книги из ГПНТБ / Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов

надлежит. Однако при определенных условиях, описанных нижр, оказывается, что в частном случае эргодических случайных про­ цессов можно получить нужную статистическую информацию о процессе в целом по результатам надлежащего анализа одной^ произвольной выборочной функции. В случае двух случайныхпроцессов (xft(£)} и [ук(1)} соответствующая задача состоит в оценке совместных статистических характеристик случайных процессов по результатам надлежащего анализа одной произволь­

средние значения по ансамблю при произвольных фиксированных

Вообще говоря, эти средние значения различны для разных мо­ ментов времени и их следует вычислять отдельно для каждого ЛГ Иначе говоря,

Ковариационные функции при произвольных фиксированных

В общем случае эти величины различны для разных комбинаций

зависят от t.

По ансамблю можно определить и другие статистические характеристики, зависящие от трех и более фиксированных мо­ ментов времени. Таким образом., вероятностная структура слу­ чайного процесса будет описываться все подробнее. Однако если

вариационные функции полностью описывают вероятностную структуру процессов1). Именно по этой причине основное внимание в данной главе уделяется этим двум статистическим характери­ стикам и их связи со спектральной плотностью.

Если средние значения рЦ/) и \by {t), а также ковариационные функции Cx(t, t + т), Cy(t, t + т), Cxß , t + т) оказываются оди­ наковыми для различных моментов времени (т. е. независимыми от начала отсчета), то случайные процессы {xé(/)j и назы­ ваются слабо стационарными2). Если все возможные распределе­ ния вероятностей, описывающие процессы {xft(i)) и не зависят от переносов во времени, то процессы называются строго Iстационарными. Поскольку средние значения и ковариационные функции зависят только от одномерных и двумерных функций распределения, класс строго стационарных процессов представ­ ляет собой подкласс слабо стационарных процессов. Однако для гауссовских случайных процессов существование слабой ста­ ционарности означает одновременно и существование строгой ста­ ционарности, так как все возможные функции распределения полностью определяются средними значениями и ковариацион­ ными функциями. Таким образом, для нормальных случайных процессов оба понятия стационарности совпадают.

х) Это замечание неверно; однако в практических приложениях подтвер­ ждение гипотезы о нормальности одномерных или двумерных распределений

делает правдоподобной гипотезу о нормальности процесса. Вообще же спра-

N

кции CXy{t,i + т) называется свойством стационарной связанности этих про­

цессов (в широком смысле).— Прим. ред.

Для рассматриваемых далее в этой главе стационарных слу­ чайных процессов |хДД) и |(/Д/)} средние значения представляют -собой не зависящие от времени постоянные величины. Для всех t

•справедливы равенства

где р(х) и р(у) — одномерные плотности распределения, соответст­ вующие случайным величинам хк{1) и ук{(). Ковариационные функции стационарных случайных процессов также не зависят от /.

Определим для произвольных фиксированных / и х функции

где символ R введен вместо С для того, чтобы отличить эти соот-^ ношения от формул (3.39) и (3.40). При средних значениях, шД равных нулю, функции R и С не совпадают. Характеристики'

Rx(x) и R„(x) называются автокорреляционными функциями, а Rxy(x) — взаимной корреляционной функцией процессов (хДД)

и|#Д0] ■

Необходимое и достаточное условие того, чтобы ДДт) могла

служить автокорреляционной функцией некоторого слабо стацио­ нарного случайного процесса (хДЛ), состоит в том, что Rx{x) = = Rx(—х) и Rx(x) — неотрицательно определенная функция [15]. Можно также доказать, что Rx(x) — непрерывная функция х, если она непрерывна в точке х — 0. Аналогичным образом взаим­ ная корреляционная функция Rxy(x) непрерывна при всех х, если Rx(x) или Ry(x) непрерывна в точке т = 0.

зависит от^ также и совместная плотность распределения p(ylt у2% соответствующая паре случайных величии ух = yk{t), у* — yk{t 4* + т). Это утверждение справедливо также и для совместной плот­ ности распределения р(хх, г/2), связанной с парой случайных ве-

^ичин Xi = xk(i), 1/2 = уkit + т)- Корреляционные функции вы­ ражаются через плотности распределения следующим образом:

оо

Я*(т)= Л * і*2 Р (* і> x2)dxldx2,

Сх (Ѵ = ЯЛ(t) —

(3.47)

C.ru (Т) = R.XU (Т) — IC'P'y

'Таким образом, при нулевых средних значениях корреляционные функции тождественно равны ковариационным. Заметим, что,

ны только в том случае, если хотя бы одно из средних значений р* или р(/ равно нулю.

