книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

ния.) В более общем виде получаем для переходов без участия фо­ тонного вакуума

нужденного испускания и поглощения, обусловленные наличием других фотонов с соответствующим волновым вектором к. Резуль­ таты, даваемые формулами (3.104) и (3.105), выражают главную цель введения формализма вторичного квантования. Они позволяют нам описать важнейшее свойство квантованной системы (в данном случае электромагнитного поля), а именно, что она может отдавать или получать энергию единичными порциями. Для электромагнит­ ного поля эти порции имеют величину fiwk, и они появляются в ап­ парате вторичного квантования в результате действия операторов рождения и уничтожения акх и ак%, входящих в А (г, f).

Прежде чем закончить рассмотрение формализма вторичного квантования, кратко опишем модификацию схемы квантования для системы частиц, подчиняющихся статистике Ферми—Дирака. В этом случае формализм должен учитывать антисимметричность многоча­ стичных состояний. Постулируем антикоммутационные соотноше­ ния для операторов рождения и уничтожения:

Фигурные скобки означают антикоммутатор

Легко видеть, что соотношения (3.106) содержат в себе принцип исключения Паули для фермионов, так как если мы попытаемся по­ строить многочастичную систему с двумя фермионами в одном и том же состоянии, то из соотношения (3.106а) получим

Антикоммутаторы (3.106) не представляют собой квантового аналога скобок Пуассона, как это было для соотношений (3.76) и (3.78), полу­ ченных из соотношений (3.536). В действительности они не имеют классического аналога, и суперпозиция величин а, не может быть

Это выражение справедливо, поскольку, согласно (1.20) и (1.21),

где выполнено интегрирование по частям во втором члене, кото­ рый теперь исчезает, так как в указанной калибровке у А = 0.

Чтобы получить полную энергию взаимодействия, следует объ­ единить выражения (3.114) и (3.121)

с

Этот результат получен для поперечной калибровки, и если сохра­ няется частный вид величины ф (г, t), использованный в (3.114), то полученное выражение несправедливо для других калибровок. Мы часто будем пользоваться формулой (3.123) именно в таком виде, ограниченном выбором определенной калибровки, поскольку если имеется только распределение тока, то кулоновская энергия не играет роли в изменениях состояний, описывающих систему «поле+ -)-частица». С другой стороны, результат (3.123) для Ж' является намного более общим, чем может показаться на первый взгляд. Чтобы в этом убедиться, удобно рассмотреть величину

которая появляется при изучении эффектов взаимодействия. Со­ гласно (3.1126) и (3.1а), она противоположна по знаку вкладу взаимодействия в действие S. Матричные элементы от V обычно используются в квантовомеханических расчетах вероятностей пере­ ходов. При этом осцилляторная зависимость от времени волновых функций поля и частицы приводит к закону сохранения энергии благодаря дельта-функции Дирака, появляющейся после интегри­ рования по времени. Далее, V является лоренц-инвариантной ве­ личиной, поскольку каждый из наборов величин (ср, j) и (Ф, А) — 4-вектор, и, следовательно, подынтегральное выражение (3.124) является скаляром, а элемент объема является инвариантом; V — также и калибровочно инвариантная величина, так как если приме-

нить преобразование (1.9), то получим

V- р ( ф — L - ^ - ) - - J - ( A + VA) drdt =

\ с dt I с

Здесь выполнено интегрирование по частям и использовано урав­ нение непрерывности для тока. При интегрировании по частям пред­ полагалось, что калибровочная функция Л выбрана равной нулю в конечных точках интервала интегрирования по времени. В системе покоя частицы с. учетом поперечной калибровки V принимает вид

что представляет собой интеграл по времени от кулоновской энер­ гии в рассматриваемой лоренцевской системе. Поскольку величи­ на V является инвариантом как относительно преобразования Ло­ ренца, так и относительно калибровочного преобразования, то она должна определять энергию взаимодействия при любом выборе системы координат и калибровки.

Обратимся теперь к применениям формулы (3.123) или (3.124) для расчета вероятностей' перехода при фото- и электровозбужде­ нии. В частности, мы начнем с обсуждения некоторых вопросов по­ глощения и испускания фотонов, для которых можно использовать поперечную калибровку и не учитывать кулоновскую энергию, т. е. использовать формулу (3.121). В дальнейшем мы должны будем ис­ пользовать аппарат вторичного квантования, развитый в предыду­ щих параграфах, особенно формулы (3.104).

*

**

Квантование электромагнитного поля в рамках приближений, аналогичных тем же, что и используемые здесь, обсуждается в кни­ гах Гайтлера [186, 187], Шиффа [302] и Бете [30]. Обширное систе­ матическое рассмотрение квантовой электродинамики, особенно ее ковариантных формулировок, дается во многих книгах, например в книгах Вентцеля [343], третьем издании книги Гайтлера [187], Боголюбова и Ширкова [48], Гамильтона [181], Мандла [238], Фейнмана [133], Ахиезера и Берестецкого [7], Швебера [305], Бьеркена и Дрела [42]*. Менее подробные, но интересные обсуждения имеются в книгах Дирака [99], Бенедетти [90], Газировича [154]**. Оригинальные статьи в этой области особенно ценны, многие из них собраны в [304]. Кроме того, следует указать статьи Гейзенберга и Паули [185], Ферми [128], Бора и Розенфельда [46].

