книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия
.pdfтричный элемент преобладает над поперечным матричным элемен том для всех переданных импульсов, кроме весьма малых.
Формфакторы в выражениях (6.64) и (6.65) можно несколько мо дифицировать двумя способами. Первый из них заключается во
введении нуклонного формфактора / (/г2) из |
(6.29). При |
получении |
||
матричных элементов в (6.64) и (6.65) предполагалось, |
что заряд |
|||
в ядре сосредоточен в точке, |
соответствующей каждому |
протону. |
||
В действительности сечение |
электронного |
рассеяния уменьшается |
||
для ненулевых переданных |
импульсов |
за |
счет «размазывания» |
|
заряда протона. Это может быть учтено [190] множителем из (6.29)
/(#»)= ехр[-Ла /(4сф], |
(6.67> |
где ар = 1,74 ферми-1. Второй способ улучшения полученных результатов связан с учетом отдачи по формуле (4.30а). Появление координаты центра масс в плотностях заряда и тока при преобразо вании Фурье приводит для оболочечной модели гармонического осциллятора к поправочному множителю [328]
ехр[£2 /(4Ла2 )]. (6.68)
Множители (6.67) и (6.68) имеют тенденцию компенсировать друг друга и никогда не дают более чем 10%-ную поправку. Их можно учесть, если переопределить параметр гармонического осциллятора а и находить его из формфактора упругого рассеяния (6.58), в ко торый входят те же самые поправки. Таким образом, они уже вве дены в наши последние результаты.
При рассмотрении других видов возбуждения ядра 4 Не исполь зование спиновых функций в ¥ 3 и Чх 4 из (4.174) приводит к ситуа ции, противоположной той, которая возникает при использовании функции Конвекционный ток теперь не дает вклада в возбужде ние из основного состояния, но намагничивающий ток перехода дает неисчезающий вклад. Кулоновский матричный элемент равен нулю по той же причине. Интегрируя по частям в слагаемых, соответст вующих току намагничивания в формуле (6.62), и используя (2.956),, можно написать
Л Г р 0 ( к ; £ 1 ) = 2 ^ х
X § А ш (г,-; т) • (Гц Oj ¥„) drx dr% dr3 drt =
|
= |
-L=r (Kp |
± Kn) |
e - *v<4«\ |
(6.69) |
||
где верхний знак |
О Т Н О С И Т С Я |
К |
случаю |
6 = 3, |
а нижний — к |
слу |
|
чаю |3 = |
4. В соответствии с (4.59) множители, |
обусловленные |
маг |
||||
нитными |
моментами, равны |
Кр |
+ Кп |
= 0,88 и Kv — Кп — 4,70, |
|||
и вклад от ХУ3 меньше с вклада |
от ¥ 4 в отношении близком к фак |
тору задержки, определяемому |
правилом отбора по изоспину для |
магнитного диполя. Для Ч ; 3 вклады от протона и нейтрона фор мально складываются, но приводят к меньшему эффективному магнитному моменту из-за того, что магнитный момент нейтрона отрицателен. Возбуждения, описываемые функцией ¥ 3 , имеют пол ный изоспин Т = 0. ¥ 4 описывает состояние , в котором вклады от протонов и нейтронов противоположны по фазам, что соответствует полному изоспину Т = 1, при этом эффективный магнитный момент велик. Природа ядерных возбуждений, описываемых функцией ¥ 4 , заключается в том, что протоны со спином «вниз» и нейтроны со спином «вверх» осциллируют по отношению к протонам со спином «вверх» и нейтронам со спином «вниз». Это спин-изоспиновое воз буждение, которое во Введении иллюстрировалось на рис. В.1, б. Изоспиновое возбуждение на рис. В.1, а описывается функцией W2 и соответствует состоянию, в котором протоны и нейтроны колеб лются в противофазе. Возбуждения, соответствующие функции Ч'з, — это возбуждения, в которых нейтроны и протоны со спином «вверх» колеблются относительно нуклонов со спином «вниз». Эти возбуждения называются спиновой волной. Ясно, что оба вида возбуждений, включающие спин, т. е. ¥ 3 и 1 F4 , важны в электронном
рассеянии только при больших переданных импульсах, |
когда они |
||||||
могут конкурировать с формфакторами, соответствующими |
возбуж |
||||||
дению |
гигантского |
резонанса (6.64) и (6.65). |
Функции |
(4.174в) |
|||
и (4.174г) описывают также состояния с J71 = |
0~ |
и |
2 _ . |
2~-уровни |
|||
могут |
возбуждаться |
в электронном рассеянии |
и |
в |
случае |
Т — 1 |
|
приводят к возбуждению гигантского магнитного квадрупольного резонанса, который, вообще говоря, несколько удален по энергии от положения гигантского El-резонанса и может быть отделен от него и экспериментально.
