книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов
.pdf128 Глава 4 '
Плотность распределения p(z), как видно из рис. 4.1, а, униз* модальна, монотонно меняется по обе стороны моды, обладает свойством симметрии и при г = ±1 имеет точки перегиба. График
.соответствующей функции распределения P{z) изображен на
P (z)
Р и с . 4.U Нормированная |
гауссовская плотность распределения (а) в |
гауссовская |
функция распределения (б). |
рис. 4.1, б. В конце книги приведены таблицы ординат нормиро ванной гауссовской плотности распределения (табл. А.1) и пло щадей, покрытых ординатами этой функции (табл. А.2), для огра ниченного интервала значений г.
4.2.2. Распределение %2
Рассмотрим п независимых случайных величин ги гъ, z3, ...*гл, каждая из которых распределена нормально с нулевым средним и
•единичной дисперсией. Определим новую случайную величину,
.как
Xn=Zl + А + г8 + ------ |
Г2Л- |
(4.16 |
Основные полооісения математической статистики |
129 |
а называется величиной хі с п степенями свободы. Число сте пеней свободы п есть число независимых, или «свободных», значе ний квадратов величин, в х о д я щ и х в выражение (4.16). Плотность, распределения величины х« равна [21]
р (7J) = [2п/2Г (и/2)]-1(х2)[(п/2)-И] ег-М2, X2 > 0, |
(4.17) |
где Г(п/2) — гамма-функция. Соответствующую функцию |
рас |
пределения величины Хл. равную интегралу функции (4.17) в- пределах от — оо до некоторого заданного значения yj,, назы вают распределением уп с п степенями свободы. Процентили, или.
і ЛОО а%-ные точки, |
распределения х2 |
обозначают символом х«; а- |
||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
f |
Р ( i W |
== р [хі > |
Хл; о ] = а . |
(4-18), |
||
Х2Л: а |
|
|
|
|
|
|
Среднее значение и дисперсия величины Хл равны |
|
|
||||
|
М[х«]=!Ъс2 = п> |
(4.19> |
||||
М [(хл—Ы 2] = |
с**= 2 « • |
(4.2 |
0> |
|||
Плотность распределения |
р(х2) |
при |
п — 1, п — 2 |
монотонна, |
а |
|
при п > 2 унимодальна, монотонна относительно моды и несим метрична, как это видно из рис. 4.2, а. Соответствующая функция распределения Р(х2) показана на рис. 4.2,6. В приложении при ведены табличные данные о процентных точках распределения х2 (табл. А.З) для ограниченного интервала значений аргумента.
Следует отметить некоторые особенности распределения х2- Во-первых, это распределение представляет собой частный слу чай более общего гамма-распределения. Во-вторых, величина, равная корню квадратному из суммы хі с двумя степенями свобо ды (величина 72), подчиняется распределению Рэлея, которое ши роко применяется при решении задачи о стрельбе по круговойцели. Кроме того, функция Хг есть предельное распределение пи ковых значений узкополосного гауссовского случайного сигнала,, ширина полосы частот которого стремится к нулю. В-третьих,, величина, равная корню квадратному из суммы хз с тремя степе нями свободы (величина Хз). характеризуется другим важным част ным видом функции распределения — распределением Максвелла. Распределение Максвелла используется при решении задачи о- стрельбе по сферической цели (трехмерная задача). В-четвертых,, при увеличении числа степеней свободы распределение х2 прибли жается к гауссовскому. В частности, при п > 30 величина
9- 22-14
130 Глава 4
V2X% распределена |
приблизительно по нормальному закону сне |
средним значением |
р = ] /2 п — 1 и дисперсией а2, равной еди |
нице. |
|
Р(*л) |
|
Р и с . 4.2. Плотность (а) и функция (б) распределения х2-
4.2.3. t-распределение Стыбдента
Пусть у и г — независимые случайные величины, такие, что величина у подчиняется распределению Хп, а z — нормальному распределению с нулевым средним и единичной дисперсией. Опре делим новую случайную величину как
L |
(4.21) |
Случайная величина tn называется коэффициентом Стыодента & п Степенями свободы. Плотность распределения величины tn [21]
P it) |
Г[(я+1)/2] |
1 + |
t* |
- (л + 1)/2 |
(4.22) |
у/ тсп Г (л/2) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Основные положения математической статистики |
131 |
»(Соответствующую функцию распределения величины tn, равную интегралу функции (4.22) в пределах от — оо до некоторого задан ного значения tn, называют t -распределением Стыоденша с п сте-
р(М
P(tn)
*
Р и с. 4.3. Плотность (а) н функция (б) /-распределения^Стьюдента.
