книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

У

f2р

W (abed; ef) W (abed; eg) = 8fg.

(ПА.32)

є

Из других полезных

соотношений отметим

правило сумм

Рака

Уі( — 1 ) а + ь - е е2

W (abed; ef) W (bae'd;

eg) = W (afgb; cd) •

(ПА.33)

e

и тождество Эллиота-Биденхарна

^{2W(Atdc;

aC)W (bteC; Bc)W (Atfb; aB)

=

=

W (adbe; cf)W (AdBe; Cf).

(ПА.34)

W (ABCD;

EF) =

( — \ ) E + F - e

- >

W (abed; ef).

(ПА.35)

Например,

W

(abed; ef) = W (bade; e/) = W (acbd; fe) =

= (—l)b+c~e-l

W (aefd; bc)=(

— l)a+d-e-!W(ebcf;

ad).

(ПА.36)

Эти условия симметрии более просто выражаются с помощью

&}-симеолов,

определяемых

выражением

a j b

S ]

=

(—\)a+b+c+dW(abcd;

ef).

(ПА.37)

dc

f\

Как следует из (ПА.35),

6/-символ остается инвариантным при любой четной

и нечетной

перестановке его столбцов

и при любой перестановке

верхних и

нижних элементов в каждом

из двух

столбцов.

щихся

коэффициентов Рака:

б

б

W (abed;

0/) =

( —

rf-b-d

jb_cd

^

(ПА.38)

bd

W(aabb;

І с М - І ) * ^ " 1

• ° < ° + В + * (» +

D - « ( « + В

( П А . 3 9 >

и

У

'

'

2 [я (а + 1) ( 2 а + 1 ) * (fc-fl)

(26

4 4 ) ] 1

/ 2

\

l2(k

l2

J | ООО) W ^

h и U; jfj)=(

h к JI Y ~

7

° ) •

( П А - 4 0 )

где подразумевается,

что 1г,

l2,

J в

правой

части удовлетворяют условию

треугольника,

а сумма

1Х 4

h +

. / д о л ж н а

быть

четной.

V ± I = T - J z r ( K i i i V O . VQ=V3

(ПА.47)

у 1

Если Sim

и Ті'т'

— Два

неприводимых тензорных оператора, то их про­

изведение SimTl,m,

также представляет собой тензорный оператор, но, вооб­

ще говоря, приводимый. Неприводимый оператор

ULM

может быть

построен

следующим

образом:

ULM~

S

(W Цтт'M)SLMTL,

Т . Г

(ГТА.48)

mm'

что иногда

записывается

в виде

j

U W [ S [ 4 ® T I ' 4 1 4 .

(ПА.49)

Рассмотрим специальный случай, когда 1=

V. Тогда в

выражении

(ПА.48)

L можно взять равным нулю

и определить скалярное

произведение

( s M . T M ) B ( - l ) ' n s M ® 7 * ' 4 [ 0 ] =

2

(~Цт

SbnTi-m.

(ПА.50)

торных

операторов

V^'-l и

W^'J

приобретает

вид

( V ^ - W ^ )

= V-W =

=

+ V 2 W 2 + V 3 W 3 .

Из закона преобразования (ПА.46) можно получить преобразование ве­

личины,

эрмитово

сопряженной

Tim:

Т (R) (Tlm)+T(R)-*

= 2

[Dlm,m

(Bj, 0

2 , 03 )*

(Гш.)*]

=

m'

« 2

( -

D m ' - m

Dl_m,_m

(0x,

в,. 03 )

( Г І ) Д , ) + ,

(ПА.51)

ffl'

сюда

видно, что (— l ) m

(Tit

_тп)+ преобразуется

по тому же правилу, что и

Tim,

Поэтому оператор

Т ^ +

, эрмитово сопряженный тензорному

оператору

Т ^ ,

мы определим в виде

(7, + )lm = ( - l ) m ( ^ - m ) + .

