книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия
.pdfОбычно в эксперименте не производится анализ ориентации ядра после рассеяния фотона. Поэтому можно ограничиться лишь слу чаем
llifM\ = б д у ^ И Л И fpF' = (21 f + 1 ) 6>0 О > 0 -
С учетом матриц плотности фотона и ядра в начальном и конеч ном состояниях сечение (4.107) для случая поляризованных фотонов или ориентированных ядер принимает вид
(4.118)
Чтобы эффективно использовать формулу (4.108) при анализе гео
метрического |
фактора |
этого |
сечения, разложим |
динамическую |
|||||
компоненту |
К)'І'" |
на |
неприводимые части, являющиеся |
обобщен |
|||||
ными |
поляризуемостями: |
|
|
|
|
|
|||
|
< Л ^ « ' | 0 |
= |
2 2 |
( - 1 ) L ' |
(LL'j\MM'm)x |
|
|||
|
|
|
|
|
у ММ' |
|
|
|
|
\,M^{k'-L'M')Mya(k;LM) |
|
|
у Jl^(k;LM),Mya(k';L' |
• |
М') |
||||
XI |
|
|
|
|
|
-| |
- |
- |
|
1 |
£ а + й(в — ^Еу~ |
— \т) |
Ea~nm' |
— |
^Ey—~iTj |
||||
|
|
- |
V36L, |
8L м 6,-0 б а Р б ш ш . ^ |
. |
|
(4.119) |
||
Обобщенные поляризуемости представляют собой матричные эле менты неприводимых тензоров ранга у. Они содержат всю динамиче скую информацию о рассеянии фотонов, и матричный элемент пере хода выражается через них следующим образом:
|
yjlLL' i\MM'mKf\P^'\0 |
X |
LML'M' |
і |
|
XDLMX(R)D%,_X.(R'). |
(4.120) |
|
Поскольку Р)п являются неприводимыми тензорами, можно применить теорему Вигнера—Эккарта и ввести приведенные обоб щенные поляризуемости, которые не содержат зависимости от маг нитных квантовых чисел:
</, Mf І Р\ї I / , M , > = ( / t jlt I Mt mMf) </, \Р?' I /,>. |
(4.121) |
Приведенный матричный элемент имеет вид
где промежуточное состояние ядра у характеризуется спином 1п. В приведенных обобщенных поляризуемостях можно далее выде лить различные вклады чисто электрических, чисто магнитных и сме
шанных поляризуемостей. |
Они |
возникают |
от |
соответствующего |
||||||
разделения |
величин Л,уа(к; |
LM) |
в формуле |
(4.101). Мы можем |
||||||
написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<hIIPiL' |
II /*> = |
Pi (EL, EL') + |
U ' Р3 |
(ML, ML') |
+ |
|||||
|
+ |
Щ (ML, EL') + X' Pj (EL, |
ML'). |
(4.123) |
||||||
Для чисто |
электрической |
и чисто магнитной |
поляризуемостей |
|||||||
Pj (EL, EL') |
и Pj (ML, |
ML') четность меняется по закону (— \ ) L + L ' , |
||||||||
а для смешанных поляризуемостей Pj (ML, EL') |
и Pj (EL, ML') — |
|||||||||
по закону ( — l ) L + L ' + l . |
Поэтому |
чистые и смешанные |
поляризуе |
|||||||
мости одного и того же типа (L, L') не интерферируют. |
|
|||||||||
Подставляя (4.121) в (4.120), окончательно получаем для матрич |
||||||||||
ного элемента, который входит в формулу (4.118), |
|
|||||||||
K^=(-lf |
|
2 |
%XLL' j\MM' |
т)(1г] |
|
If\MimMf)X |
||||
|
X <If\\PiL'\\Ii)Dta(R)D^,_k. |
|
|
(R'), |
((4.124) |
|||||
где теперь вся динамика ядерной структуры содержится в приве денных обобщенных поляризуемостях (4.122). В формуле (4.124) явно выделены геометрические факторы, в то время как выражение (4.118) содержит суммы по магнитным квантовым числам подсостояний системы. Используя эти два выражения, формулы (4.113) и (4.117), ряды Клебша —Гордана для матриц вращения и обычную технику пересвязки из Приложения А, получаем
X < / / | | P ^ ' | | / i > * |
2 |
(-lfroofb' |
Ъ\^%Ъ\,^, |
x |
OFF'^k'ix'W
X 2 (— 1 У + Е / / ' |