пенями свободы. Процентили, или 100 а%-ные точки, обозначают
СИМВОЛОМ in-. О- Т'ЭКИМ обрЭЗОМ,
■*\ |
|
•' |
со |
|
|
J |
p(t)dt=P[tn > tn. a] = a. |
(4.23) |
9*
132 |
Глава 4 |
Среднее значение и дисперсия величины tn определяются формуй лами
М [*„]=[!, = О при п> 1, |
(4.24) |
М [ ( ^ - Ы а]= о 5 = 7 ? г 2 пРи п > 2- |
(4.25) |
Плотность распределения p(tn) унимодальная, монотонна от носительно моды и симметрична (рис. 4.3, а). График функции распределения P(tn) изображен на рис. 4.3, б. В приложении приведены табличные данные о процентных точках ^-распределе- ния (табл. А.4) для ограниченного интервала значений аргумента.
•Следует отметить, что при увеличении числа степеней свободы; ^-распределение приближается^ненормированному гауссовскому распределению.
4.2.4. F-распределение
Пусть уг и у2 — независимые случайные величины, подчиняю щиеся распределению х2 с пг и п2 степенями свободы соответствен но. Определим новую случайную величину как
|
А,П1, Я*2= |
Уі/пі |
У\пг |
|
|
(4.26) |
|
У2І1Ч |
у,Пі |
|
|
||
Случайная величина РПі называется величиной F с пх и п2 сте |
||||||
пенями свободы. Плотность распределения величины Fn |
есть |
|||||
функция [21] |
|
|
|
|
|
fi. |
Р(П = |
Г[(«і + »2)/2](Ѵ^)',і/2Г(пх/2)~ 1 |
|
0. |
(4.27) |
||
Г (Пі/2)Т (Пг/2)[1 |
+ ( л ^ /л ,) ] < в ‘ + л’->/2 |
’ |
||||
Соответствующую |
функцию |
распределения |
величины |
Fn |
||
равную интегралу функции (4.27) в пределах от — оо до некото рого заданного значения F„una, называют F-распределением с %
и п2 степенями свободы. Процентили, или 100 а%-ные точки, F- распределения обозначают символом ГПііл2;а- Таким образом,
00 |
р (F)dF= Р [ГП1, П2 > Fnb а] = а. |
|
1 |
(4.2ь) |
г «і» по\ а
Среднее значение и дисперсия величины Fn „2 определяются фор мулами
|
|
М [F„h „J = Pf= — — при п2> 2, |
|
(4.2$ |
|||
ДД І ( Р |
"2 |
___\2 ] - |
ГТ2 2пІ (П1 + |
П2 — 2) |
при |
п2> 4. |
(4.30) |
М |
^ |
J — aF— Л]і (Па _ |
2)2(П2 _ 4) |
||||
Основные положения математической статистики |
133 |
Плотность распределения p(F) — унимодальная функция, мо нотонная относительно моды, несимметричная при п2 > 2 •(рис. 4.4, а). График соответствующей функции распределенияI
Р и с . 4.4. Плотность (а) и функция (б) ^-распределения (частный случай при л1=20).