Хотя данный анализ для 4 Не является в значительной степени упрощенным, тот же самый подход образует основу и для более реалистического рассмотрения структуры ядер в связи с фото- и электровозбуждением. Мы увидим, что те же элементы анализа входят также и при рассмотрении захвата мюонов и радиационного поглощения пионов.
**
Материал этой главы, так же как и гл. 5, содержится в обзорах Сосетти и Молинари [66,] Бишопа [36] и Де-Фореста и Валечки (94]. Статья Мак-Воя и Ван Хова [244] очень полезна при изучении темы, обсуждаемой в § 6.1 и 6.2.
ГЛАВА 7
КУЛОНОВСКОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ
До сих пор при обсуждении электромагнитных взаимодействий в ядрах мы рассматривали механизмы возбуждения с помощью фо тонов или электронов, которые могут взаимодействовать с ядром только электромагнитным способом. Мы использовали известные сведения из электромагнитной теории, чтобы описать эти механиз мы, и сравнительно редко обращались к детальным предположени ям о структуре ядра. Можно воспользоваться тем же подходом, чтобы обсудить возбуждение ядер заряженными бомбардирующими частицами (снарядами), которыми могут быть и сами ядра (например, протоны, дейтроны, а-частицы, ионы 1 С 0 и т. п.) при условии, что энергия частицы меньше высоты отталкивающего кулоновского барьера. Если это условие выполнено, то два ядра никогда не будут приближаться друг к другу достаточно близко для того, чтобы на чало действовать сильное взаимодействие. Однако ядро-мишень (или снаряд) может все-таки перейти в возбужденное состояние бла годаря кулоновским силам, которые действуют между ядрами. Такой процесс называется кулоновским возбуждением.
Кулоновское возбуждение, несомненно, очень тесно связано с неупругим рассеянием электронов, и сведения о ядре, получаемые из анализа этих механизмов, могут даже в какой-то степени перекры ваться. Ввиду большой массы снарядов, используемых в кулонов ском возбуждении, анализ этого процесса довольно прост. Он осно ван на полуклассическом приближении, которое совершенно не применимо для рассеяния электронов. Кроме того, при кулоновском возмущении уменьшаются трудности, связанные с радиационными поправками в случае неупругого рассеяния электронов. Поскольку скорость снаряда v обычно весьма мала, то магнитные переходы в кулоновском возбуждении сильно ослаблены в отношении поряд ка (о/с)2, что также упрощает рассмотрение. Наконец, использова ние тяжелых ионов в качестве снарядов с большим зарядом приво дит к очень важному свойству, которое по существу не свойственноэлектронам: вероятность возбуждения ядра становится большой, так что могут быть важны процессы второго и более высокого порядка. Многократное кулоновское возбуждение позволяет получить высо-
колежащие ядерные уровни с помощью ряда последовательных пере ходов, а соответствующие реориентационные эффекты могут быть использованы для определения статических электромагнитных мо ментов возбужденных состояний.
Вотличие от кулоновского возбуждения главное достоинство воз буждения электронами заключается в том, что не следует беспо коиться о нарушении простого электромагнитного описания про цесса рассеяния в случае проникновения через кулоновский барь ер. Даже внутри ядра электроны продолжают взаимодействовать только электромагнитным способом. Поэтому электроны могут быть использованы, чтобы возбуждать уровни ядра, лежащие при зна чительно более высокой энергии, чем уровни, доступные в кулоновском возбуждении. Электроны также могут быть использованы, чтобы передать ядру значительно больший импульс, что необходимо для изучения явлений на малых расстояниях. Поскольку электроны могут проникать внутрь ядра, они могут возбуждать электрические монопольные переходы, что невозможно в кулоновском возбужде нии.
Внастоящей главе мы дадим очерк теоретических методов, ис пользуемых при описании кулоновского возбуждения. (Многие из
них, конечно, тесно связаны с методами, используемыми для анали за электронного рассеяния.) Затем мы кратко рассмотрим те свой ства, которые возникают при использовании тяжелых ионов и яв ляются наиболее характерными для кулоновского возбуждения.
