книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

Калибровка, в которой

V - A = 0,

называется поперечной, или кулоновской, калибровкой. Если ис­ пользовать эту калибровку, то из уравнения (1.6) получим обычное уравнение Пуассона для скалярного потенциала

Происхождение названия «кулоновская калибровка» для условия (1.14) возникает из последнего результата, из которого видно, что скалярный потенциал определяется зарядом и мгновенным кулоновским взаимодействием. Потенциал в момент времени t опреде­ ляется положением заряда в тот же самый момент t. Это противо­ речит требованию специальной теории относительности, которое гласит, что ни один сигнал не может распространяться быстрее скорости света. Поскольку уравнения Максвелла обязательно должны подчиняться специальной теории относительности, проти­ воречие в действительности является кажущимся. Оно возникает из-за использования условия (1.14), которое не является явно реля­ тивистски ковариантным. Это противоречие можно устранить, если вспомнить, что ср (г, t) непосредственно не наблюдается, а наблю­ дается только в комбинации

слагаемым \7ф (г > 0 . которое содержит заряд, движущийся в момент

где штрих у оператора градиента обозначает производную по пере­ менной г'. Используя этот результат, мы увидим (см. стр. 22), что в уравнение (1.17) войдет лишь поперечный ток j ' , т. е.

где последнее равенство получается из-за того, что оператор v не действует на функции от г', например на j (г', /). Таким образом, имеем из (1.21а) и (1.24)

Этот интеграл легко взять, так как согласно закону Кулона еди­ ничный точечный заряд создает потенциал вида 1/|г — г'|. Ис­ пользуя уравнение Пуассона (1.15), получаем

где б (г — г') —трехмерная дельта-функция Дирака. В результате имеем

i ' + j ' = $ j ( r \ 0 6 ( r - r ' ) d r ' = j ( r , 0 ,

что и доказывает правильность разбиения (1.20а) тока j на слагаемые (1.21). Кроме того, ясно, что из (1.17), (1.18), (1.20а) и (1.21) следует уравнение (1.19). Следовательно, при поперечной калибровке век­ торный потенциал определяется только поперечной частью источ­ ника.

Поперечная калибровка особенно полезна при рассмотрении областей, не содержащих источников. В этом случае можно взять в качестве решения уравнения (1.15) ср = 0, а векторный потенциал будет удовлетворять уравнению, в которое источники не входят:

•А = 0.

Пользуясь решением этого уравнения, которое удовлетворяет соответствующим граничным условиям, можно получить напряжен­ ности электромагнитного поля

Е = — , H = v X А .

сdt

§1.2. Взаимодействие электромагнитного поля с заряженными частицами и законы сохранения

Прежде чем дальше рассматривать физические свойства полей, описываемых уравнениями Максвелла, обсудим, как связаны друг с другом электромагнитные поля и заряженные частицы в клас­ сической электродинамике. Это означает, что в дополнение к ска­ занному о том, как заряды и токи создают поля [что мы делали

в связи с уравнениями (1.1)], следует также рассмотреть, как поля действуют на заряженные частицы. Это видно из выражения (1.3) для силы Лоренца, которое мы теперь объединим с законом Ньютона и запишем в виде

где полагают, что величина

Р =

является релятивистским импульсом распределения заряда, на кото­ рое действует электромагнитное поле. Если мы рассматриваем частицу с зарядом q, то

от

Подставляя (1.28) в уравнение (1.27), можно следующим образом записать уравнение движения для отдельной частицы:

~df

Значения напряженности поля берутся в точке, где находится час­ тица. Кроме того, мы видим, что изменение энергии частицы в еди­ ницу времени дается выражением

которое является производной по времени от релятивистской энер­ гии W = тс2/У 1 — о2 /с2 частицы. Таким образом, с помощью выражения (1.30) получаем

или для распределения заряда

Соотношения (1.27) и (1.33) описывают действие электромагнит­ ного поля на заряженные частицы. Мы можем теперь задать вопрос,

для системы взаимодействующих частиц и полей, необходимо ввести энергию и импульс электромагнитного поля. Например, распреде­

через границу соответствующего объема интегрирования. Чтобы

Здесь мы использовали векторное тождество для градиента от ска­ лярного произведения двух векторов. Это выражение в свою очередь

Остальная часть подынтегрального выражения второго интегра­ ла в (1.35), относящаяся к магнитному полю, может быть рассмот­ рена по аналогии с (1.36) и (1.37), если вспомнить, что четвертое уравнение Максвелла позволяет нам добавить равное нулю слагае­ мое Н (v'-H). Тогда эта магнитная часть будет выражаться в той же самой форме, что и (1.36). Таким образом, выражение (1.36)

_d_ (P + P/ J S / r f ) = j V - *Tdr'. dt

С помощью теоремы Гаусса второй член может быть преобразован

Поток импульса поля через поверхность выражается через поверх­ ностный интеграл от аффинора

4st

* Аффинором называется линейный оператор, который действует в трех­ мерном пространстве и переводит один вектор в другой. Матрица этого пре­ образования состоит из девяти элементов, совокупность которых образует тензор второго ранга. Единичный аффинор, или идемфактор, — э т о тождест­ венное преобразование, матрица которого представляет собой единичную матрицу 3 X 3 . (Подробнее см. [253, разд. 1.6], а также Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., «Наука», 1967.) В русской ли­ тературе по классической электродинамике эта терминология обычно не применяется. — Прим. перев.

равенства (1.52) дает возможность использовать теорему Гаусса и написать

где М — псевдотензор второго ранга с компонентами

зз

Соотношение (1.53) выражает тот факт, что электромагнитное поле имеет угловой момент, который в комбинации с угловым моментом частицы является сохраняющейся величиной. Поток углового мо­ мента через поверхность дается поверхностным интегралом от.

тензора М, тогда как плотность углового момента поля выражается векторным произведением координаты г на плотность импульса поля

§ 1.3. Плоские волны

Рассмотрение законов сохранения было проведено для поля, взаимодействующего с заряженными частицами, но оно касалось главным образом свойств поля: его энергии, импульса и углового момента. Теперь мы кратко обсудим некоторые другие свойства электромагнитного поля в классической физике, а именно природу полей в отсутствие источников. Для этого используем поперечную калибровку [см. (1.14) — (1.16), (1.19)]. Тогда скалярный потенциал равен нулю, а векторный потенциал является решением уравнения

с калибровочным условием поперечности

Решение этих уравнений, например, в декартовых координатах, конечно, очень хорошо известно. Для данного волнового вектора к имеем

а более общее решение является непрерывной суперпозицией таких векторных функций. Подставляя предполагаемое решение (1.57) в уравнение (1.55), мы видим, что указанное уравнение удовлетво­ ряется при условии, что величина волнового вектора связана с час-