книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

фекты несущественны при условии, что средняя длина свободного пробега рассеянной частицы в мишени значительно больше разме­ ров мишени, что амплитуда рассеяния намного меньше среднего расстояния между нуклонами и что эффекты, связанные с выходом за массовую поверхность, малы. Для пионов с низкой энергией (значительно меньшей энергии 3,3-резонанса*) первые два условия выполняются, так как амплитуда пион-нуклонного рассеяния равна лишь ~0,1 ферми; получить же определенное подтверждение для третьего условия нелегко. Конечный результат импульсного приб­

В дальнейшем этот оператор должен действовать между волновыми функциями ядерных состояний для рассматриваемого перехода.

Амплитуда поглощения пионов на свободных нуклонах с рож­ дением фотонов высокой энергии хорошо известна [63]. Ее главный член имеет вид

где А — векторный потенциал для фотонов и

Ф+ = у = { Ф 1 + ІФ 2 ) , t - = - j ( T 1 - i t a ) .

Выражение (10.48) имеет ту же форму, что и выражение (10.46). Можно написать и оценить поправочные члены к амплитуде. Для поглощения связанных пионов на легких ядрах они составляют от 5 до 10%. Используя выражение (10.48), получаем для вероятно­ сти радиационного поглощения пионов

* Так часто называют наиболее сильный и ранее других установленный резонанс в сечении пион-нуклонного рассеяния. Его характеристики следую­ щие: энергия 1236 Мэв в системе центра масс, изотопический спин 3/2, спин 3/2, четность положительна. — Прим. перев.

П Р И Л О Ж Е Н И Е А

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА

Вэтом Приложении мы кратко обсудим те вопросы квантовомеханической теории углового момента, на которые мы часто ссылались в тексте. Наша цель — дать очерк традиционной теории и точно определить систему обозна­ чений; более подробные обсуждения имеются в книгах, указанных в конце гл. 3.

§ПА. 1. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВОГО МОМЕНТА

Вгл. 3 мы обсуждали влияние вращения системы координат на поле г|>.

Если вращение R характеризуется осью п, вокруг которой оно выполняется,

вращения, рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, что осуществлен бесконечно малый поворот вокруг оси х на угол є и после этого — второй такой же поворот вокруг оси у на угол т|. Далее предположим, что мы вы­ полнили эти же повороты в обратном порядке. Поскольку вращения не яв­ ляются коммутирующими операциями, результаты двух таких противополож­ ных последовательных действий не являются одинаковыми. Фактически можно обнаружить «экспериментально» или с помощью соотношения (2.9), рассма­ тривая его для бесконечно малого поворота, что разность указанных последо­ вательных операций отличается от тождественного преобразования операцией вращения вокруг оси г на угол ет). Таким образом, имеем из соотношения (ПА. 1)

§ ПА. 2. СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША — ГОРДАНА И 3/-СИМВОЛЫ

Рассмотрим случай, когда система описывается двумя операторами угло­ вого момента J a и J&, действующими в двух различных пространствах. Такая ситуация встречается при изучении двух разных частиц или рассмо­ трении орбитального углового момента и спина одной частицы. Тогда можно

Поскольку J a и J& действуют в разных пространствах и, следовательно, ком­ мутируют, эти функции являются одновременно собственными функциями операторов J ^ , ( J a b . Jb> Cu b [см. уравнения (ПА. 11)].

Оператор, о котором мы говорим как об операторе полного углового момента системы, строится в виде

где для того, чтобы обеспечить соответствующую размерность, подразуме­ вается прямое произведение на единичные матрицы. Так как J a и J 0 комму­ тируют, имеем, как обычно,

J X J = i J .

Значит, оператор полного углового момента обладает теми же самыми свой­ ствами, что и оператор J в выражениях (ПА.4) и (ПА.6). Следовательно, можно попытаться построить в новом пространстве функции, являющиеся общими собственными функциями операторов J2 и J3:

Чтобы дополнить до полного набора коммутирующих операторов, эти функ­ ции можно рассматривать также как собственные функции операторов З2 и J | . Представление, осуществляемое функциями, которые удовлетворяют уравнениям (ПА. 13), называется связанным представлением. Унитарное преобразование от несвязанного к связанному представлению записывается следующим образом:

татЬ

Матричные элементы этого унитарного преобразования называются коэффи­ циентами Клебша—Гордана. Для них существует много различных обозна­ чений. В работах [287, 288] они записываются как С (/„, /&/; татът). В ра­ боте [109] диагональные операторы в каждом представлении связываются

через коэффициенты Клебша—Гордана, которые записываются в виде Ііа'ПаІь'ПьІІаІЬІ'"). Авторы работы [247] используют обозначение <ІаІьтать | /яі> так же, как и в работе [55]. Однако фактически все авторы

выбирают фазы в этих преобразованиях тем же способом, что и Кондон и Шортли [67], поэтому численные значения коэффициентов Клебша—Гордана почти всегда одинаковы.

с классическим представлением об ограничениях модулей векторов в равенст­

•что это возможно). Соответствующее соотношение ортогональности имеет вид

{За + Jb)± на выражение (ПА. 14). Общие формулы для коэффициентов вместе с их другими свойствами имеются в книгах по теории углового момента, спи­ сок которых приведен в конце гл. 2. Здесь мы приведем некоторые наиболее

и обратная формула

Их можно проверить, воспользовавшись свойствами матрицы конечных вра­ щений, построенной из операторов в формуле (ПАЛ), взятых между состоя­ ниями с хорошим квантовым числом углового момента:

D'm,m (R (п, e ))-</m' | ехр ( і в п . j) | jm>.

Заметим, что, например, в формуле (ПА.26а) левая часть имеет четность

коэффициентов Клебша—Гордана, которое дает (—1)' = (—1)'а~*~'ь.

С помощью доказательства, аналогичному тому, которое необходимо при установлении соотношений (ПА.26), получают также теорему сложения сфе­ рических гармоник:

§ ПА.З. СЛОЖЕНИЕ ТРЕХ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ, КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА И 6/-СИМВОЛЫ

Пусть надо связать три угловых момента J a , J;,, J c в полный момент J

являются диагональными, к представлению, в котором диагональны операторы

В последнем представлении нужен один дополнительный диагональный оператор, чтобы иметь полный набор коммутирующих операторов. Им являет­ ся угловой момент, возникающий при промежуточном сложении двух момен­

Если использовать коэффициенты Клебша—Гордана, чтобы построить ф; -т (7 -') в методе 1, то оператор J ' 2 = ( J a 4 - J u ) 2 = /' (/'4 - 1) будет диагональным; если

Коэффициенты W в этом разложении называются коэффициентами Рака. Как легко показать, они не завсят от т. Кроме того, условия треугольника, воз­ никающие в наших двух методах, требуют выполнения условия

Отсюда и из соотношения (ПА. 17) можно найти явное выражение для коэффи­

циентов Рака в виде суммы по магнитным квантовым числам от четырех коэффициентов Клебша—Гордана. Это приводит к тому, что если для коэффи-