(ПА.52)

Коммутационные соотношения тензорных операторов с операторами угло­

вого момента (ПА.8) и (ПА.9) имеют вид

[J±, Г і т і - К А Т m) [І ± « Ф 1 ) ] 1

' 2 Tlm ± ! ,

(ПА.53)

Ws. Tlm]=[mT[m.

(ПА.536)

<•/' « ' 1 TLM ! / " » > = №' I тМт') </" ||

И j),

(ПА.54)

ментом и не зависит

от всех магнитных проекций квантовых чисел. Иногда

мы пользуемся для

него другим обозначением <j'\\TL\\j).

Зависимость от

т и т' полностью входит в коэффициент Клебша—Гордана.

В этом коэффи­

матричном элементе, а именно: у", /, /' должны

удовлетворять правилу тре­

угольника и должно выполняться соотношение т' = in +

М.

Тривиальным частным случаем формулы

(ПА.54)

является равенство

<У т' 1 /»г> = б ; 7 , б ш т ,

и до некоторой степени менее очевидный и очень полезный

результат

</' т' \ Jvl 1 jm> =

6у 7 , С/1/1 »Чі'*') I/ (/ +

1)11 1 2 ,

(ПА.55)

где Ju

определяется формулами

(ПА.9).

§ ПА. 6. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ В ТЕОРИИ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ

Операция обращения времени играет важную роль во многих

областях

ядерной

физики, поскольку, как обычно предполагается,

ядерные

гамиль­

ными

или чисто мнимыми.

Поскольку обращение времени означает изменение знака временной ко­

ординаты, т. е. t ->- —t,

оператор обращения времени удовлетворяет соотноше­

ниям

КтК+ = г,

КрК+ = —р

(ПА.56)

и таким

образом

изменяет знак в коммутационном соотношении

\pi,

rm]

=

=

і й б ; т .

Значит,

оператор К является антиунитарным (см.,

например,

[247]). Он может быть записан

в виде

K = UKo,

(ПА.57)

где

Ко — оператор комплексного сопряжения, a U — унитарный

оператор.

Например, для одной частицы со_спином 1/2 оператор U имеет вид U =

—іау,

в котором предполагается обычный выбор [247] спиновых матриц. Этот

выбор

U учитывает тот факт,

что, согласно

(ПА.56), для оператора

орбитального

углового момента

KLK+

= — L , и, следовательно, в общем виде

К1К+

=

— J -

(ПА.58)

Если

обозначить

собственную

функцию

операторов J 2 и J3

через і|)у -т ,

ко­

функция Ktyjm будет удовлетворять

уравнениям

J 2

W ; m ) = / ( / + l ) W i m ) .

(ПА.59а)

h

msm)

=

-KJ3bm

=—m

m J m ) .

(ПА.596)

J± (K%-m)=- KJT

bm=

-

Ш ±m){j^m^

I)] " 2 (Щтт

О- (ПА.59В )

№ p ( r . f ) = i f t

*ygt ' ,

(ПБ.Іа)

где величина

Я = с а - р ^ Р т с 2

(ПБ.Іб)

/ М

выражается через оператор импульса р =

( — І V и массу частицы m. Волно­

вая функция^ имеет несколько компонент в пространстве

векторов-столбцов,

действительно дает ожидаемое релятивистское соотношение между

энергией

и импульсом,

так как

j

з

з

Я 2

=

— с 2

2J

5J («У

РА Н*-

з

ф т с 3

2

(«./Р +

Р Ч М ^ - Р 2 ('«C 2 ) 2 = c*p*4- ( т с 2 ) 2

(ПБ.2)

/=1

при условии,

что выполняются

коммутационные

соотношения

aj

а й"Ф"а Ь а у =

2 б д ,

се,- Р-ф- Р<х;- = 0,

(ПБ.За)

и условия нормировки

Р2 =

1.

(ПБ.Зб)

Ч > i>

- ( I Л)-

<™-5>

а /

— единичная матрица 2 X 2 .

Можно переписать уравнение Дирака в другой форме, в которой времен­

ные и пространственные производные входят более симметрично.

