Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 355 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

трехмерные векторы, записываемые

в виде

матриц-столбцов

/ Л ( г ) \

А ( г ) = Л

(г)

I .

(2.26)

\А3

(г)/

После подстановки

формул

(2.15),

(2.16), и (2.25) в (2.24)

получаем

1 є 0\/A1(r1

— er2,rz

er1,r3)\

[(1+іе/з)А](г)

= 1 - е

0 J І Л3

(/'і—єг2 ,

6/'1 (

/'з) І =

V/lg^!—er2 ,

+ erlt

r3)J

0 \ / Л ( г ) \

= A ( r ) + e

- 1

О И А. (г)

| — є ( f j -

А (г), (2.27)

0 0 0 / \ Л 3 ( г ) /

где последнее выражение получено

в первом порядке по е. Отсюда

можно

определить

•

или

J3 = L3+S3,

(2.286)

где L 3 является произведением единичной матрицы З X 3 на опе

ратор

орбитального

углового

момента

(2.18),

S 3 =

0 .

(2.28в)

Можно еще раз выполнить аналогичные вычисления

с п

для осей

х и у;

в результате

получим

J = L

(2.29а)

где L — оператор

(2.19),

умноженный

на

единичную

матрицу

3 X 3 ,

0 \

S 1 = l 0

—і

S2 =

(

(2.296)

0 /

\ — і

0 /

в S3 дается (2.28в). Из соотношения,

аналогичного

(2.20), снова

получаем для

конечных

вращений

{R{n,

в ) ) - е ^ " - » -

(2.30)

Как хорошо известно из квантовой механики, оператор орби тального углового момента L удовлетворяет коммутационным соотношениям

L x L = i L .	(2.31)
Матрицы S = (Si, S2 , S3 ) удовлетворяют	аналогичным соотно
шениям*:
S x S = i S .	(2.32)

Кроме того, так как L — единичная матрица в пространстве трехкомпонентных векторов-столбцов, то L и S коммутируют и

J x J = i J .	(2.33)
Таким образом, из соотношения (2.30) видно, что J	генерирует

вращения для векторного поля, а из (2.33) — что он удовлетворяет коммутационным соотношениям для операторов углового момента. Следовательно, можно ожидать, что J будет играть роль оператора углового момента для потенциала электромагнитного поля и что надо построить решения векторного волнового уравнения (1.55), которые являются собственными функциями оператора J.

Однако, прежде чем это делать, можно записать J и, в частности, S в более удобной форме. В квантовой механике удобно рассматри вать операторы орбитального углового момента L в представлении, в котором матрица L 3 диагональна. Фактически мы этим уже поль

зовались для наших скалярных решений				уравнения Гельмгольца,
поскольку	хорошо известно, что		сферические гармоники		(2.6),
(2.7) одновременно со свойствами
VYlm(Q,	4)={L\+Ll+Ll)Ylm{S,		<p) =	/ ( / + l ) 7 t e ( 9 , ср)	(2.34а)
также удовлетворяют соотношению
	L3Ylm(Q,	q>) = mYlm(Q,		ер).	(2.346)

Таким образом, в представлении этих функций L 3 автоматически будет диагональным. Аналогично мы выберем базис в трехмерном пространстве векторов-столбцов. В этом базисе будет диагональна

. * Соотношения (2.32) можно проверить путем непосредственного пере множения матриц или используя следующее свойство: матричные элементы t-я компоненты S могут быть выражены через полностью антисимметричный тензор третьего ранга (см. сноску в § 1.2):

Тогда матричный элемент векторного произведения,				соответствующий пере
ходу p-*q, имеет вид
[(S X S ) a ] g p = 2i	2	s ant [Sn]qr	[St]rP	=
пі	г
= — 2 &аШ Znqr		Є ( г р = Є о	д р = І	[5a ]g p.
ntr

S3. Тогда, согласно (2.286), матрица J3 будет также диагональной. Чтобы это получить, следует выполнить унитарное преобразование

	S3=US3U+				(2.35)
такое, чтобы S'з была диагональной. Это				преобразование	имеет
вид
	1//2"	і/1/2"		О
11 =	0	0		1	(2.36)
-	1//2"	і / / 2 "		0
что дает новое выражение для S*:
'0 1 0^	^0	—і	0
У 1
					(2.37)

При этом коммутационные соотношения (2.32), конечно, выпол няются.

