Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3528 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

§9.2. Нерелятивистский предел в пространстве нуклонов

Для применений в ядерной физике обычно необходим гамиль тониан (9.37), в котором состояния нуклонов описываются нере лятивистскими волновыми функциями. Задача здесь в значитель ной степени та же самая, что и при рассмотрении электромагнитных процессов, где мы нашли общее выражение для нуклонного тока

при наличии взаимодействия с электромагнитным полем и перешли в этом выражении к нерелятивистскому пределу. Полученный результат можно использовать с обычными волновыми функциями

ядерных		моделей.
Мы можем выполнить такую же программу, используя преобра-
ование		Фолди — Вутхайзена				(ФВ),	которое	рассматривалось
§ 6.1. Как следует из				выражения (9.37), оператор Гамильтона
пространстве			нуклонов	имеет		вид
		h' (г,	t) = -^L-	р+ (г, t) [і В {h ух + f2oXpkp				+
			+	feiVx	+	i g s * O Y B > ] -		( 9 - 3 8 >
Здесь д(г, і) — лептонный ток,						выражающийся		через соответст
вующие спинорные волновые функции лептонов:
/* +	(г, t) = [і		(г)v?-(1 +	у » ) ^ ( г ) ] + е'хр [~(EV—				Е,)(9.39)
где	величины		Е обозначают		энергию		соответствующих частиц

или отрицательную энергию для античастиц. Введем для удобства

величину

со =

(JEv — Ej)l%

так,

чтобы

временная зависимость

лептонного тока имела простой вид е ш .

Прежде чем воспользоваться преобразованием ФВ в прост

ранстве нуклонов,

оператор (9.38) следует разбить на четную

нечетную

части,

определяемые

соотношениями

(6.6) — (6.8)

(6.21). Имеем

где

%=Ш + 0',

(9.40)

8 = І -гДг

[ -

/ і П

Іт BcTm n К

+ gl Іт fom Yel

= І -

[ ~ h

fcmnl

ol + ig1

j * am]

(9.41)

1мы воспользовались соотношениями (ПБ.28)] и

О' = І у

- r

Иг Пп hm

+ft

0 i t К

- І т К)

У т ~

Поскольку рассматриваемое нами взаимодействие является сла- 'бым, выражение (6.22) остается справедливым. Кроме того, пере д о

данные импульсы в бета-распаде и мюонном захвате не очень велики,, и поэтому достаточно ограничиться в выражении (6.22) слагаемыми

порядка М~х,

где М — масса нуклона. Таким образом, необходимо-

вычислить антикоммутатор

величины

а р

О':

[ар,

0 ' ] + = - J L _ {/ 1 [ р . ] + +

. р +

; ( Г . (рх Г ) ] -

— р72[і(Г • { р х ( і / 4 + к — j + k 0 ) — (і jj

к—j+k0)

р} +

+ {р• (і jt к-Г

k0)}] + іglо•

[p jt +jt

p]-g2

В [a• p (jk

kl)+]}. (9АЗУ

Здесь

использованы

соотношения

(6.25)

(6.26).

Оказывается

(см. ниже § 9.5), что

величина / 2 с а м

имеет

порядок М~г,

и, по

скольку выражение (9.43) входит в нерелятивистский

гамильтониан

с множителем М - 1 , можно опустить член

с / 2

в антикоммутаторе.

Тогда

преобразованный гамильтониан

взаимодействия

примет

вид.

h' =

~ f i

i/2Pcr • ( j + X k) -

g l Г

• a

^ [ [ / i [ p - J + + J+-P + i<*- (pXj+)]

igi<*-(p/4+

+ П P) —g*№• P

(

4 )

где в пределе нерелятивистских нуклонов а является спиновой матрицей Паули, а 6 может быть заменено единицей.

Чтобы получить окончательный вид гамильтониана слабоговзаимодействия в нуклонном пространстве, необходимо определить вид лептонных спинорных волновых функций, которые входят в вы ражение (9.39). Нейтрино, как известно, описывается плоской вол ной, соответствующей импульсу v. Поскольку перед спинором ней

трино всегда стоит множитель (1 +уъ),	удобно ввести величину
wv=(l+y5)uv,	(9.45)-

которая выражается через обычный спинор нейтрино. В представ

лении,	используемом	в	Приложении Б,	она	имеет	простой вид.
	^ ^ (	J j	U - c x - v h *	1 ' 2	,	(9.46)
где X і 1	1 2 соответствует		спину нейтрино	«вверх»		или «вниз».

