет за пре-,* делы интервала с границами Фі- а/2 и Фа/2, составляет а. Теперь примем величину а настолько малой, чтобы попадание парамет­

ра Ф за пределы интервала с границами Фі- а /2 и Фа/2 было маловероятным. Еслиіпосле извлечения выборки и определения вели­

чины Ф окажется, что эта величина выходит за пределы интервала (Ф]_а/2і Фа/2), то в этом случае есть серьезные основания под­ вергнуть сомнению справедливость проверяемой гипотезы Ф =

= Ф0. Действительно, если гипотеза верна, такое значение Ф будет маловероятным. Следовательно, гипотезу равенства вели­ чин Ф и Ф0 следует отвергнуть. С другой стороны, если параметр

Ф попадает в интервал (Фі _а/2, Фа/г), то в этом случае нет серьез­ ных оснований подвергать сомнению справедливость проверяе­ мой гипотезы. Следовательно', гипотезу равенства Ф = Ф0 мож­ но принять.

Малое значение вероятности а, используемое при проверке гипотезы, называют уровнем значимости критерия. Интервал

значений Ф, при которых гипотезу следует отвергнуть, называют

областью отклонения гипотезы, или критической областью.

Интервал значений Ф, при которых гипотезу можно принять, носит название области принятия гипотезы. Описанный простой прием проверки гипотез называется двусторонним критерием, так как, если гипотеза не верна, величина Ф может быть как больше, так и меньше Ф0. Поэтому необходимо проверить значи­ мость расхождения между Ф и Ф0 с обеих сторон. В других слу­ чаях может оказаться достаточным односторонний критерий. Рассмотрим, например, гипотезу, заключающуюся в том, что Ф > Ф0. В этом случае гипотеза может оказаться ошибочной только при Ф, меньшем чем Ф0. Поэтому критерий следует изме­

нить, используя нижнюю границу плотности распределения р(Ф). При проверке гипотез возможны ошибки двух родов. Во-пер­ вых, гипотеза отвергается, когда в действительности она верна. Эта возможная ошибка называется ошибкой первого рода. Вовторых, гипотеза принимается, когда она не верна. Эта возможная ошибка называется ошибкой второго рода. Как видно из рис. 4.5, ошибка первого рода допускается, если гипотеза верна, а пара­

метр Ф попадает в область отклонения гипотезы. Отсюда следует, что вероятность допустить ошибку первого рода равна а, т. е. уровню значимости критерия.

Для того чтобы найти, какова вероятность допустить ошибку, второго рода, необходимо задать определенную величину откло-* нения истинного значения Ф от гипотетического значения пара­ метра Ф0, которое требуется определить. Предположим, напри­ мер, что истинное значение параметра Ф в действительности равно

где z — нормально распределенная величина с нулевым средни^ -и единичной дисперсией. Заметим, что это выборочное распределе­

ние величины Xявляется точным, если х имеет нормальное распре­ деление, и представляет собой хорошее приближение, если рас­ пределение величины л: отлично от нормального.

Верхняя и нижняя границы области принятия гипотезы в рас­ сматриваемом случае имеют вид

если выборочное значение х лежит ниже верхней границы или выше нижней границы, то ошибка второго рода допускается с ве­ роятностью ß. Используя выборочные распределения величин

146 Глава 4

мальности распределения, число степеней свободы для функции* X2 в формуле (4.49) составляет п — К — 3.

После определения соответствующего данному случаю числа степеней свободы для величины X2 проверка гипотезы выполняется следующим образом. Допустим, что, согласно гипотезе, величина х обладает плотностью распределения р(х) = р0{х). После группи­ ровки выборочных наблюденных значений в К разрядов и вычисле­

где данные о функции yl-, а выбираются из табл. А.З. Если выбо­ рочное значение суммы X2 больше yj; а, гипотеза р(х) = р0(х) отвергается при уровне значимости ос. Если сумма X2 меньше или равна Хп; а. гипотеза принимается при том же уровне значимости.

Критерий согласия X2 можно использовать двумя способами. Во-первых, можно задавать разряды такой ширины, чтобы ожидае­ мые частоты в пределах каждого разряда были одинаковыми. За исключением того случая, когда проверяется гипотеза об одно­ родности распределения, применение этого способа приводит к неодинаковой ширине разрядов. Во-вторых, можно задавать раз­ ряды одинаковой ширины. Опять-таки, за исключением случая проверки гипотезы об однородности распределения, этот способ' дает различные значения ожидаемых частот в различных разряд дах. В том случае, когда используется первый способ, в работе [51] для уровня значимости а = 0,05 рекомендуется принимать минимальное число разрядов по данным табл. 4.1. Если же при-

меняется второй способ, в большинстве случаев достаточно, чтобы на одно стандартное отклонение приходилось 2,5 разряда. В любом случае желательно обеспечить значение частоты в каждом разря­

^ П ример 4.3. Проверка гипотезы о нормальности распреде­ ления. В табл. 4.2 приведены N = 200 независимых наблюден­ ных значений процесса на выходе генератора теплового шума.

Таблица 4.2

1чДля удобства эти величины расположены в таблице в возрастаю­ щем порядке. Проверим гипотезу о нормальности процесса на выходе генератора теплового шума, применяя критерий согласия X2 при уровне значимости а = 0,05. Используем способ подбора равных значений ожидаемой частоты и положим/С = 16 разрядам.

Результаты вычислений, которые необходимо выполнять при использовании критерия согласия, приведены в табл. 4.3. При

•одинаковых значениях частоты в каждом из К — 16 разрядов вероятность попадания в разряд должна составить Р = 1/К = = 0,0625. Соответствующие граничные значения га разрядов при проверке гипотезы о нормальности распределения находим из табл. А.2. Далее эти граничные значения, отвечающие нормиро­ ванной гауссовской плотности распределения, пересчитываем в ''граничные значения разрядов, выражая их через параметры рас­ пределения процесса х на выходе генератора шума. Выборочные

•среднее значение и дисперсию этого процесса вычисляем по форму- tM(4.3) и (4.12). Теперь находим наблюденные частоты, сопостав- я данные эксперимента, приведенные в табл. 4.2, с граничными значениями разрядов. Наконец вычисляем возведенные в квад­ рат нормированные значения разностей между наблюденными и ожидаемыми частотами для каждого разряда и находим сумму этих

но*