JGF2X°~J}(lll\ |
— Ац.ц — %)х |
||
JeJ'e'X |
|
|
|
|
X (1W І—ц'Л'Я,' — ( L / C / |
І X—ul—u.) (i.'/CV I — А , » ' — Г ) X |
|||
|
[/ |
/' * i г/ |
у |
; |
X(XFG\F'—F'0)(XJJ'\—F'e-e')\li |
I t G\JL |
К . |
||
X Я (Л, G) g- (/„ f ) £ > і л - ^ (Я) О-е-ц'-я- (/?')• |
(4-125) |
|||
Способ, с помощью которого можно проанализировать экспери ментальные данные для извлечения приведенных обобщенных поляризуемостей, содержащих сведения о динамике ядра, подробно обсуждается в работах [13, 15]. Общее выражение (4.125) для сече ния рассеяния фотонов там конкретизируется для случаев отсутствия ориентации ядра или поляризации излучения*. Мы приведем здесь в качестве примера результат для самого простого возможного случая, когда не определены ни поляризация фотонов, ни ориента ция ядра. Тогда для матриц плотности фотонов имеем из (4.111)
и(4.114)
|
а = |
1 |
0 |
а = |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
||
|
|
|
||||
и из (4.113) |
|
— 1 |
|
|
|
|
Ооо = |
|
|
|
<*20 = • |
||
|
|
|
|
|
||
|
у з ' 0 2 О ~ У 6 ' " и и ~ у з ' ^ и _ " У6 |
|||||
Для неориентированных ядер формулы (4.117) дают
/Ьо=бсО, fFF- = (2/f + l) б/го 6>о).
Подставляя эти результаты в формулу (4.125), получаем
(4.126)
(4.127)
(4.128)
|
-|г = ^ - # - ^ |
< / , ] ^ « > < ' / 1 ^ * ' 1 Л > * х |
||||||
|
dQ |
2fe |
І і |
LL'KK'i |
|
I 1 — 10) (U K' J I 1 —10) X |
||
|
|
X S ( — l ) f + L + / (LKJ |
||||||
x |
[ l + |
( - l ) / |
< + L + |
y ] [1 + |
( - |
\)L'+!<'+J |
W(LKL'K'; |
Jj)Pj(cosв)], |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.129) |
где |
использованы |
соотношения |
|
|
||||
|
|
2 |
( - |
l ) E D i e 0 |
(Я) £>so (/?') = |
PJ (cos 0), |
(4.130) |
|
- ^ [ ( П 0 | - П О ) + ^=(1121 - П О ) = — ( 4 - 1 3 1 )
(8 — угол рассеяния).
* О результатах предсказаний ядерных моделей, относящихся к рассея нию или поглощению фотонов, см. гл. 10 и 11 в т. I .
Как видно из формулы (4.129), в отсутствие ориентации ядра не имеется интерференционных членов для поляризуемостей с раз ными переданными угловыми моментами / и у". Таким образом, чтобы получить информацию об относительных фазах поляризуе мостей с разными у, необходимо проводить эксперименты по рассея нию фотонов на ориентированных ядрах [14].
Наконец, можно далее рассмотреть случай мультипольных пере ходов, в которых угловой момент меняется на единицу, т. е. L=U =
= К = |
К' |
= |
1. |
Тогда |
формула |
(4.129) принимает вид |
|
||
^ |
^ |
г |
у |
г |
2 |
|
< / > « P } V i > < ' / H ' | / * > * l f c ( 6 ) , |
(4.132а) |
|
ail |
|
k |
11 |
/ = о,і,2 |
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
go(0)=4-(1 +c o s 2 Q )' |
еіФ)=^^+^&), |
|
|||||
|
|
|
|
|
6 |
(Є) = і ( 1 3 |
12 |
(4.132а) |
|
|
|
|
|
|
£2 |
+ соз2 Є). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ou |
|
|
Этот результат справедлив для чистого El- или чистого Ml-рас сеяния, а также для случая, когда смешиваются лишь £ 1 - и М1-муль- типоли. Он показывает, что для скалярного рассеяния (у = 0) полу чается типичное дипольное угловое распределение, тогда как тен зорное рассеяние (у = 2) почти изотропно. Поэтому эти члены мож но разделить, используя только угловое распределение, если
• вклад скалярного рассеяния не является подавляющим. В послед нем случае может быть эффективно использовано поляризованное излучение [16].