Спинор (9.45) имеет отрицательную спиральность. Это можновидеть, действуя оператором спиральности or-v на wv:

a- vay v = — v 6 a -V(1 + ? 5 ) " v =	^ Y 5 ( 1 - f - Y 5 ) « - v " v	=
= - ( l + Y 5 ) " v = - a > v .		(9-47)-

Таким образом, в V — Л-теории все нейтрино имеют спины, на правленные антипараллельно их импульсу, тогда как антинейтрино, описываемые величиной wv = uv ( 1 — у Б ) , имеют спины, парал лельные импульсу.

Для многих целей можно также брать волновые функции заря женных лептонов в выражении (9.39) в виде плоских волн с им пульсом 1. Ток лептонов (9.39) будет тогда иметь вид

	f + ( r ,	0 =	L - 3 u * + e - I k - r e i ( £ v ~ £ i ,		' / *	(9.48)
где	величина k =	v — 1 — волновой		вектор	импульса,	передан
ного	лептонами, L 3 — нормировочный			объем	и
Учитывая, что			bx=i{ulyxwv).			(9.49)
Учитывая, что
.получаем		( р / я + ( г , 0 ) = - ^ Л + ( г , 0 ,				(9.50)
.получаем
	У 2L*
	+ -zzr	і - f	l k •B++2B+ • P ~1 t w		• ( k x b + ) i	+
	2Mc		p ) + ^ a ( f f - k ) ( ^ * 0 + ] ) -			(9.51)
	+[GLG-(~fikbi+2bt		p ) + ^ a ( f f - k ) ( ^ * 0 + ] ) -			(9.51)

Это выражение может быть использовано в качестве отправной точки для рассмотрения ядерных операторов в В-распаде и захвате мюонов. Его следует просуммировать по нуклонам, которые могут дать вклад в изучаемый процесс. Для 8-распада с испусканием электрона дают вклад только нейтроны, которые в результате ре акции превращаются в протоны. Это может быть учтено введением нормированного повышающего оператора [см. также (ПА.9)]

т + = -j- (Tj + і т 2 ) = — J L - т + 1 ,

(9.52а)

для которого выполняются соотношения

т + | р > = 0, т+ |/г> = |р>.

(9.526)

Для захвата мюонов и для В-распада с испусканием позитронов необходимо ввести величину, эрмитово сопряженную величине (9.52а):

т _ = ^ - ( т 1 - і т 2 ) = ^ = - г _ 1 ,

(9.52B)

которая удовлетворяет уравнениям

т _ |л> = 0, т _ | р > = ] п > .

(9.52г)

Для последних двух процессов можно пользоваться оператором (9.51), а для В-распада необходима его эрмитово сопряженная ве-

личина. В результате получаем оператор Гамильтона для слабого взаимодействия в ядре

h'=ути	2 e ~i k 'T j (t-}>- { -V i b t + 1 / г a - ( b + x k ) ~
_ ^ і Ь + ' (	Т + Ж " [ / і [ - ^ к . Ь + + 2 Ь + - р - і Д ( Т -		(к x b+)] +
4- і gi о•	( - U k W + 264+ P) + ^ 2 (e• k) (	b x }	б (r - r, - ) +
	+эрмитово сопряженные	члены.	(9.53)

§ 9.3. Разложение по мультиполям

Оператор, который входит в гамильтониан (9.53), в ядерном пространстве имеет следующую структуру:

e~ i k - l r х (і ,	а, -Н- или	- ^ 4 .	(9.54)
[	Мс	Мс	)

Для первого и последнего из этих операторов достаточно рассмот реть обычное разложение по плоским волнам

е - * - г = 4 я 2	/,(kr) Y*m (к) К г т (?),	(9.55)
lm

имея в виду, что р не коммутирует с этим выражением. Для двух других операторов напишем

е-""•• й = 4 з х 2 і"' /, (Аг)К?»(k) Ylm (?) |* й й =

= 4я 2 i - ' A ( ^ ) 7 f m ( k ) ( Z l J | m [ x m + (i)g* Г л ^ + ^ . В ) , (9.56)

imp../

где |ц — сферические базисные векторы [см. (2.40) — (2.43)], а ве личины

ТЛ;М{т,	И) = ^(1и\М-\1цМ)УШ-А^)^	(9.57а)
	и

являются неприводимыми тензорами. С помощью соотношения (2.48) эти величины можно также выразить через векторные сфери ческие гармоники, введенные при рассмотрении полей со спином единица:

(г) • Й.