I P(F) изображен на рис. 4.4, б. В приложении для ограниченного 'интервала значений аргумента приведены табличные данные о процентных точках ^-распределения (табл. А.5а, б, в). Следует отметить, что статистика t%[квадрат величины (4.21)] имеет Г-рас- пределение при % = 1 и п2 — п степенях свободы.
134 |
Глава 4 |
4.3. Распределение выборочных характеристик
Рассмотрим случайную величину х, имеющую функцию рас пределения Р(х). Пусть хъ х2, xN — выборка, состоящая из N наблюденных значений величины х. Любая величина, вычисленная по этим выборочным значениям, также будет случайной. Рассмот-
рим, например, среднее значение выборки х. Если из одной и той же случайной величины х извлекать ряд различных выборок объема
N, то средние значения х, вычисленные по разным выборкам, бу дут, как правило, различаться между собой. Следовательно, вы
борочное среднее х также представляет собой случайную величину, которая имеет некоторую функцию распределения Р(х). Эту фун
кцию распределения называют выборочным распределением оценки х.
Рассмотрим теперь некоторые общие выборочные распределе ния, часто встречающиеся на практике. К ним относятся функции, распределения, описанные в разд. 4.2. В разд. 4.4 — 4.8 приво дятся примеры использования этих выборочных функций для' оценки доверительных интервалов и для проверки гипотез.
4.3.1.Распределение выборочного среднего при известной дисперсии
. Рассмотрим среднее значение выборки объема N независимых, наблюденных значений случайной величины х:
» I S ' i - |
( 4 - 3 1> |
1= 1
Прежде всего исследуем случай нормально распределенной вели чины X с математическим ожиданием р,^ и известной дисперсией ст|. В подразделе 3.5.1 показано, что выборочное ’распределение-
оценки среднего значения х также нормально. Как следует изсоотношения (4.8), среднее значение
|
I= |
|
|
чI |
|
|
|
т * |
и, согласно уравнению (4.9), |
дисперсия |
|
eel* О |
II |
• |
(4-32)
(4.33)
Таким образом, с учетом преобразования (4.13) выборочное рас
пределение среднего значения х можно описать при помощи ве личины
(*— Р х ) Ѵ N — г |
(4.34) |
Ох |
|
*
Основные положения математической статистики |
135 |
к, Здесь 2 имеет нормированное гауссовское распределение, как по казано в подразд. 4.2.1. Отсюда вытекает следующее вероятност ное утверждение относительно среднего значения выборки до ее извлечения:
Р |
(4.35) |
|
Л т Л Г |
Рассмотрим теперь случай, когда величина х распределена по закону, отличному от нормального. Из следствий центральной предельной теоремы вытекает, что при увеличении объема выбор
ки N выборочное распределение среонего значения выборки х при ближается к нормальному распределению независимо от вида рас пределения исходной величины1). С точки зрения практики предпо
ложение о нормальности выборочного распределения величины х становится приемлемым во многих случаях при N > 4 и вполне хорошо оправдывается при N > 10. Следовательно, при доста точно больших N в качестве выборочного распределения среднего
значения выборки х для любой случайной величины х можно ис пользовать выражение (4.34) независимо от закона распределения этой величины.
4.3.2. Распределение выборочной дисперсии
Рассмотрим дисперсию выборки объема N независимых наблю денных значений случайной величины х:
2 (*'-*)*■ |
(4-36) |
Пусть величина х имеет нормальное распределение со средним значением р* и дисперсией о%. Используя соотношения (4.10), •(4.16) и (4.34), нетрудно показать, что
2 (*г—*)2= 2 |
(xi— ^ |
2— N (*—^ ) г= |
|
1=1 |
«•=1 |
|
|
N |
2 |
ЛГ—1 |
г' = сткп, n = N — 1 |
- G* S |
zi — * r - г2 = |
||
/=1 |
|
/=і |
|
*) Это утверждение справедливо в случае, если измеряемая случайная величина обладает конечной дисперсией.— Прим. ред.