Умножив

уравнение

(ПБ.1) слева на pVftc, получим

— iP«-V^p — —-ф" — J ф(г. 0 = 0

(ПБ.6)

или*

с

где

( т д ^ Г * Т " ) * ( х ) " 0 ,

( П Б - 7 )

Y = — ф а , а = і р у

7і = Р,

(ПБ.8)

и * 4

— \ct.

Согласно (ПБ.З), у-матрицы должны удовлетворять соотношениям

Y n Y v + Y v Y u = 2 S p . v .

(ПБ.9)

/ 0

—із

М-

(ПБ.10)

\ia

Y « =

0

( ^ • т ) * ' ^ ' 0 ' - -

( П Б Л 1 )

где преобразованные координаты х^

связаны с исходными

координатами х^

соотношением

* i =

V * v .

(ПБ.12)

flMva,iP=6vP'

a vn<W = §vP-

(ПБ.13)

Поэтому

d e t ( a ) = ± l .

(ПБ.14)

* Греческие нижние индексы здесь пробегают значения 1, 2, 3, 4, в то

время как латинские индексы пробегают значения

1, 2, 3. По повторяющим­

в действительности является унимодулярной,

т. е.

det(a) = l .

(ПБ.15)

і)/ (x')^\ty(x),

(ПБ.16)

6

'

- ^ .

- L .

(ПВ .. 7,

dxd

дх» dxv

(AV

dxv

A - 1 Y M . A = a t l v V v .

(ПБ.18)

a H V = 6 H V + e . u v .

( П Б Л 9 >

! A = 1 ^ 7 V V

.!

< П Б ' 2 0 )

LYn, SXv] = Y v V - V # ^ v .

(ПБ.21)

S n v e 7 - V n V v .

(ПБ.22)

Тогда, рассматривая последовательность бесконечно малых

преобразова­

ний, получаем

Л = е х р (±- в ^ у ^ У

(ПБ.23)

на ф (х) =

(х) P = ф+ (л) 7

4 ,

а

справа — на ф (x). Можно получить пять

полезных

комбинаций:

S (*) = ф (х) i|) (х)

(скаляр),

(ПБ.24а)

1^ (х) = ф (х) 7 Д

я|з (*)

(вектор).

(ПБ.246)

^ „ Ю ^ М а ^ Ф М

(тензор),

(ПБ.24в)

W = i l l>M Yp, Ys 1I> (*)

(аксиальный вектор),

(ПБ.24г)

і 3 (х) =

ф (Л:) -\)6 ф (х)

(псевдоскаляр).

(ПБ.24д)

Здесь

1

° n v = l i " ( V | i T v - T v T u ) ,

(ПБ.25)

и

7 б = 7 і 7 2 Т з Ї 4 -

(ПБ.26)

(ПБ.24)

трансформируются при преобразовании

(ПБ.12)

по правилам, которые соот­

ветствуют их обозначениям,

а именно*

S'(x')

= S(x),

(ПБ.27а)

^(*')=VM*)-

(ПБ.276)

Tiiv<*')

= awav<jTpo(*),

(ПБ.27в)

(x')

=

det (a)

fl|lv

Av

(х),

(ПБ.27г)

Р'

(х') =

det [а)Р (х).

(ПБ .27д)

Матрицы, использованные для построения тензорного выражения

Т"v , обла­

дают полезным свойством

°"й =

aim =

— ЇУі Vm=iPVs Y A = —Те aft.

(ПБ.28)

где A, I,

rn образуют

циклическую

перестановку. В представлении

(ПБ.24)

эта матрица 4 X 4 выражается

через спиновые матрицы Паули

2 X 2

CTH?aJ' *= 1 '2 '3 -

(ПБ-29)

Матрица в псевдоскалярном выражении обладает свойством

75 7^ + 7^76 = 0.

Y 1 = 1 -

( П Б - 3 ° )

имеет представление

T . =

(J~J)

СПБ.31