(9.576)

В табл. 9.1 приведены тензоры, которые входят в выражения (9.54) — (9.57), а также указаны ранги изменения четностей л и порядки величин вкладов, которые дают эти тензоры. При

Ю З а к . 1193

273

Т а б л и ц а

9-1

Неприводимые

тензоры,

входящие

гамильтониан слабого-

взаимодействия

в ядрах

Тензор

Ранг

Четность

П о р я д о к

величины

Y | ( f )

Ы ) '

{kr)1

( - 1 ) '

{kr)1

( - ! ) ' + '

{krV

y < ( r V

( - ! ) ' + '

<*)<

П р и м е ч а н и е .

Некоторые

1 з

этих

т е н з о р о в

мог у т иметь

м н о ж и т е л ь

fik/(Mc), который буд<:т уменьшать

нх

вклад

в Р - р а с п а д ,

переходе

ядра из состояния со спином и четностью J*1 в состояние

со спином и четностью

J*f должны

выполняться правила отбора

A(JtJJf),

ntnnf=l,

(9.58>

где символ А обозначает, что три аргумента должны удовлетворять правилу треугольника.

Из табл. 9.1 ясно, что наиболее быстрые переходы для р-рас-

пада (в котором выполняется		условие	kR	1) будут получаться
из первых двух типов тензоров для случая / =					0. Они называются
разрешенными	переходами и	имеют	правила		отбора
A{Jt0J}),	т. е. Jt=Jf>	nt = nf	(переходы Ферми),
Д(У,1УД т. е. Jt=Jf,		Jf± 1(^=1^0),			*Ч = я ,	(9.59>
	(переходы	Гамова-Теллера).

Переходы Ферми обусловлены векторными членами в ядерном про странстве, а переходы Гамова — Теллера — аксиально векторными членами.

Члены более высокого порядка в разложении по мультиполям

дают вклад в запрещенные переходы,	в которых степень запрета
связана с порядком мультипольности.	Однократно запрещенные-

переходы имеют наименьший ранг тензора, согласующийся с из

менением четности	вида	я г =	— nf.	Поэтому в них	входят ве
личины
Угіг);	Т01(г,	а),	Тгг{І,	а), Т21 (г, <т);
- J - T 1 0 ( ? , p ) ;			- J _ y 0 ( ? ) e . p .		(9.60>
	Мс		Мс


Б процессах	fS-распада переходы, содержащие эти				члены, будут
иметь матричные		элементы, которые уменьшены		в	соответствии
с множителями kR		или vie по сравнению с матричными элементами
разрешенных	переходов.
Для n-кратно запрещенных переходове			п ^ 2	соответствующие
.данные приведены		в табл. 9.2. Кроме тех	тензоров,		которые ука

заны там, разрешены правилами отбора некоторые другие тензоры,

но

они

(например,

Yn+1

(г) в-р/Мс)

дают

лишь малые

поправки

указанным членам.

Т а б л и ц а

9.2

и-Кратно запрещенные переходы

д у = | у . - 7 / |

С о о т в е т с т в у ю щ и е тензоры

( - і ) »

Уп(г).

Tnn(v.

a).

J - r ^ f r .

р)

п + 1

( - і ) "

и м е ч а н и е .

Члены,

не указанные

з д е с ь ,

но

р а з р е ш е н н ы е

правилами

о т б о р а , р ают

малые

поп равкн к приведенным

в т а б л и ц е

членам . Д л я

о д н о к р а т н о

з а п р е щ е н ных

п е р е х о д о в

среди

д а н н ы х ,

приводимых

в т а б л и ц е , д о л ж н ы быть

переходы с Д / = 0 н я=

— 1.

Наиболее интересными в процессах (5-распада являются разре

шенные

переходы. В этом

случае для A J =

1 дают вклад

только

переходы Гамова — Геллера,

а для

J T

J F

О — только

пере

ходы Ферми. Для переходов Ферми правила отбора по изоспину имеют вид AT = 0, при этом возможность ТІ = TF — 0 исклю чается.

§ 9.4. Бета-распад

Хотя результаты предыдущего параграфа могут быть исполь зованы при рассмотрении переходов ядра, которые происходят в результате захвата мюонов, но такой путь не является особенно полезным. Дело в том, что для процесса захвата условие kR С 1 не выполняется, и поэтому некоторые из специальных упрощений, которые можно использовать для Р-распада, в данном случае от сутствуют. В настоящем параграфе мы рассмотрим те аспекты тео рии слабого взаимодействия, которые связаны с (3-распадом. Об судим только разрешенные переходы и покажем, как общие свойства •современной теории слабых взаимодействий подтверждаются в экс периментах по (3-распаду.