Преобразование (2.36) приводит также к новому набору базис ных векторов, который заменяет используемую в (2.26) — (2.29) первоначальную тройку единичных векторов ei, е 2 , е3 , соответст вующих осям х, у, г. Эти новые векторы имеют вид

1*= S t/!re,

(2.38)

Перейдем к более удобным обозначениям: для первого вектора возь мем t = 1, для второго t = 0 и для третьего t = — 1. Тогда

і =		+	1	(el Z bie2 \		ё, --= е,	>.39)
і =		+	У 2	(el Z bie2 \		ё, --= е,	>.39)
			У 2
Этот набор векторов	называется				сферическим базисным		набором.
Векторы комплексны,	и из		(2.39)		следует,	что
							(2.40)
l t " S ^	=	( - l ) , A ' i - l i " l u =				fi^,	(2.41)

где греческие индексы пробегают значения — 1, 0, 1. Этот комплекс ный базисный набор приводит к специальной метрике для векторов, представляемых в нем. Для действительного вектора V имеем

V = І	= I	.	(2.42)
ц = - 1	ц =	- 1

Для удобства мы опускаем штрихи в преобразованных матрицах.

и из (2.40), (2.41)		и (2.42) получаем
		^ = Su-V =		( - l ) » * y ^ .	(2.43)
Если рассмотрим второй вектор W, то для компонент в сферическом
базисе
	V - W =	І	VIW»=	Ё (-IpV-pWv.	(2.44)
		tx = — I		\|X = — 1
По	определению	являются собственными векторами			оператора
S3,	так что по аналогии		с (2.346)
			5 3 ^ = Ф § д -		(2-45)

Аналог соотношения (2.34а) получается тривиально, так как из (2.37) следует

	S2 = S f + S l + S S = 2 r		(2.46)
где в правой части	подразумевается	единичная матрица	З ХЗ.
Поскольку оператор	углового момента	S удовлетворяет коммута

ционным соотношениям (2.32), он обладает свойством S2 =	s(s + 1),
где s обозначает собственное значение оператора углового	момента.

Из (2.46) получаем, что s = 1. Таким образом, соответствует собственному вектору углового момента для спина 1. Это тот

спин, который следует добавить к орбитальному угловому		моменту
в	(2.29а), чтобы получить полный угловой момент поля	фотона.
§	2.2. Сферические тензоры
	Теперь мы должны построить из собственных функций орби
тального углового момента Ylm и собственных функций		соответ

ствующих спину 1, новые собственные функции для полного угло вого момента J = L + S. Процедура такого рода хорошо известна из квантовомеханической теории углового момента, которая кратко изложена в Приложении А. При сложении величин Ji и J,, соот ветствующих угловым моментам двух различных частиц или орби тальному и внутреннему угловым моментам одной частицы, необ ходимо рассматривать два возможных базисных набора. В одном


из	них	диагональными		являются	операторы J i 2 =		/і (/і + 1),
J 2 2	= /а (b		+ 1), (Jib =	rrii и (J2 )3 = т%- Этот набор			называется
несвязанным			представлением. В другом, или связанном,					представ
лении		диагональными		являются	величины	Ji 2 , J2 2 ,	J2	= (Ji +
+	J2 )2	= J {J + 1), (J)3 = (Ji -f-J2 )3 = M.				Матричные		элементы

унитарного преобразования, которое осуществляет переход от одного представления к другому, называются коэффициентами Клебша —

Гордана. Мы будем их обозначать* как [j-^j^J \т1т2М). Их свойства кратко обсуждаются в Приложении А и более подробно — в книгах по теории' углового момента, указанных в конце главы.

Несвязанным представлением для рассматриваемой задачи яв ляется произведение сферических гармоник и векторов сферического базиса. Эти произведения являются собственными функциями че тырех соответствующих операторов несвязанного представления:

Ь8 У,„(гНд = / ( / + 1 ) К , т ( 0 1 ^

	• S a y , i n ( r ) l n = 2 y i r o ( f ) l l l ,	(2.47)
	L 3 Ylm (г) \|ц = mYlm (г) ,	(2.47)
	L 3 Ylm (г) \|ц = mYlm (г) ,

Мы воспользуемся коэффициентами Клебша — Гордана, чтобы перейти к связанному представлению, определяя новые собствен ные функции полного углового момента

	Тл;м	(г) = 2 (Л У \| >ЩМ) Уы (г) %..							' (2.48а)
Эти трехкомпонентные величины						называются		векторными,		сфери
ческими	гармониками**.		Имеем
	r-TjL-M(T)		=	J(J		+	l)TjL.M(r),}			(2.49)

