книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

Математическое ожидание функции Ч;?(/е) по всем возможны^ реализациям xk{t) из ансамбля {xk(t)} определяется уже знакомой формулой

где функция Ga.(/) определена уравнением (3.102).

Предположим теперь, что функция xk(t) поступает на вход узкополосного фильтра с центральной частотой /с и полосой про­ пускания Д/, причем частотная характеристика фильтра H(f)

В этом случае преобразование Фурье функции на выходе фильтра есть уже не Xk(f, Т), а H{])Xk(j, Т). Следовательно, уравнение (3.108), определяющее среднее значение квадрата реализации на выходе фильтра, примет вид

си

Находя математическое ожидание обеих частей последнего равен­ ства, получим

Отсюда видно, что функция Gx(f) определяет скорость изменения среднего значения квадрата с частотой. Выражение | Xk{f, Т)|2

действует на реализацию xk{t) как узкополосный фильтр, который пропускает составляющие процесса только в некотором диапазо­ не частот и затем, прежде чем производить окончательную опера­ цию осреднения, возводит их в квадрат. Именно на этой основе построены аналоговые анализаторы спектральной плотности, рассмотренные в гл. 8. Подобного рода рассуждения позволяют доказать эквивалентность описанных в этой книге цифровых и аналоговых методов определения взаимной спектральной плот­ ности.

3.3. Эргодические случайные процессы

Рассмотрим две произвольные выборочные функции xk(t) и yk(t), принадлежащие слабо стационарным случайным процес­ сам {xk(t)\ и {yk(t)}. Эти стационарные процессы называются

щ я а б о э р г о д и ч е с к и м и , если их средние значения и ковариационные "(корреляционные) функции, найденные о с р е д н е н и е м п о а н с а м б л ю (см. подразд. 3.2.1), совпадают с подобными характеристиками,

ческой структуры слабо стационарного процесса нет необходи­ мости собирать значительное количество данных, так как для этого достаточно всего одной пары выборочных функций.

Более конкретно средние значения отдельных выборочных

ку осреднение производилось именно по t. Однако в общем случае результат зависит от конкретной выборочной функции, т. е. от индекса k.

Взаимные ковариационная и корреляционная функции реали­ заций xk(t) и yk(t + т) определяются осреднением по времени:

Автоковариацнонные и автокорреляционные функции имеют вид

(3.115)

а из предположения о стационарности следует •

М[Сх (х, к)]=Сх (х).

I

Доказательство завершено.

II. Достаточные условия эргодичности нормального случай^ ного процесса состоят в том, что процесс должен быть слабо стационарным и автоковариационная функция должна удовле­

Четыре условия (3.118а) могут быть заменены одним требованием?;

т

по времени оценки математического ожидания и автоковариационной функции при выполнении условий (3.118а) или (3.1186) не зависят от того, по какой выборочной функции эти оценки по­ лучены. Тогда условия II следуют из условий I. На практике эти условия часто выполняются, что оправдывает допущенисэр го­ дичное™.

3.4. Гауссовские случайные процессы

Формально гауссовский (нормальный) случайный процесс определяется следующим образом; случайный процесс называется гауссовским, если для любой совокупности моментов

времени \tn) случайные величины xk(t„) подчиняются многомер­ ному нормальному распределению, определяемому формулой (З.Зб)1*. Гауссовские случайные процессы весьма часто встре­ чаются в физических задачах, и, как правило, свойство «гауссовости» процесса можно предсказать теоретически на основе много­ мерной центральной предельной теоремы. Кроме того, можно показать, что если гауссовский процесс подвергается линейному преобразованию, то результат преобразования также будет га­ уссовским процессом. Это обстоятельство весьма важно при раз­ личных инженерных приложениях теории случайных процессов.

Рассмотрим функцию времени х(і), представляющую собой выборочную функцию эргодического гауссовского случайного 'процесса с нулевым средним. Заметим, что теперь уже нет необ­ ходимости вводить индекс k, так как одна выборочная функция характеризует весь ансамбль. Как следует из свойства эргодич­ ности, по поведению функции х(і) на достаточно большом отрезке времени можно определить те же статистические характеристики, что и путем усреднения по ансамблю для фиксированных момен­ тов времени. Отсюда вытекает, что плотность распределения мгно­ венных значений х(1), наблюдающихся на достаточно большом интервале времени, описывается законом Гаусса при нулевом среднем значении:

.При нулевом среднем значении дисперсия о\ функции x(t) не за­ висит от t и имеет вид

') Строго говоря, это не так. Формула (3.36) определяет невырожденное нормальное распределение, для которого существует плотность. Кроме него существуют вырожденные нормальные распределения, когда случайные ве­ личины связаны линеііными зависимостями. Общее определение проще всего дать следующим образом. Пусть (лц, х2, . . ., хп) — re-мерный случайный век­

тор. Тогда, если существует m-мерный (1 ^ ш ^ п) случайный вектор {уи

m

іи2< . . . . Уin), обладающий[плотностью вида (3.36) и такой, что х,• = УсцУ/,

мальным. При таком определении случайный процесс называется нормаль­

I — 2244

ІЦначе говоря, операция должна быть аддитивной и однородной. Допустимые значения могут здесь представлять собой различные выборочные функции в момент t или различные значения одной выборочной функции для различных t.

*ского ожидания случайных величин коммутативна с линейной операцией, т. е. при фиксированных t и ѵ

Доказательство этого уравнения очень несложно. Пусть x(t) принимает N дискретных значений хх, х2, ..., xN, а у{ѵ) принимает */Ѵсоответствующих дискретных значений ух, у2, ..., yN, где уг = = A[xt\. Тогда

как, например, формулу (3.140а). Доказательство завершено. Приведем весьма важное утверждение, доказательство кото­

рого вытекает непосредственно из определения. Если х(1) — вы­ борочная функция слабо (строго) стационарного случайного про­ цесса и если оператор А линеен и не зависит от времени, то у{ѵ) = = А\х{1)\ образует слабо (строго) стационарный случайный про­ цесс. Другой очень важный результат доказывается в работах

[30, 411. Если х(і) имеет нормальный закон распределения и опе­ ратор А линеен, то у(ѵ) = А\х{1)\ также подчиняется нормаль­ ному закону распределения.

,<■ Интегральное преобразование выборочной функции х(() про- Т&вольного случайного процесса {*(/)} имеет вид

ь