§ 7.1. Полуклассическое рассмотрение кулоновского возбуждения
Величиной, характеризующей влияние кулоновского поля ядра на изменение траектории заряженной частицы, является безразмер ное число Зоммерфельда
Ji^*_t |
( 7 Л ) |
nv |
|
где Zxe — заряд налетающей частицы, v — ее асимптотическая ско
рость, Z2e — заряд мишени. Этот параметр можно |
рассматривать |
||
как |
отношение половины |
расстояния наибольшего |
сближения а |
при |
лобовом столкновении |
[см. формулу (7.10)] к |
длине волны |
Де-Бройля частицы на бесконечности. Иными словами, он дает от
ношение |
потенциальной |
энергии в точке наибольшего сближения |
|
к энергии flv/a, связанной с эффективным временем |
прохождения |
||
области |
взаимодействия. |
Если число Зоммерфельда |
мало (т) <С 1), |
то кулоновское поле заметно не меняет волновую функцию налетаю щей частицы и можно пользоваться борновским приближением с плоскими волнами. Этот случай почти никогда не реализуется для кулоновского возбуждения. Обычно необходимо иметь достаточно сильные отталкивающие кулоновские силы, чтобы держать налетаю
щую |
частицу вне области действия ядерных сил, и, |
следовательно, |
1] ^5> |
1. При таком условии можно рассматривать |
налетающую |
частицу движущейся по классической траектории. Электромагнит ное поле, которое создает частица на этой траектории, может быть
затем |
рассмотрено как малое возмущение, возбуждающее ядро |
из его |
основного состояния. |
Чтобы математически описать в указанном приближении кулоновское возбуждение, следует сначала решить классическую зада чу Кеплера для отталкивающих кулоновских сил и затем восполь зоваться обычной квантовомеханической теорией возмущений, чтобы рассмотреть ядерные переходы. Поэтому мы начнем с рассмотрения классического гамильтониана для двух частиц, которые взаимодейст
вуют посредством кулоновских |
сил: |
|
|
|
|||
|
|
Н=~^-+ |
ZlZ*e* |
, |
|
(7.2) |
|
где р — относительный |
импульс, г — вектор |
расстояния |
между |
||||
частицами, |
М — приведенная |
масса системы. |
Введем классиче |
||||
ский угловой момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = r x p , |
|
|
(7.3) |
|
абсолютная |
величина |
которого |
1С1 является интегралом движения. |
||||
В качестве |
второго |
интеграла |
движения |
возьмем вектор |
Паули* |
||
|
|
|
A' = f |
LX £ _ |
< |
|
(7.4) |
для которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
dA' |
dr |
L x r = 0 |
|
(7.5) |
||
|
|
dt |
dt |
|
|||
|
|
Mra |
|
|
|
||
|
A' 2 |
= |
I +2MH |
|
|
. |
(7.6) |
Если ввести классический аналог числа Зоммерфельда
и перенормировать наш второй интеграл |
движения |
A = T j c i A ' , |
(7-8) |
то выражение (7.6) примет вид |
|
т]2 ,= А 2 — L 2 . |
(7.9) |
Поскольку L и А — взаимно ортогональные постоянные векторы (для данных начальных условий на траектории налетающей части цы), можно ввести систему координат такую, что величины А =
* Этот подход основан на методе Паули [266] для квантования атома водорода в матричной механике, который недавно снова получил признание в качестве примера использования динамической симметрии при рассмотрении физических систем (см. например, [21]).
= A M , L X А и L = L/L определяют оси x, у, z (рис. 7.1). Тогда
координатами траектории являются х = г-А, |
у = r - L X А и z — 0. |
Они удобно параметризуются, если ввести |
величину |
Рис. 7.1. Система координат для описания орбит Резерфорда [см. фор мулу (7.13).].
Орбита слева— д л я притягивающих кулоновскнх сил, справа — д л я отталки вающих сил.
которая является половиной расстояния наибольшего сближения для траектории, в которой вектор г везде параллелен вектору р, и эксцентриситет (рис. 7.2)
8=(l+Z? ; / 1 1 ? ( ) 1 / 2 =l/sin(V 2 e) , |
- |
(7.11) |
У
Рис. 7.2. Геометрические определения расстоя
ния |
наибольшего |
сближения |
а, параметра |
||
удара |
6, эксцентриситета е и угла рассеяния |
0. |
|||
Л ю б о й |
из последних д в у х параметров м о ж е т быть |
ис |
|||
пользован дл я характеристик орбиты |
Р е з е р ф о р д а ; они |
||||
связаны |
соотношением |
E ^ / s i n ^ o ) . |
Как и на рис. 7.1, |
||
орбита |
слева — дл я сил притяжения, |
орбита справа — |
|||
д л я |
сил отталкивания. |
|
|
||
где 0— угол отклонения, |
ср — азимутальный |
угол радиус-век |
тора. С помощью этих величин можно определить переменную W |
||
, |
COS ф — є |
. п . |
chw— |
. |
(7.12) |
1 — 8C0S ф |
• |
Тогда
х — а (ch w -f-є),
у — а } е2 — lsh w, г = а (е ch w + 1),
и время параметризуется согласно соотношению
t= — (e,shw -\-w). v
Параметр удара имеет вид
Ь lei |
Id |
/ 1 |
Ми01 |
= а —— — actg |
|
|
Лег |
|
(7.13а)
(7.136)
(7.14)
Рис. 7.3. К рассмотрению столкновения в классической механике.