*Большинство из указанных в этом разделе работ иностранных авторов переведено на русский язык. См., кроме этого, книги Бете, Швебера, Гофмана [390], Соколова [384]. — Прим. перев.

**См. также книги Берестецкого, Лифшица, Питаевского [370], Давы­ дова [376], Блохинцева [372]. — Прим. перев.

ГЛАВА 4

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Знание взаимодействия фотонов с заряженными телами, такими как, например, ядра, необходимо для расчетов вероятностей пере­ ходов, в процессе которых взаимодействующая система может перей­ ти из некоторого начального состояния в другие разрешенные для нее состояния. Рассмотрим, например, систему, состоящую из ядра и электромагнитного поля. В исходном положении она может на­ ходиться в состоянии, в котором ядро возбуждено (чаще всего с по­ мощью какой-либо реакции, механизм которой мы в данный момент не рассматриваем), но фотонов еще не имеется. В конечном состоя­ нии системы может быть ядро в более низком возбуждении или в ос­ новном состоянии и фотон с энергией, равной разности энергий двух состояний ядра. Нас может также интересовать конечное со­ стояние, в котором имеются два или более фотонов. Это соответст­ вует схеме распада ядра, содержащей каскад через одно или более возбужденных ядерных состояний, или наличию специфического правила отбора, в силу которого (обычно весьма малая) вероят­ ность испускания двух фотонов становится сравнимой с вероятно­ стью излучения одного фотона. Процесс, обратный процессу одно-

и имеется фотон, вызывающий возбуждение ядра. Можно рассмо­ треть также переход, в процессе которого ядро высвечивается через один из видов фотонного излучения, о котором мы только что гово­ рили. Особенно это необходимо в том случае, когда конечное состоя­ ние ядра для процесса возбуждения расположено ниже самого низ­ кого порога испускания частиц. Однако если конечное состояние ядра образуется в результате вылета ядерной частицы с ненулевой массой, то необходимо выполнить расчет сечения и для такого про­ цесса фоторасщепления.

Сначала рассмотрим лишь те процессы, в которых испускается или поглощается один фотон. Мы не будем также касаться ядерных реакций, которые предшествуют электромагнитному переходу или следуют за ним. Эти ограничения означают, что в главном порядке по константе электромагнитного взаимодействия е2/(&с) = 1/137,04 можно использовать ядерные матричные элементы, полученные из

энергии взаимодействия (3.121) в первом порядке теории возмуще­ ний. Оператор А в формуле (3.121) имеет матричные элементы, да­ ваемые формулами (3.104) для рождения или уничтожения однофотонного состояния.

Вероятность перехода в единицу времени (скорость перехода) дается «золотым правилом» зависящей от времени теории возмуще­

где оператор взаимодействия следующим образом выражается через оператор ядерного тока j (г, t) и оператор электромагнитного потен­ циала А (г, /):

стоянии ядро находится в состоянии В с большей энергией возбужде­ ния, чем состояние а. Соответствующий матричный элемент в пред­ ставлении чисел заполнения фотонов в явном виде дается формулами (3.1046) и (3.60):

Однако об операторе ядерного тока нам ничего не известно. В дан­ ный момент мы сделаем о нем лишь несколько предположений. Пер­ вым из них является то, что временная зависимость его матричных элементов является обычной для квантовой механики:

где Еа и £р — энергии ядерных состояний а и В. Далее, мы пред­ полагаем, что j (г, t) удовлетворяет уравнению непрерывности

где р (г, t) — оператор плотности заряда ядра, который, как пред­ полагается, также имеет обычную осцилляторную зависимость от времени. Наконец, мы предполагаем, что при пространственных

Для процесса фотопоглощения, который мы сейчас рассматри­ ваем, конечное состояние системы является просто возбужденным ядром. При этом будем считать, что соответствующий возбужденный уровень является хорошо определенным и достаточно узким. Плот­ ность конечных состояний в этой энергетической области представ­ ляет собой одно состояние на интервал энергии, определяемый шири­ ной уровня (см., например, [246, стр. 452]). Таким образом, если мы рассматриваем вероятность перехода, проинтегрированную по всей ширине ядерного уровня, то

line

В этой формуле мы предположили, что матричный элемент очень мало изменяется на ширине уровня. Можно воспользоваться формулой (4.6) для расчета сечения фотопоглощения, если разделить ее на плотность потока налетающих фотонов, который, согласно нашей прежней нормировке, равен clL? фотонов на единицу площа­ ди поверхности в единицу времени. Тогда сечение поглощения, про­ интегрированное по ширине линий, будет иметь вид

Если первоначальный пучок фотонов неполяризован, то следует усреднить по двум возможным состояниям поляризации. Как и в (3,65), получим

Если рассмотреть процесс, обратный реакции поглощения, т. е. процесс излучения, для которого | і) в формуле (4.1) описывает ядро в возбужденном состоянии а, а конечное состояние |/> =