Из гипотезы стационарности следует, что автокорреляцион­ ные функции Rx(?) nRy(i‘) представляют собой четные функции т:

Взаимная корреляционная функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности, но удовлетворяет равенству

Примеры автокорреляционных и взаимных корреляционных функ-

ц а взаимной корреляционной функции определяется неравенством

^ірторое доказывается следующим образом. Для любых действи­ тельных постоянных а и b

М [ (ах (і) + by(l + т))2] > О,

поскольку под знак математического ожидания входит величина, которая всегда неотрицательная. Это неравенство эквивалентно следующему:

a~Rx (0) + 2abRxy (т) + b*Ra (0) > 0.

Следовательно, полагая b Ф 0, можно записать

Это квадратное уравнение относительно alb не имеет различных действительных корней, поскольку его левая часть неотрицатель­ ная. Поэтому дискриминант уравнения должен быть неположи­ тельным:

Дискриминант = 4R2Xy(т) —4Rx (0)Ry (0) < 0 .

Таким образом,

функция коэффициентов корреляции (нормированная взаимная ковариационная функция) может быть определена в виде

если знаки xk(t) и xk(l + х) различны. Суммарная вероятность

Пример 3.8. Автоюрреляционная функция суммы двух стационарных процессов. Пусть случайный процесс (г/*(/)) пред­ ставляет собой сумму двух стационарных случайных процессов (х1>А(0| и 1*2,* (01. так что каждая выборочная функция имеет вид

Ук ( О = 0 Л , *(/) + а2х2к (0,

где % и а2— постоянные. Допустим также, что процессы {хг А(/)} и {*2,*{0} могут быть коррелированы. Найдем автокорреляцион­

ную функцию Ry(r). Согласно формуле (3.44),

К (т)= М \Ук(І)Ук{t + т)]=

= М кaxxhk (/) -I- а2х2>к ( i ) ) ( a (/ + т) + а2хг к(/ + т))] == = аЩ [*м (0*і,k (t + 01 + Oia2M \x1<k(t)x2>k ({+ т)] +

+ fljOjM [x2)Ä (/)jc1>A(t + t)| + a\M [x2)* (t)x2k (t + x)j =

=alRXl (x) -f axa2 (x)+Rx#x(x)j + a\Rx„(x).

Таким образом, для построения автокорреляционной функции суммы стационарных процессов необходимо знать автокорреля­ ционные и взаимные корреляционные функции слагаемых.

'*}.2.2. Спектральная плотность

/

Определения спектральной и взаимной спектральной плот­ ностей приведены в подразд. 1.3.4 и 1.4.3, где рассмотрены прак- т-Аеские аспекты операций фильтрации, возведения в квадрат и осреднения выборочных реализаций. Описанный в этих разделах ^подход приводит к односторонним спектральным плотностям GQ), существующим только в интервале неотрицательных ча­

стот (0, оо). Более непосредственно спектральные плотности опреу* деляются как преобразования Фурье соответствующих корреля­ ционных функций, рассмотренных в подразд. 3.2.1. Такой подход ведет к двусторонним спектральным плотностям

— СО

заданным на всей частотной оси о т — оо дооо. Эта функция су­ ществует, если существует функция R(x) и если

— СО

Предположим теперь, что авто- и взаимные корреляционные функции Rx{x), R„{x) и RxU{т), определенные формулами (3.44 и (3.45), существуют. Тогда двусторонние спектральные и взаим­ ные спектральные плотности имеют вид

Для решения'практических задач оказывается полезным исследо­ вать функции'Д(т) и 5(/) с помощью дельта-функций. Уравнения (3.60) и (3.61), а также приводимые ниже эквивалентные равен-, ства называются соотношениями Винера — Хинчина.

Из свойств симметрии корреляционных функций стационар­ ного процесса [формулы (3.48) и (3.49)] следует, что