Частицы с прицельными параметрами м е ж д у |
Ь и b+db |
собраны в обла |
||
сти |
с поперечным сечением п л о щ а д ь ю 2nbdb и рассеиваются в область уг |
|||
лов |
м е ж д у 0 |
и в+dd. Случай, показанный на |
рисунке, |
соответствует от |
талкивающим |
силам . |
|
|
|
Сечение Резерфорда для рассеяния на угол 0 выражается через эти величины; оно дается просто числом частиц в плоской волне с еди ничным потоком и с параметрами удара между Ъ и b + db для соот ветствующего угла отклонения (рис. 7.3):
doR = 2n\bdb\ = |
f L _ d Q . |
(7.15) |
4 s i n * ( | e )
Мы должны теперь рассмотреть, как движение налетающей ча стицы по этой классической траектории возбуждает ядро. Предпо ложим, что траектория заметно не изменяется при возбуждении. Тогда дифференциальное сечение возбуждения ядра имеет вид
da = PdaR, |
(7.16) |
где Р — вероятность того, что ядро возбуждается при столкно вении, в результате которого налетающая частица рассеивается в элемент телесного угла dQ. Эту вероятность можно выразить через
амплитуду b$a возбуждения ядра из начального состояния а в конеч ное состояние (3. Если мы не учитываем ориентации ядра, то
где величина
й р а = — |
Г < 6 | Я ' ( 0 | а > е ! ( £ |
Р - я « ) ' / й Л |
(7.176) |
і h |
J |
|
|
—оо
выражается через энергию взаимодействия Н' (t) и энергии ядерных
состояний Еа и £р. |
|
|
|
частицами |
|||
Для электрических переходов, которые вызываются |
|||||||
с малой скоростью |
а « с , энергия взаимодействия определяется |
||||||
только |
кулоновской |
энергией |
|
|
|
||
|
|
<8 | Н' |
(01 а ) = |
$ <6 | р " (г) | а> Ф (г, t) dr, |
(7.18) |
||
где |
p'v |
(г) — оператор заряда |
ядра, |
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( г , t) = -—^ |
|
|
(7.19) |
|
|
(t) — вектор положения |
| г - г р ( 0 | |
rP(t) |
к |
' |
||
и r p |
налетающей |
частицы. В |
выражении |
||||
(7.18) учтено только прямое мгновенное кулоновское взаимодейст вие [ср. с (5.106)], так как при малой скорости частиц поперечным вкладом можно пренебречь. Кроме того, в выражении (7.19) мы в яв ной форме вычли монопольное взаимодействие между центрами масс; это взаимодействие вызывает лишь отклонение частицы, кото рое мы рассматривали классически, и не дает вклада в возбуждение ядра.