136 |
Глава 4 |
где величина у2 подчиняется распределению у2 с п = N — 1 степенями свободы (см. подразд. 4.2.2). Таким образом, выбороч ное распределение дисперсии_за описывается величиной
^ - = х2, n = N — 1. |
(4.37) |
Отсюда вытекает следующее вероятностное утверждение относи тельно выборочной дисперсии s2 до извлечения выборки:
Р |
(4.38) |
4.3.3. Распределение выборочного среднего при неизвестной дисперсии
Рассмотрим среднее значение выборки объема N независимых наблюденных значений случайной величины х [формула (4.31)]. Пусть величина х распределена по нормальному закону со сред ним значением р* и неизвестной дисперсией. Из соотношений (4.21 V и (4.37) видно, что величина
( х — Ѵ-х'і |
ЧТЛ-г//~лГ__________г |
_ / |
*/Ѵ N |
/Ü Ä T |
|
подчиняется /-распределению Стьюдента с п = N — 1 степенями свободы (см. подразд. 4.2.3)^ Таким образом, выборочное распре
деление среднего значения х при неизвестной дисперсии а2 опи сывается величиной
(*_- PJ / N |
/і= д г — j. |
(4.39) |
S |
|
|
Отсюда вытекает следующее вероятностное утверждение относи тельно выборочного среднего до извлечения выборки:
st.
Р х > |
п \ а |
Рл: |
(4.40) |
|
N |
||||
/ |
|
|
4.3.4. Распределение отношения двух выборочных дисперсий
Рассмотрим дисперсии двух выборок — одной, состоящей из Nx независимых наблюденных значений случайной величины х, и другой, состоящей из Ny наблюденных значений случайной ве личины у. Выборочные дисперсии определяются формулой (4.36).£ Пусть величина х подчиняется нормальному распределению со средним значением р* и дисперсией о2, а величина у — нормаль ному распределению со средним значением цу и дисперсией
Основные положения математической статистики |
137 |
||
Из соотношений (4.26) и (4.37) видно, что величина |
|
||
4M |
4 г> М х __F |
|
|
4 Ң |
ар-п/пѵа1 |
Пх' Пу |
|
подчиняется / ’-распределению с пх = Nx — 1 и пц = Ny — 1 сте пенями свободы (см. подразд. 4.2.4). Таким образом, выборочное
распределение отношения |
оценок si и si описывается величиной |
||||
Г4/Т? |
р |
, |
nv =--N,~l, |
(4.41) |
|
4 Ң |
tmM y' |
n,j= Nу— 1. |
|||
|
|||||
Отсюда вытекает следующее вероятностное утверждение об от ношении Bbi6opo4HbiXj дисперсий si и si до извлечения выборки:
(4.42)
Если обе выборки состоят из наблюдений над одной итой же слу чайной величиной X = у, то формула (4.41) перепишется в виде
5 |
F,П 1 , Я о у |
пі=Д71— ] , |
(4.43) |
|
5 |
n2= N 2— I. |
|||
|
|
4.4. Доверительные интервалы
Вопрос об использовании выборочных значений в качестве’ оценок параметров случайных величин рассмотрен в разд. 4.1. Однако изложенные там приемы позволяют получить лишь точеч ные оцеңки интересующего нас параметра, при этом не приводятся никакие сведения о том, насколько близки выборочные величины к истинным значениям оцениваемого параметра. Более полный и надежный способ оценивания параметров случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного точечного значения), который с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра. Рассмотрим, напри
мер, случай, когда среднее значение х выборки объема N наблю денных значений случайной величины х используется в качестве оценки истинного среднего значения р,А. Практически полезнее находить для истинного среднего значения р,А такой интервал,
скажем х ± d, в котором с некоторой степенью достоверности будет заключено истинное среднее значение. Этот интервал мож но найти, если известно выборочное распределение используемой в качестве оценки выборочной величины.