И
	VTji-м		(г) = 1(1+1)				Тл; м (г),			(2.50)
		S2 Ty/ : j U (?) = 2 T J / ; M ( r ) .								(2.51)
Учитывая	свойства	симметрии		коэффициентов				Клебша — Гордана
(ПА.206)	и соотношения		(2.7),		(2.40), (2.48),			получаем
Т'л-.м (г) = Е ( - 1 ) т + , 1				( И У \|			т ц / И ) У , _ т ( г ) \| _ ц =
	•=(-\ГУ>{1и\-т-^М)						У \| т ( г ) \| \| 1		=
	= ( - 1 ) « + ' + ' + ^ 2 ( Л У \| т И . - У И ) К г т							(?)!,,=
		= ( _	! ) «	+	'	+ _	A . f r ) -			(2-52)
* Наиболее употребительными обозначениями для коэффициентов										Клеб
ша— Гордана, или коэффициентов				векторного сложения,					являются
	h ті Щ I jm) = (jі k mi			Щ I h j 2			jm) = C}™,^-., = C/™,,^ .

Сводка различных обозначений коэффициентов Клебша—Гордана приведена

вработе [109]. — Прим. перев.

**Заметим, что эти величины не являются векторами в смысле трансфор мации свойств, описываемых выражением (2.9), или (что эквивалентно) вы

ражением (2.23) с коэффициентами	D 1 m , m ( / ? ) .	Их трансформационные свой
ства описываются преобразованием	(2.54) (см.	ниже).

Здесь мы воспользовались тем фактом, что при суммировании в (2.48а) коэффициенты Клебша — Гордана исчезают, если т-\- р. Ф

фМ,	так что двойное		суммирование в действительности		является
лишь	суммированием		по одному индексу, т. е.
			і
	Ту,: л, (?) =		2	( Л У \| М - Ц ( і Л І ) У ш - ^ ( ? ) \| д .	(2-486)
		іі = - і

Можно показать, что величины (2.48) удовлетворяют условию

ортогональности	на	единичной		сфере:
= 2	(l'U'\M'—\i'yL'M')(HJ\M				—	X
X It-• Іц \ YpM--n>				(?) Уш — n (?) dfi =
= б/г W		2 (И J' I M — \|І\|ІМ) (/1У IM — щШ) =
		•	=&ir	дмм'•		(2.53)
Здесь мы использовали			соотношения		(2.8) и (2.41) и свойства орто

гональности коэффициентов Клебша — Гордана. Величины Т л ; м (г) образуют полный набор в трехмерном пространстве на единичной

сфере, поскольку §р, определены в трехмерном пространстве,		а сфе
рические гармоники образуют полный набор функций	от	Э и ср.
В силу определения (2.48) и свойств коэффициентов	Клебша —

Гордана скалярное произведение векторной сферической гар

моники на вектор V преобразуется при вращении г' =				Rr следую
щим образом:
	J
V - T y z . « ( f ) =	У	DirM(R)V'-T}liM-(r').		(2.54)
	M' = —	J
Сравним этот результат	с формулами		(2.11) — (2.13) и	(2.23). Со
отношение (2.54) обобщает для случая			векторного поля	результат,

полученный ранее в (2.23) для скалярного поля. Оно указывает, что на языке теории угловых моментов Рака проекция Тл-м (г) на вектор дает неприводимый тензор ранга J. Поэтому можно при менить теорему Вигнера—Эккарта к матричному элементу этой величины, взятому между двумя состояниями с хорошими кванто

выми числами углового момента и его проекции, например,			\| /1mі>
и \|/ 2 m 2 > . Это дает	(см. Приложение А)
	</а m.%\V-lji.M\iltn1y	=
=	(A J к І т'і Мт2) </2 1V '-1л II А),		(2.55)

где дважды отчеркнутая величина, определяемая как приведенный матричный элемент, не зависит от всех магнитных квантовых чисел. Это утверждение в конечном счете будет играть очень существенную роль в наших теоретических рассмотрениях, так как оно позволит,

не обращаясь к деталям ядерной структуры, выполнить всю ту часть вычислений, которая зависит только от геометрии (т. е. от магнитных квантовых чисел). Формула (2.55) также дает правила отбора, заключающиеся в том, что матричный элемент исчезает,

если не	выполняется правило треугольника
		I Ух	/ 2 К ^ < / і + / 2
и соотношение mi		-f- М = /п2 .
Одно	из самых	полезных	приложений формализма векторных

сферических гармоник относится к вычислению градиента от произ ведения функции от г на сферическую гармонику. Конечная фор мула, называемая градиентной формулой, имеет вид