Начнем с рассмотрения общего случая, когда ориентированное ядро претерпевает fi-распад. В эксперименте измеряется импульс и поляризация вылетающей Р-частицы и определяется импульс •нейтрино путем измерения импульса отдачи ядра (см. например,

10*

275

рис. 9.1). Соответствующая вероятность перехода в единицу вре мени выражается «золотым правилом» теории возмущений

W — Щ- V $ | 5 < 6 | ^ ( г ) | а > ^ | 2 x

X 8(Ea—E^-Ee-Ev)

° d e d v

(2яй)°

где а и 6 обозначают

начальные

конечные

состояния

ядра,

(е,

\Ее/с)

и (v, \Ev/c

iv) — 4-импульсы

электрона

нейтрино;

Антинейтрино

суммирование

выполняется

по

спинам

нейтрино и магнитным квантовым чис

лам

конечного

состояния

ядра. В ядер

ный

матричный

элемент

мы включим

только

разрешенные

переходы,

отбра

сывая

все члены

порядка

%klMc,

р/Мс

и kR.

Тогда

из выражения

(9.53)

полу

чим

для

В~-распада

|<В]/г' (r)|a>dr

V2L3

\bi

< В | т + | а > -

/і

<6 I 0 t + I a>

(9.61)

где в дальнейшем

целью

упрощения

обозначений будем опускать изоспино-

Электрон

вый

повышающий

оператор.

Удобна

также

ввести

величины

Рис. 9.1. Бета-распад

поля

G P = G / 1 >

Я, = gylflt

(9.62)

ризованного

ядра S 0 Co

(ука

зано

направление

спинов

лептонов). Для определения

из которых

первая

является

констан

импульса

нейтрино

необ

той

слабого

взаимодействия

при

пере

ходимо наблюдать

импульс

ядра

отдачи.

данных

импульсах,

соответствующих

В-распаду, а вторая представляет собой

отношение

аксиально-векторного

векторного

формфакторов.

Тогда

Юн I 2

W —

2 (2л)5 £ 7 J \ Ф 2м4

N„N^6{Еа—£р—

Ев—Ev)dtdv,

(9.63)

где в соответствии с (9.49)

ЯцР =

Е(«е

YV О +Уъ)

«v) ( « е 7 р ( 1

7б) " v ) +

(9.64)

m v

\ — ^ < 6 | а ц

[ а > ,

ц =

2, 3,

(9.65)

i < B | l | a > ,

4-.

Чтобы рассмотреть спины лептонов, введем единичный 4-век-
тор хшц (ПУЦЇЇУЦ = 1). В системе покоя электрона	— (О, тс), и

этот вектор имеет вид аУц, = (п, 0), где п — единичный вектор вдоль спина электрона, а в общем случае Єц.г% = 0. Далее можно опреде лить соответствующий релятивистский оператор для спиновой проекции, который в системе покоя электрона переходит в обычный спиновый проекционный оператор*

-L(l-iwy5)^ _ L ( i + p f f . n ) . (9.66)

Здесь мы воспользовались соотношениями (ПБ.28). Тогда для случая измерения спина электрона в направлении вектора п в сис теме покоя электрона имеем следующую величину в лептонном про странстве:

Яи.Р = -^- 2 [(«е Тц(1 + T 5 ) " v ) ( « v ( 1 + Vs) VPP(1 — і wy6)u„)] =

2 m v m e

• S p k ( l + V 5 ) T T V ( 1 - V 5 ) YP(I —i^?5 )J 4H mc
L	2i EV	E7~
		2i 1
Sp h v O +y&)vyp(l-iwy5)(e+imc)},		(9.67)
где мы воспользовались	выражением (ГШ.43) и тем, что (1 -]-у5 )2 =
= 2 ( 1 + у 6 ) . Учитывая	(ПБ.51д) и соотношение
sP(7v'Yu,'YvYnY5)=4E?.M.vn,		(9.68)

