книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

о

Таким образом, величина Х(пІТ) определяет значения коэффи­ циентов Ап и, следователььо, ординаты х(і) при всех t. Вид функ­ ции x(t) в свою очередь определяет величины X(f) при всех зна­ чениях /. Этот вывод составляет содержание теоремы о дискрет­ ном представлении процесса в частотной области. Основное при­ ращение частоты / = 1 IT называется коинтервалом Найквиста.

Пусть преобразование Фурье X(J) некоторой реализации задано в интервале частот от —В до В Гц и равно нулю вне этого интервала. Интервал физически осуществимых частот состав­ ляет 0 — В Гц. Обратное преобразование Фурье имеет вид

—в

Для того чтобы получить периодическую функцию частоты с периодом 2В Гц, положим, что функция X(f) непрерывно повто­ ряется. Основное приращение времени составляет і = 1/2В. Теперь

—в

120 Глава 3

Таким образом, величина определяет значения коэффи#*' шіентов С„ и, следовательно, функцию X(f) при всех значениях /. Вид этой функции в свою очередь определяет ординаты х{1) при

Н а й к в и с т а .

Предположим теперь, что реализация х ( І ) задана только в

приближенно справедливо для конечных интервалов времени и для полосовых фильтров. Полагая, что на функции х ( і) и Х(/) нало­ жены такие ограничения, касающиеся интервалов времени и частот, можно показать, что для определения функции х(1) при всех значениях t необходимо знать лишь конечное число дис­ кретных значений х(І) или Х(/). Согласно формуле (3.144), снимая дискретные значения функции X ( f ) в точках, разделен­ ных по шкале частот коннтервалом Найквиста М Т в промежутке от —В до В , можно найти число дискретных значений, которое необходимо для описания функции х ( і ) . Это число равно

Согласно формуле (3.148), снимая дискретные значения функціи^ х(1) в точках, разделенных по шкале времени интервалом Найк­ виста 1/2Ö в промежутке от 0 до Т , можно найти, что

Таким образом, требуется одинаковое число дискретных значений при выборке их через коинтервал Найквиста по шкале частот и при выборке через интервал Найквиста по шкале времени.

Упражнения

1. Рассмотрите, являются ли плотность распределения р ( х ) , автокорреляционная функция Rx(t) и спектральная плотность

:) Доказательство этой теоремы принадлежит акад. В. А. Котельнико­ ву.— Прим. ред.

4

Л

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Положения теории случайных процессов, необходимые для понимания излагаемого материала, и примеры ее использования для описания и анализа случайных явлений приведены в гл. ‘3. При оценивании характеристик случайных явлений часто тре­ буется также выполнять некоторые численные расчеты, базирую­ щиеся на методах математической статистики. В настоящей главе кратко описаны различные статистические методы, которые широ­ ко применяются при решении встречающихся на практике задач, связанных с оцениванием характеристик случайных процессов. Приводятся также соответствующие примеры. Авторы ставили перед собой задачу— познакомить читателя с терминологией и методами прикладной статистики, которые необходимы для понимания излагаемого материала и решения общих практиче­ ских задач.

4.1. Выборочные величины и оценивание параметров

Рассмотрим случайную величину х, определение которой приведено в подразд. 3.1.1. Индекс k, обозначающий точку вы­ борочного пространства, для простоты опустим. Введем теперь в рассмотрение два основных параметра, которые характеризуют среднее положение и степень изменчивости случайной величины X — среднее значение этой величины и ее дисперсию. Согласно формулам (3.8) и (3.11), среднее значение и дисперсия опре­ деляютсяследующим образом:

СО

где р(х) — плотность распределения случайной величины х. На практике точно определить эти параметры, разумеется, нель­ зя, так как плотность распределения, как правило, не известна.

124 Глава 4

Следовательно, остается довольствоваться лишь оценками сред­ него значения и дисперсии, основанными на конечном числе на­

/V

(4.4)

і=Ч

Здесь X и si представляют собой выборочное среднее и выборочную

дисперсию соответственно. Знак (л) у р* и а? означает, что эти выборочные параметры используются в качестве оценок среднего значения и дисперсии величины х. Нижний индекс у si означает, что этот параметр представляет собой смещенную оценку диспер­ сии (этот вопрос рассмотрен ниже). Число наблюденных значений случайной величины, используемых для получения оценок (вы­ борочных величин), называется объемом выборки.

произвольно. Тем не менее некоторые оценки можно считать «хорошими» или «лучшими» по сравнению с другими.

Для того чтобы определить качество или «доброкачествен­ ность» оценки, необходимо принять во внимание три обстоятель­ ства. Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание

где Ф — оценка параметра Ф. Если это условие выполняется,, оценка называется несмещенной. Во-вторых, желательно, чтобь*^ средний квадрат ошибки данной оценки был не больше среднего квадрата ошибки при любой другой оценке, т. е.

ка. При выполнении этого условия оценка называется эффек­

Оценка, удовлетворяющая этому условию, называется состоя­ тельной. Из неравенства Чебышева (3.15) следует, что достаточ­ ное (но не обязательно необходимое) условие выполнения равен­ ства (4.7а) заключается в том, чтобы

соотношениями (3.140) требования сходимости: а) по вероятности и б) в среднем квадратическом.

Рассмотрим оценку среднего значения (4.3). Математическое

Поскольку~наблюденные значения xt независимы, то, как пока­ зано в подразд. 3.1.2, математические ожидания членов послед­ него уравнения, состоящих из сомножителей с разными индек­ сами, равны нулю. Поэтому

N

j= i