- ( ^ Г ( £ - т ' ) т ' ' " - < * <2И>

Эта формула значительно упрощает математические выкладки для полей со спином 1. Чтобы ее доказать, воспользуемся тем, что сфе рические гармоники образуют полный набор на единичной сфере, а базисные векторы сферического базиса определены в трехмерном пространстве. Тогда, используя (2.8) и (2.41) — (2.43), можно на писать

	V / ( r ) K f m ( r )	=
=• 2	^{-\ri^YLM(r)lYiM{r)Wllf(r)Ylm(?)dQ.		(2.57)
ц = -	1 Ш
Здесь \7р, — i-t-я компонента оператора		градиента,	представленного

в сферическом базисе. Этот оператор является векторным операто ром, поскольку при вращении R он преобразуется с помощью матрицы вращений 0^>^ (R). Следовательно, для интеграла в фор

муле (2.57) можно воспользоваться теоремой

Вигнера—Эккарта:

\У1м(г)

Vllf(r)Ylm(r)dQ^

(tlL\mixM)(L

II V/(г) ||/>

(lib

I щМ)

(lib

I ООО)-1 J YCo (г) V 0 f (r) YlQ

(f) dQ.

(2.58)

Мы увидим, что для

соответствующих случаев (Z1L|000) не исче

зает. Интеграл в (2.58) можно

вычислить

непосредственно,

так

как для сферических

координат

дг_

dcosO

дер

V o ~~ dz

д cos 0

dtp

( А

Ух*-\-

& +

9 =

\дг

)

дг^[дг

ух2 +

у2 + г2 j 3 cos 0

С 0

5 9

5 І І ! ! І ^ _ ,

(2.59)

г д cos 0

и из (2.6)

и (2.7) следует

Ую (Ь =

[(2/ +

1)/4л]і/2

(cos 8).

(2.60)

Полиномы

Лежандра

удовлетворяют

соотношениям

( / + 1 ) Pl+1

(cos 0) — (21 + 1) cos BP, (cos 0) + IP1_1

(cos 0)

(2.61a)

sin3 ©.

Pl (cos 0) =

(cos 0)—cos 0 Pt (cos 9)] =

d cos 0

/(/+1) [Pi-i

(cos0)—P/ + 1 (cos 0)].

(2.616)

21+1

Поэтому получаем

Vo / (О K„ (r) = / [(2/ +

1) ( 2 / - 1 ) ] - '/2

f 2-

+ І Х І

f )

1 0 (r) +

\dr

+ ( / + D [(2/ +

1) (21 +

3 ) ] - '/2

i - / j

7 г + ! 0

(f).

(2.62)

Коэффициент Клебша — Гордана

в знаменателе

выражения

(2.58)

имеет следующие значения

(см. табл. ПАЛ):

[(7 +

1)/(2/ +

1 ) ] ' / 2, L = / + l ,

(Л/. | 000) =

L — I,

(2.63)

- [ / / ( 2 / + 1 )]>/2,

L=l—\,

Подставляя

(2.58), (2.62) и (2.63) в (2.57) и используя (2.8), получаем

^ .

\ 1 / Ч

1/2

[ 1 = - 1

2/ —1

' ( Ш — 1 | /72J.I/7Z + [і) X

+ ( ^ ) 1

( / 1 / +

1 И ( х т +

^)У ;+

1 т

1 А

( ? ) ^ — L / j j .

(2.64)

[Мы видим, таким образом, что операция деления в (2.58) не приве ла к трудностям.] Пользуясь свойством симметрии (ПА.20), по лучаем

W ) K i m ( r ) = 2 1-м	'	^ 1 / 2	(/—1 1/\| m + V — ц т ) К і _ і т + м . X
ц =— 1	2/+1
ц =— 1
X ^ + ^ / ) - ( ^ r ) 1	/ 2	( / + l H \| m + [ x - ^ m ) 7 , + l m + t l x

что с учетом определения (2.48) и дает градиентную формулу (2.56).