§4.6. Фотоядерный гигантский резонанс
иправила сумм
При возбуждении ядер фотонами главным свойством сечения поглощения является фотоядерный гигантский резонанс. Этот резонанс проявляется во всех ядрах. В средних и тяжелых ядрах его энергия заключена в интервале между 13 и 18 Мэв, в то время как в более легких ядрах он наблюдается в области 20 Мэв. Его полная ширина колеблется от 3 до 10 Мэв. Гигантский резонанс образуется в основном в результате поглощения электрической дипольной компоненты поля налетающего фотона.
Распространенность фотоядерного гигантского резонанса и его преобладание в реакциях, вызванных фотонами, свидетельствуют о том, что систематическое изучение его свойств по всей периодиче ской таблице может дать много информации о структуре ядра. Это действительно так, хотя детальный анализ мы здесь проводить не будем, а обсудим лишь те аспекты явления, которые не зависят от тонких деталей ядерной структуры.
Тот факт, что |
фотопоглощение обусловлено главным образом |
El-мультиполем, |
не кажется, конечно, удивительным в свете заме |
чаний в конце § 4.4. Это неизбежное свойство реакций с фотона |
|
ми, и объясняется |
оно тем, что участвующий в процессе фотон имеет |
достаточно низкую энергию, так что его длина волны намного боль ше ядерных размеров. Однако тот факт, что резонансы должны по являться между 13 и 20 Мэв, систематически изменяясь с числом нуклонов, действительно имеет отношение к вопросам структуры ядра. Его можно довольно легко понять [169] с помощью представ лений о гигантском резонансе как о колебаниях протонов ядра относительно нейтронов. Переменное электрическое поле налетаю щего фотона заставляет протоны колебаться, в то время как ней троны, чтобы сохранить положение центра масс, движутся в проти
воположном направлении, т. е. протоны |
и нейтроны колеблются |
|
в противофазе и, |
как обсуждалось в § 4.2, |
приобретают эффектив |
ные заряды (4" е ) |
и ( — f е ) соответственно. Поскольку в процессе |
|
этих колебаний происходит частичное разделение всех протонов по отношению ко всем нейтронам, они появляются при намного боль шей энергии, чем колебания поверхности ядра, которые затраги вают лишь несколько нуклонов на поверхности. Такому обсужде нию можно придать количественную основу, используя коллектив ные модели или оболочечную модель. При этом можно весьма успеш но рассмотреть систематику по числу нуклонов ширины гигантского резонанса в различных ядрах и свойства соответствующих колебаний в конкретных ядерных реакциях*.
Один из важных вопросов, которые должны возникнуть в по пытках описать гигантский резонанс, заключается в том, имеется ли что-либо очень характерное в концентрации силы электрических дипольных переходов в резонансе. Эксперимент показывает, что ответ на этот вопрос является утвердительным и что гигантский резонанас обычно имеет тенденцию исчерпывать все El -переходы, которые может иметь ядро. Данное утверждение делает разумным предположение, что имеется верхняя граница дипольной силы, ко торую может иметь ядро. Более того, оно предполагает, что этот предел достаточно надежно известен. Подобные утверждения можно выдвинуть потому, что удается установить в значительной степени не зависящим от модели способом правила сумм для фотовозбужде ния. Они доказывают, что проинтегрированное по энергии сече ние фотопоглощения должно быть равно определенной величине, которая зависит от изучаемого ядра. Мы обсудим здесь два хорошо известных правила сумм — правило сумм Томаса—Райха—Куна (ТРК) для силы электрических дипольных переходов и правило сумм Гелл-Манна, Гольдбергера и Тирринга (ГГТ) для суммы вкла дов всех мультиполей, проинтегрированной до порога рождения мезонов (— 135 Мэв).
* См. гл. 10 и 11 в т. I.