где єдфігя— полностью антисимметричный тензор четвертого ранга, получаем

5 Ц Р = £ Х Np.ep —6^KeT )+e[ J .vp —s£6 „ V'E в ч —

V e
—mc [vllwp—8^(vxwx)+	w^v0—e^vg шп ]}.	(9.69

* В системе покоя электрона этот оператор «проектирует на» направ ления спинора, соответствующего спину электрона вдоль вектора п. Напри мер, если ось z взята параллельной п, то

Т( і ^ с г - " ) ( о ) = Т ( 1 ^ ^ ( о ) = ( о ) и І ( 1 ^ а г ) ( ! Ь ° -

Оператор (9.66)		является, очевидно, проекционным оператором,	так как
"1	~ І 2	1
- j -	(1 — шу6 )	= — (1 — іЩь)- При использовании этого	оператора

в (9.67) он оставляет вклад от членов (в системе покоя электрона) со спином вдоль п, но уничтожает состояния со спином, антипараллельным вектору п.

Таким	образом,
	BiipNVLNl^-^r{2R&[Xv			< P \| c r \| a > + v < p \| l \| a > ]			X
	X [ле- <p\|<x\|a>+(£e /c)<p\| 1 \|a>]* — ( v - e - v £ e / c )						X
X [\|^<P \|cr\| a > \| 2		- \| < 6 \|	l \| o > H - 2 I m [ < P \| l \| a > ( v x " e ) .
• (A, <P І or І а»*] — і IX I2			(ve—Ee		v/c) • <p \| a \| a> x <P \| <r \| a>* —
	—mc[[2Re[Xv-<p\|tf\|a>+v<P\|					l\|o>] x
	X [ X w . < P \| o r \| a > + ( w - e c / £ e ) < p \| l \| a > ] * —
	_ ( v . w _ v w . e C	/ £ e ) [ \| < p \| ( r \| a > \| 2 - \| < p \| l \|a> I2] —
	—21m t<p 111 a> (vxw) . (l<p \| в \					a})*]-
— і І Я\|2 [vw— (w • ec/£e ) v] • (P I a \| a> x						<p \| a \| a>*]]},		(9.70)
где учтено соотношение
		wi	=	і w • ее/Ee.				(9.71)
Для	рассмотрения	спинов		ядра	введем	матрицу	плотности

ориентированных начальных состояний. Она имеет вид [см. (4.115)]

t M t мі = dMt бмг м/	(9.72)
и нормирована условием
S p t ' = 2 a M . i = l .	(9-73)

Рассмотрим ядерные матричные элементы, используя теорему Вигнера — Эккарта:

<Р \| 11 о> =	8j. Jf 8Mi	Mf	<P II1J a> = 8j. Jf 8M. MF		MF,	(9.74)
<P I a m	I a> =	(/,	Uj\Mi	mMf) <p\|\|a\|oc>	=
= (7, l ^ l A f j / n A f ^ - ^ - A f o r ,				m = — 1 , 0,	+ 1 ,	(9.75)
			h

где MF, MOT — приведенные	матричные элементы	Ферми	и
Гамова — Теллера соответственно. Соответствующие		суммы	по
магнитным квантовым числам	ядерных состояний тогда	легко	вы-

числяются:

ам.

| < 8 | 1 | а > | 2 =

б у

\MF\

(9.76)

<61 11а>* < 6 | а | а > = 6,f Jf

( 1

/ 2

Р М І М а т ,

(9.77)

MtMf

/ ,

2 а ^ | < 6 | ( т | а > | 2 = | М е

т | 2 ,

(9.78)

2Re

а м . [ А . < р | 0 | а > В - < 6 | о г | а > * ]

( A . B - A . j B . ))\MGTf

(3A.jB- j - A - B)21aMicJiJ.(Mi)\MGT\\

(9.79)

а * , С К Р | а | а >

X <0 |(Г| а>*] = С-РЯу j\Mor\\

(9.80)

где

j * » единичный

вектор вдоль оси поляризации

ядра,

величина

P = J 2 f l « 1 ( M f / y I )

(9.81)

является

вектором

поляризации ядра

(2/, - '•1)

^ І

J І

І 9

Jf=Jh

(9.82)

{Jt + 1)

(Ji

іГ'-м*

( / j + l ) ( 2 / , ^ 3 )

( 1,

Jt=.Jt-l,

' i

^ Ji\+1

(9.83)

-Ji

Используя соотношения (9.76) — (9.80) в формулах (9.70) и (9.63), получаем следующее выражение для парциальной вероятности распада поляризованного ядра, в результате которого вылетает электрон с импульсом е и спином (в системе покоя), направленным

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3528 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