Используя обычное разложение по статическим |
мультипольным |
||||
моментам, имеем |
|
|
|
|
|
<Р|Я'(0|о> = 4 я г і Є |
2 |
2 |
2 T T T r |
p ~ L |
~ l x |
|
L = l |
M=—L |
' |
|
|
X YIM (гр ) <P І &ш (e) I a>*. |
|
(7.20) |
|||
где в величину |
|
|
|
|
|
<6 I Qui (e) | a> = |
<j <8 | p (r) | a> rLYLM (r) dr |
(7.21) |
|||
входит тот же оператор, что и для испускания фотонов в формуле (4.77) для случая малых переданных импульсов. Далее из (7.176) получаем
б р « = У ^ г т <Р I Q " * (е> Ia >*S e l - |
(7 -2 2 ) |
где |
|
SEL,M = I ei^-E^tmlrp(t)rL-lYLM(rp(t))dt. |
(7.23) |
Как и в (4.81), (4.82), (4.84), можно ввести величины
B(EL; Jt^jf)=—1— |
2 К Р | ^ м ( е ) | а > | а = |
через которые выражается дифференциальное сечение возбужде ния отдельных электрических мультиполей
|
|
00 |
|
|
|
Аг в = 2 (fo£ L , |
|
(7.25) |
|
где |
|
В (EL; J t ^ Jf) |
^ |
|
4ji2Z?ea |
а2 |
- (™Q |
||
I |
j—V-ы/ S'^*''*3 |
|||
|
sin'1 — Є |
v |
M |
|
|
2 |
|
|
|
Формула (7.26) получена с использованием соотношения ортогональ
ности для коэффициентов Клебша—Гордана |
(ПА. 17) и суммирова |
||||||||||
ния по Mi при фиксированном М — Mf |
— Mt. В системе |
коорди |
|||||||||
нат (7.13а) |
полярный угол Qp = |
у |
я (см. рис. 7.1 и 7.2) и |
||||||||
і 9р |
(О _xp(t) |
+ |
iyp(t) |
= |
ch w 4- е + і V s 2 |
— I sh w |
П 27) |
||||
|
|
rP(t) |
|
|
є ch w + |
1 |
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S H |
, |
^ - V |
^ |
f i - я , О) / |
ш (8, g), |
|
(7.28) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 L . H y / . [ ( I - M ) K I + M ) 4 V ' , ц ' / . д + л р |
||||||||||
^ ( } я , 0 |
) = |
4зх |
j |
( L - M ) ! ! ( L + M)!! |
* |
|
' |
||||
|
|
|
L + M—четное |
число, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
І0, |
|
|
|
L + M—нечетное |
число, |
|
||||
Ішф,1)= |
ехр [ig(esh a;+ «/)]-* |
У |
7 |
|
|
d w |
(7-3°) |
||||
|
— c c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ( £ p - £ a ) |
|
Z l Z a e 2 |
( £ p — £ e ) |
|
(7.31) |
||||
|
|
|
Йи |
|
|
hv |
|
2Ea |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Безразмерная величина % называется параметром |
адиабатично- |
||||||||||
сти, так как произведение £е представляет |
собой |
отношение вре |
|||||||||
мени столкновения а/о к периоду ядерного возбуждения. Большие значения £ поэтому соответствуют сильно адиабатическим столк новениям.
Дифференциальное сечение для электрического мультиполя по рядка L может быть теперь записано в виде
doEL= ^Ja~2L+2B(EL; |
JJf)dfEL(B, |
£), |
(7.32) |
где |
|
|
|
d f E L ( 0 ' l ) = l ^ i 2 1 ¥ ш |
( I я ' 0 ) Г1 І ш ^ 9 Г - 7 7 |
1 - у |
(7-33) |
|
sin4 |
І-^-в |
|
Интегрируя выражение (7.32) по всем направлениям рассеяния, получаем полное сечение £Х-перехода
OEL= ( ^ - ) \ ~ 2 L + 2 B {EL; J t -> Jf) fEL (g), |
(7.34) |
где
16jt |
3 |
л |
cos |
|
l |
e |
) |
|
|
» - ( |
|
|
|||
|
Ь |
( І я, o ) 2 Г |
І Іш (Є, Юі2 |
V |
f |
|
: dB- (7.35) |
|
|
|
S l n |
' |
2 |
|
|
Функции / І М (0, t) и /гг. (?) (7.30) и (7.35) отражают многие свойства процесса кулоновского возбуждения. К сожалению, их непросто вычислять даже в нашем предельном случае классической траектории. Однако имеются довольно обширные таблицы этих функций (см. [8,9]). Указанные функции обладают одним важным свойством: при больших £ они уменьшаются экспоненциально, в частности
/ ш ( е , Е ) ~ е - Я я | .
Таким образом, вероятность возбуждения становится весьма малой для сильно адиабатических столкновений. Это свойство является общим свойством отталкивающего кулоновского поля.
На р и с 7.4 представлены функции f (!) как для электрических, так и для магнитных мультиполей. Функции / (?) для магнитных
мультиполей |
связаны |
с .сечениями формулой |
|
|
°ML |
= {jrr)2a-2L+2B(ML-> |
Ji~+Jf)fML®, |
(7.36) |
|
где величины |
В {ML; |
J t |
J}) даются выражениями |
(4.82), (4.84) |
и (4.78). Как обычно для электромагнитных явлений при низкой энергии, следовало бы ожидать преобладания электрических дипольных переходов. Однако мы уже видели в гл.: 4, что сила £1-пе рехода сконцентрирована в фотоядерном гигантском резонансе при энергии в районе 15 Мае, которая не достигается в кулоновском возбуждении. При энергиях, которые можно получить в этом про-