Как видно из выражения (2.5), если f (/•) в (2.56) выбрать в виде сферической функции Бесселя порядка /, то величина

	А / И (г; V=±-VJt(kr)Ylm&				(2.65)
			it
будет удовлетворять		векторному		уравнению	Гельмгольца
( V 2 + к2) А!т (г;	I) =	0.	Однако	поскольку
V . A ; m ( r ;	Q = ±V4к		l(kr)Ylmfi=-kjl(kr)Ylm$)=t0,		(2.66)

то такой потенциал не удовлетворяет условию поперечности (1.56). Поэтому потенциал (2.65) с индексом 1 называется продольным. Хотя он не годится для описания электромагнитного поля с попе речной калибровкой, им полезно пользоваться для других калиб ровок. Заметим, что в силу соотношений для сферических функций Бесселя

- f	/, (kr) = kn-x (kr)-^-h			(kr),	(2.67a)
dr			г
A.	j	(kr)	= - k j l + , (kr) +-Ljt	(kr)	(2.676)
dr			г	•

градиентная формула (2.56) дает особенно простой результат

\ т (Г; I) = ( ^ Щ " ) 1 1 2 ІІ-	1 {kr) In - , ; m ("Г) +
+ (^~)ll2il+i(kr)Tu+um(r).	(2.68)

Отсюда также следует, что поскольку обе векторные сферические гармоники в (2.68) при вращении R преобразуются как неприводи мые тензоры [в смысле формулы (2.54)], то и продольный потенциал обладает этим же свойством.

§ 2.3. Потенциалы и поля мультиполей

Теперь мы должны вернуться к получению решений для век торного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющих условию попе речности. Результаты предыдущего параграфа позволяют легко понять, что любой вектор вида

Вні;т (г) =	/ х ( А г ) Т а : т ( ? ) ,	\| / - 1 \| < Я < / + 1	(2.69)
будет удовлетворять	векторному уравнению Гельмгольца
	(V2 + ^ ) B a ; n i	( r ) = 0 ,	(2.70)

поскольку в В/я, т входит величина jx (kr) Yxm-ii (г), которая удовлетворяет уравнению (2.4). Эти решения для данного I обра зуют неприводимые тензоры ранга /. В частном случае 1 = 0 имеется

только одно такое решение, поскольку % должно тогда равняться единице. Однако, подставляя I = 0 в (2.65), (2.66) и (2.68), мы ви дим, что такое решение в любом случае не является поперечным и поэтому сейчас не представляет для нас интереса. Следовательно, надо рассматривать три решения, а именно случаи X = I — 1, /, / + 1. Любая суперпозиция из этих трех потенциалов будет удовлетворять уравнению Гельмгольца и будет преобразовываться как неприводимый тензор ранга /. Однако, как видно из (2.68), не все суперпозиции будут удовлетворять условию поперечности. Необходимо подобрать коэффициенты таким образом, чтобы это условие выполнялось.

Мы также должны добавить новое требование, которому должны удовлетворять получаемые потенциалы мультиполей. Подобно тому как мы раньше требовали, чтобы потенциалы имели определен ное значение углового момента, потребуем, чтобы они имели опре деленную четность. Это необходимо потому, что рассматриваемые нами гамильтонианы ядра включают в основном сильное взаимодей ствие и, следовательно, инвариантны при инверсии всех трех про странственных осей. Собственные функции таких гамильтонианов одновременно будут собственными функциями оператора четности, и можно более эффективно изучать взаимодействие электромаг нитного поля с ядром, если с самого начала ввести понятие четно сти поля.

Чтобы это сделать, рассмотрим пространственную инверсию сис темы координат, в результате которой компоненты данного вектора

меняют свой знак на противоположный:			г' = —г. Изменение
функции В;А,. т (г)	при таком	преобразовании		обусловлено	вектор
ным характером	величин ^	(\|№ ->• — ^ )	и	зависимостью	от на

правления г, которая входит в величины Yxm-y, (г). Для	полярного
и азимутального углов сферической системы координат	пространст

венная инверсия		записывается в			виде
			б - э - З Т — 0,		ф - ^ - ф ± Я			(2.71)
и из (2.6) и (2.7)		получаем
Укт-ц(			— г ) = К я т _ ц ( Я ~ 0 ,			ф ± Я ) =		•
=	(	- 1 № „ ( 8 ,			ф ) = ( - 1 ) » - У х и _ № ( г ) .			(2.72)
Следовательно,	из трех решений				Вц,; т (г)	два с X =		/ ± 1 должны
иметь одинаковую четность, которая в свою очередь							противополож
на четности решения с X = I. Поэтому попытаемся построить ре
шение в виде
			A,m (r,	т ) = / , ( й г ) Т „ : т ( г )				(2.73)
и			Є) = С і - і / / _ і (kr) Т /			г _ 1; m (Г)
	А[т	(Г;	Є) = С і - і / / _ і (kr) Т /			г _ 1; m (Г)	+
		Ц-Сі+і		jl+i	(kr)Tu+l;m(T),			(2.74)

З	Зак. 1193	49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 355 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