книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

98 Глава 3

И обратно,

О

P и с. 3-1. Односторонняя н двусторонняя спектральные плотности-

Односторонняя взаимная спектральная плотность Gxy(f)^оп­

где СхУ([) называется синфазной составляющей взаимной спект­ ральной плотности (синфазным спектром), a QxyQ) — квадратур­ ной составляющей взаимной спектральной плотности (квадратур­ ным спектром). Взаимная корреляционная функция выражается через функции Cxy(j) и Qxy(j) следующим образом:

0

ІТаким образом, Cxu(f) есть действительная четная функция, а Qxy(j) — действительная нечетная функция частоты /. Функции Сху(і) и Qxy()) выражаются через Gxy{}) и Gyx(f) посредством формул

Функция Sty{[) может быть представлена также и в показа­ тельной форме

характеризующей абсолютную величину и фазу. Аналогично

(формула (3.50)]. Примеры спектральной и взаимной спектраль­ ной плотностей даны на рис. 1.16 и 1.21 и в табл. 3.3.

При наличии в начале координат дельта-функции удобно рас­ сматривать нижний предел интегрирования как бесконечно ма­ лую величину, стремящуюся к нулю слева. В частности, при

в формулах (3.66) и (3.69). Соответствующие зависимости для дельта-функций и постоянных записываются в виде

' G (f) = 2a + b8 (/).

Итак, спектральные характеристики стационарных случай­ ных процессов (xft(/)) и {*/*(01 можно описать тремя функциями

*^х(/(/) или четырьмя функциями 5д,(/), 5^(/), C*.^(/),

Qxy(f), которые заданы только для частот / ^ 0, ибо их поведение іпри / < 0 определяется свойствами симметрии (3.62), (3.63) и '(3.72).

7*

Некоторые спектральные плотности

*

делить нормированную взаимную спектральную плотность, назы­ ваемую функцией когерентности. Эта функция рассматривается в гл. 5.

Пример 3.9. Преобразования Фурье постоянных величин и периодических функций. Случаи постоянной величины и периоди­ ческой функции удобно рассматривать несколько иным образом, используя дельта-функции. Если величина хк(() = 1, то из фор­ мулы преобразования Фурье

—Jü —OO

откуда

Xb(f + f0)=ö(f),

что эквивалентно

следует понимать как lim f . . . .— Прим. ред.

А— 4

Таким образом, для нахождения спектральной плотности суммы двух процессов необходимо знать спектральные и взаимные спек­ тральные плотности слагаемых.

3.2.3.Спектральные плотности как преобразования Фурье на конечном интервале

Рассмотрим теперь другой способ определения спектральных плотностей. Пусть дана пара, вообще говоря, коррелированных выборочных реализаций xk(t) и ук{() стационарных случайных процессов (хА,(/)| и (yk(t)}. Определим для конечного интервала времени 0 ^ / < Т функцию

Величины Xt(f, Т) и Yk([, Т) представляют собой соответственной преобразования Фурье функций хк(/) и ук(() на конечном интер­ вале времени; функции Xl-(j, Т) и Xk(f, Т) являются комплексносопряженными. Такие преобразования Фурье на конечном ин­ тервале существуют для любой реализации стационарного про­ цесса, тогда как преобразование Фурье бесконечной реализации не существует, поскольку теоретически стационарный процесс отличен от нуля на всем интервале его задания.

Весьма часто по аналогии с периодическим процессом оши­ бочно определяют взаимную спектральную плотность в виде

Т —► со

Такое определение в общем случае стационарного случайного процесса неудовлетворительно, поскольку оценка Sxy(f, Т, k) функции Sxy(f, k) несостоятельна (см. разд. 4.1), т. е. не улучшает­ ся при стремлении Т к бесконечности. Кроме того, левая частію равенства зависит от индекса k. Правильное определение функции Sxy{}) имеет вид

Тсо

%р ичем операция математического ожидания' M[SxU(f~ Т, k)] вы­ полняется именно по индексу k выборочного пространства. Ниже приводится доказательство уравнения (3.93).

Перепишем уравнение (3.90), используя^во избежание пута­ ницы разные переменные интегрирования:

7' т

о о

Произведем теперь замену переменныха, ß насе, т, гдет = ß —а , dT=dß. Соответствующее изменение области интегрирования показано на приведенном ниже рисунке.

В правильности последнего равенства легко убедиться, заметив, что обе его части равны одной и той же величине Т2. Таким об­ разом, в результате изменения области интегрирования урав­ нение (3.94) принимает вид

—Т

Т - Т—х

106 Глава 3

Находя математическое ожидание обеих частей равенства (3.96);® получим

Правая часть этого уравнения есть взаимная спектральная плотность Sxu(f), определенная ранее равенством (3.61). Урав­ нение (3.93) доказано.

При замене функции 5(/) на одностороннюю спектральную

где Xk(f, Т) и Yk{f, Т) определены формулами (3.91). Нахожде­ ние численных оценок спектральных плотностей с помощью быст­ рого преобразования Фурье рассмотрено в гл. 9.

3.2.4. Определение спектральной плотности путем фильтрации, возведения в квадрат и осреднения

Покажем теперь, что к эквивалентным результатам приводит и определение спектральной плотности путем фильтрации, возве­ дения в квадрат и осреднения, как это описано в гл. 1. РассмсР* трим, например, спектральную плотность

г —со 1

^Ложно показать, что выражение

_ т _ г

2

описывает фильтр, на вход которого поступает реализация xk{f), а на выходе наблюдается среднее значение квадрата составляю­ щих этой реализации, частоты которых принадлежат узкому ди­

Согласно теореме Парсеваля, если F([) — преобразование Фурье

•функции /(/), то

Справедливость этого равенства читатель легко может проверить сам. Следовательно, поскольку Xk{f, Т) — преобразование Фурье функции xk(t, Т), т. е.

Т ош