книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

тотой соотношением к — а/с. Условие поперечности будет удовлет­ ворено, если для каждого волнового вектора мы имеем

Поскольку плоские волны составляют полный набор, то супер­

дает общий вид векторного потенциала, удовлетворяющего урав­ нениям (1.55) и (1.56). Таким образом, можно в принципе удовлет­ ворить граничным условиям, которые налагаются на А в силу наличия источников в области, внешней по отношению к области, рассматриваемой в уравнении (1.55). Практически обычно исполь­ зуют решение в декартовых координатах только тогда, когда гра­ ничные условия достаточно легко формулируются для этой системы координат. Обычно накладывается требование периодичности реше­ ния на каждой грани куба с ребром L . Это требование отбирает волновые векторы, удовлетворяющие условию

к дискретной сумме, которая далее может быть преобразована с по­ мощью требований, накладываемых на А. Учитывая (1.60), полу­ чим число различных значений частоты, содержащихся при данной

Экспоненциальная форма записи для плоских волн в выражениях (1.57) и (1.59) является более предпочтительной по сравнению с решениями в виде синуса и косинуса) которые также могут быть использованы), поскольку экспоненциальная запись дает особенно простые алгебраические выражения для интересующих нас раз-

личных величин. Например, с помощью (1.4) и (1.5) можно получить выражения для напряженностей. Для заданной частоты имеем

Таким образом, напряженности Е и Н в вакууме имеют одинаковую абсолютную величину и три вектора {k, Е, Н} образуют правовинтовую систему. В этих выражениях все еще остается неопределен­ ным нормировочный коэффициент Nk для данного волнового век­ тора. Существует много способов, чтобы найти его. Например, можно подставить выражения (1.62) и (1.63) в (1.47) и вычислить энергию для данного волнового вектора в объеме L 3 , а затем какимлибо удобным способом нормировать на соответствующие значения \уfield (к) Вычисление по формуле (1.47) с комплексными зна­ чениями Е и Н тогда дает

Здесь использовано условие (1.58). С помощью выражения (1.64) можно связать его с соответствующей энергией

где к — единичный вектор в направлении вектора к. Безотноси­ тельно к конкретному виду Wfuld (к) соотношение (1.67) является естественным следствием теории, основанной на уравнениях Мак­ свелла. Однако, как мы увидим в гл. 3, квантовая теория электро­ магнитных волн приводит к конкретному виду этой величины,

аименно

где %—постоянная Планка, деленная на 2я. Это фиксирует нфмировку нашего решения в виде плоских волн:

Импульс поля, конечно, выражается формулой

pfteM(k).=4k. (1.70)

Выражение для углового момента поля, соответствующее і°л У~ ченному решению в виде плоских волн в объеме L 3 , вообще говоря, мало интересно, так как оно зависит от точки объема, относительно которой берется момент. Очевидно, что использование декар-рвой системы координат не очень удобно для обсуждения свойств углевого момента электромагнитного поля, так как в сферической системе координат они будут выражаться намного более простым способом.

Книги Джексона [212], Ландау и Лифшица [226], Марина [2411 и Пановского и Филлипса [265] содержат подробное рассмот­ рение классической электромагнитной теории, включая большую часть материала, обсуждаемого в этой главе*.

* На русском языке, кроме книги Ландау и Лифшица [226], см. і^игу Тамма [385], учебник Левича [379]. Краткое изложение основных вопр1 С °в» рассматриваемых в этой главе, имеется также в первых главах книг Ахи^ера и Берестецкого [7] и Берестецкого, Лифшица и Питаевского [370]. — П>им. перев,

где и (г, t) —скалярная функция. Если выделить обычную осцилляторную зависимость от времени, то для компоненты с частотою со можно написать

когда система координат вращается*. Поскольку оператор Лапласа в уравнении (2.3) является скалярным оператором, ясно, что вид уравнения Гельмгольца в новой координатной системе будет таким же, как и в старой системе, а соответствующие решения в двух сис­ темах будут тесно связаны между собой. Любое вращение можно описать с помощью одной из двух схем. Первая из них состоит в па­

последовательности поворотов (рис. 2.1):

координатами г'. Эта связь наиболее просто определяется с помощью

* Мы рассматриваем здесь элементы теории вращений и углового момен­ та,, которая, как предполагается, читателю относительно хорошо известна. (См. в этой связи книги, указанные в конце данной главы.) Сводка основных результатов квантовомеханической теории углового момента приводится в Приложении А.

