книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

имело экстремум

при независимых вариациях Sqs обобщенных координат. Соотноше­ ния (3.1а) и (3.16), известные как принцип Гамильтона, определяют движение системы в интервале времени от ti до t2. Поскольку

^ = 8 ( ^ ) = - | - . ( б а

имеем

N t,

где выполнено интегрирование по частям. Последнее слагаемое

выражение в (3.2) должно само равняться нулю. Отсюда получаем уравнения Лагранжа, которые описывают эволюцию системы в ука­ занном интервале времени:

Другим способом описания является введение гамильтониана системы и использование уравнений Гамильтона в качестве урав­ нений движения. Чтобы это сделать, определим канонический им­ пульс, соответствующий координате qs:

который, как видно из уравнений Лагранжа, удовлетворяет урав­ нению

Гамильтониан является функцией обобщенных координат, их сопря­ женных импульсов и, возможно, времени. Он определяется следую­ щим образом:

s = 1

и в действительности является функцией только указанных пере­ менных (а не скоростей qs), поскольку с учетом (3.4)

N

Еще одним способом описания движения классической системы является использование скобок Пуассона. Для любых двух функ­ ций динамических переменных F (ps, qs, t) и G (ps, qs, t) имеем

s = і Vd1s dPs dQs dps J

Удобство использования скобок Пуассона станет очевидным, если мы рассмотрим полную производную по времени, например, от F :

Частным случаем соотношения (3.10) является

откуда следует хорошо известный факт, что если гамильтониан явно не зависит от времени, то он есть интеграл движения. Другие при­ меры скобок Пуассона:

Вместе с соотношениями (3.126) в качестве вспомогательных соотно­ шений, которым должны удовлетворять правильно определенные координаты и сопряженные импульсы, уравнения (3.12а) дают уравнения движения системы. Важность скобок Пуассона обус­ ловлена тем, что они инвариантны по отношению к классическому каноническому преобразованию, и поэтому соотношения, выражае-

мые скобками Пуассона, имеют одинаковый вид для любого набора канонических переменных. Это свойство вместе со многими другими алгебраическими свойствами скобок Пуассона, общими со свойст­ вами коммутаторов, позволяет построить теоретический базис квантовой механики с помощью следующего соответствия:

для описания динамической системы следует начать с нахождения лагранжиана такого, чтобы соответствующие уравнения (3.3) давали правильные уравнения движения для этой системы. Затем с помощью соотношений (3.4) и (3.6) необходимо получить сопря­ женные импульсы и гамильтониан. Уравнения движения даются

Начнем с получения классического лагранжиана для движения релятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле. Уравнение движения, которое описывает такую систему и которое требуется получить с помощью уравнений Лагранжа, имеет вид [см. (1.30)1

4 -,/ ' т =Я ( Е + - X Н V (3.14)

Мы рассматриваем здесь частицу с массой т и зарядом q, движущую­ ся со скоростью v. Электрические и магнитные поля Е и Н берутся в точке г (t), где находится частица. Как и в (1.4) и (1.5), введем векторный и скалярный потенциалы:

с dt

Тогда из (3.14) получим

Таким образом, уравнение движения частицы, взаимодействующей с полем, можно выразить через потенциалы и импульс

которая существенна лишь в процессах с двумя фотонами и поэ­ тому может временно не учитываться (см. § 4.5). Остающиеся члены имеют вид

с

и описывают взаимодействие заряженной частицы с одним фотоном. Для системы с плотностью заряда р (г, t) и плотностью тока j (г, t) формула (3.25а) обобщается:

Выражение (3.256) дает совершенно правильную энергию взаимодей­ ствия плотности заряда и тока с полем. Но наше рассмотрение было до сих пор довольно ограниченным, поскольку оно относилось только к нерелятивистским частицам. Мы не будем сейчас обсуж­ дать следствия из формулы (3.226), так как на практике обычно требуется квантовомеханическое описание системы частиц, и фор­ мула (3.226) не является хорошим исходным пунктом для такого рассмотрения (см., например, [305, стр. 54—64]). В § 3.3 мы вернем­ ся к рассмотрению энергии взаимодействия частицы и поля, но исходя из рассмотрения динамики поля.

Поэтому обратимся теперь к изучению другой части нашей сис­ темы, а именно рассмотрим поведение электромагнитного поля для случая, когда имеются источники заряда. Для этого следует сначала обобщить для полей анализ лагранжианов, гамильтонианов и схе­ мы квантования. Рассмотрим плотность лагранжиана X, которая является функцией поля* i|) (г, /) и его первых производных по пространственным и временному аргументам, т. е.

ЭД, v^p, тю.

Тогда лагранжиан и действие будут выражаться формулами

* Для электромагнитного поля гр следует считать кратким обозначением компонент ф и А.

Если рассматривают функцию я|з, имеющую несколько полевых ком­ понент, то соотношение (3.29) должно содержать суммирование по этим компонентам. Воспользуемся теоремой Гаусса в 4-пространст- ве, чтобы проинтегрировать по частям последние два члена. Тогда

так как каждый из написанных интегралов равен нулю.

Первый член в интеграле по гиперповерхности 5 может быть записан в виде

Г Л 1 da • dSS 6it>,

д (V-ф)

U ев

где da — умноженный на единичный нормальный вектор элемент двумерной граничной поверхности Л, которая охватывает объем V. Этот интеграл равен нулю, так как мы берем объем V большим и требуем, чтобы поля исчезали на больших расстояниях. Вариации 5\|) произвольны в интервале между t\ и t2, поэтому квадратная скобка в первом интеграле (3.30) должна равняться нулю, и мы получаем уравнение движения Эйлера — Лагранжа для поля

Формализм, развитый в (3.4) — (3.8) для построения гамиль­ тониана, применим для любого конечного набора обобщенных

рал по поверхности опустить. В результате получим из (3.32) и (3.356)

Теперь, проводя обычное интегрирование по частям, мы можем вычислить полную производную по времени от функции кинемати­ ческих переменных:

67