Девять элементов матрицы R могут зависеть только от трех неза­ висимых величин (п и 0 или Вь 02 ,В3 ); остальные степени свободы исключаются условием ортогональности. Действительно, используя определенные выше углы Эйлера, можно записать*

Если рассматривается скалярное поле, которое (независимо от системы координат, используемой для описания точки) каждой точке пространства ставит в соответствие лишь одно число, то вращение приводит к изменению функциональной зависимости поля. Согласно определению скалярного поля, это изменение в соответ­ ствии с соотношением (2.9) в точности компенсируется изменением радиуса-вектора, т. е.

так что одно и то оюг число сопоставляется данной физической точке как старой, так и новой функцией безотносительно к тому, к какой системе координат мы относим точку. Соотношение (2.11)- указывает новый путь для описания вращений. В (2.9) мы рассматривали опе­ ратор (или матрицу) R, который действует в конфигурационном пространстве; теперь мы можем ввести оператор** Т (R), который действует в пространстве функций и характеризует вращение R. Действие Т (R) на и дает новую функцию, которая в соответствии с (2.11) должна удовлетворять для вращения R соотношению

[T(R)u](Rr)=u(r). (2.12)

Можно также ввести вектор р. = Rr, который действует в том же пространстве, что и г. Тогда (2.12) принимает вид

[Т (R) и] ( р ) = ы ( Я - ' р ) ,

** В томе I этот оператор обозначается символом R. Обозначение Г {R)

используется здесь, чтобы различить операцию вращения в пространстве функций от этой же операции в конфигурационном пространстве.

излишние обозначения, назовем этот новый вектор вектором г вмес­ то р, то будем иметь

[T(R)u](r) = u(R-lr), (2.13)

где модифицированная функция в левой части уравнения (2.13) берется в точке г.

'Очевидно, что если не выполняется никаких вращений, то R является единичной матрицей и Т (R) |э.=о = 1 • Если выполняет­

этой стадии они могут быть даже равны нулю или линейно зависеть от є; в последнем случае Т (R) отличалось бы от единицы только во втором порядке или еще меньше.) Можно легко получить выражение для L. Рассмотрим, например, малый поворот вокруг оси г. Возьмем п параллельным этой оси и обозначим

где правая часть (2.13) разложена в ряд Тейлора. Поскольку соот­

Dlmm' (R), образующие матрицу (21 -f 1) x (21 -f 1), следует счи­ тать функцией величин, описывающих рассматриваемое вращение,

главы). Из (2.236) получаем также трансформационные свойства решений, даваемых формулой (2.5):

поля полностью определяется сферическими гармониками. Для такого поля вращение является результатом действия оператора орбитального углового момента и приводит к новому решению с данным /, которое является суперпозицией старых решений, имеющих то же самое значение /. Можно ли ожидать, что аналогич­ ный результат сохраняется и для решения векторного уравнения Гельмгольца (1.55)? Мы можем надеяться выразить решение этого уравнения через компоненты, каждая из которых имеет вид, опреде­ ляемый формулой (2.5), и суперпозиция которых удовлетворяет условию поперечности (1.56). Однако ясно, что такое решение не будет обладать простыми трансформационными свойствами (2.23в), так как компоненты, составляющие решение, при вращениях сами должны преобразовываться друг через друга. Необходимо объединить трансформационные свойства векторов с трансформа­ ционными свойствами сферических гармоник, даваемых формулой (2.236). Чтобы это выполнить, попытаемся построить оператор, аналогичный оператору Т (R) в соотношениях (2.13) и (2.14), кото­ рый генерирует бесконечно малые повороты для скалярного поля. Определяющим свойством векторного поля является трансформа­ ционный закон

Появление дополнительной по сравнению с (2.13) матрицы R в пра­ вой части является отражением того факта, что компоненты всех векторов по определению должны преобразовываться по тому же правилу, что и радиус-вектор [см. (2.9)].

Попытаемся теперь найти оператор Т (R), который будет гене­ рировать бесконечно малые преобразования для векторного поля по аналогии с формулой (2.14) для скалярного поля. Рассмотрим снова повороты на малый угол в вокруг оси z и напишем