Начнем с обсуждения правила сумм ТРКЭто правило наибо лее легко формулируется с помощью дипольных сил осциллятора для перехода из основного состояния ядра а в возбужденное со стояние р. Для одного нуклона эта сила определяется следующим образом:
Ы= |
2М (Ел—Е„) |
| р , |
12 |
(4.133) |
£ |
| j ( B | p ( r ) j « ) z d r | . |
|||
Используя формулу (4.8), теорему Зигерта и теорему Вигнера — Эккарта, сечение поглощения для неполяризованных фотонов можно записать в виде
j odE,= ^ ^ - ^ | J < P | p l a > a f r 2 = 4 t h a > ( 4 Л 3 4 )
line
где интегрирование проводится по ширине уровня р, который, как предполагается, значительно уже Е$. Плотность заряда для одного нуклона в формуле (4.133) равна эффективному заряду этого ну клона, умноженному на соответствующую нуклонную плотность. Следовательно,
/ р « = - ^ - ( £ р - £ а ) К Р и | а > | а = |
|
|
= ? ^ { < а | 2 | Р > ( £ & - Л а ) < Р | 2 | а > } = |
|
|
= Н г Ч < а I z | Р Х Р | [К, z] j а > - < а 1 [Я, г] | р> <р | г | а » , |
(4.135) |
|
где Н—ядерный гамильтониан, |
т. е. |
|
Я | а > = £ | а \ |
< р | Я = < Р | £ р . |
(4.136) |
Суммируя в (4.135) по всем конечным состояниям р и пользуясь свойством полноты этих состояний, получаем
2 / з а = ^ < « | [ г , [ Я , г ] ] 1 « > . |
(4-137) |
Предположим, что гамильтониан для системы А нуклонов может быть разделен на части, соответствующие кинетической и потен циальной энергиям:
« - Ї 4 + 2 Уи- |
(4-138) |
« ' = 1 |
/ < / |
Тогда легко вычислить двойной коммутатор для кинетической части,
если воспользоваться соотношением |
[pz, |
z] = —\1ь\ |
|
|
[г, [Я, z]) = ™ + 2 |
[z, |
[Vu,z]], |
(4.139) |
|
или |
|
|
|
|
і fPet = |
ЄЇП |
(1 + t>), |
(4. 140) |
|
где |
|
|
|
|
w = -^-<a| |
2[2,[^i,2]]|a>. |
(4.141) |
||
Таким образом, для одного нуклона сечение поглощения, проинте грированное по всем £1-переходам, имеет вид
2 л 2 h |
(4.142) |
|
Мс |
||
|
Если просуммировать все вклады Z протонов и N нейтронов, пользуясь при этом эффективными зарядами (4.46), то в результате получим
|
Z+;V |
Р |
|
2 л " е 2 * — (1 + 2 0 = 60 — |
(1 + Г ) (Мэв-мбарн), (4.143) |
где |
Z+N |
i. |
2>*
/ = Z + 1
Правило сумм (4.143) первоначально было получено для атом ных систем, для которых в потенциальную энергию не входят обмен ные или зависящие от скорости силы. Для таких потенциалов z ком мутирует с Va и V = 0. В этом случае формула (4.143) дает со вершенно строгий, не зависящий от модели результат. Однако для ядра обменные силы дают важный вклад, который необходимо оценить, чтобы пользоваться правилом сумм с достаточной степе нью надежности. Если природа обменных сил такова, что протоны и нейтроны стремятся сблизиться, то энергия, необходимая для возбуждения колебаний протонов относительно нейтронов в ги
гантском |
резонансе, будет больше и правая часть |
формул (4.134) |
и (4.143) |
увеличится. Это соответствует случаю |
притягивающих |
сил Гейзенберга и Майорана. Например, |
для сил |
Майорана* |
||||||||
Vtj = V (>'ij) Рм, и формула |
(4.141) |
для г-го нуклона |
имеет вид |
|||||||
v = |
- А «х | [2zt |
V (ги) |
F* zt-z\ |
V (г„) Рм - |
V(ra)P« z)] | а> = |
|||||
|
= 4 |
<« I [2zt |
г,-гї~zf] |
|
V (ra) |
Р™ | а> = |
|
|||
|
= |
~ |
<а I |
fe-z,)21/ |
|
(г„) /™ | а>. |
(4.145) |
|||
|
|
IIі |
|
|
|
|
|
|
(V (гц) < |
0) v и |
Поэтому |
для притягивающих |
сил |
Майорана |
|||||||
положительны. Численные |
значения |
v |
были |
оценены |
с помощью |
|||||
различных моделей |
(см. [228; 230, |
гл. |
3]). Эти оценки |
свидетель |
||||||
ствуют о том, что для типичных примесей обменных сил значе ния Vу заключены между 0,4 и 0,5.
Прежде чем сравнивать результаты, полученные с помощью пра вил сумм ТРК, с данными эксперимента и оценивать область их применимости, обсудим правило сумм Гелл-Манна, Гольдбергера и Тирринга для интегрального сечения фотопоглощения. Правило сумм ГГТ может быть получено несколько более строгим путем, чем правило сумм ТРК. Во-первых, в нем нет ограничений, связан ных с учетом лишь £1-мультиполей и с использованием теоремы Зигерта, которая должна обязательно нарушаться для высоколежащих уровней, входящих в сумму по конечным состояниям в формуле (4.143). Во-вторых, оно может быть получено только с помощью принципа причинности без применения теории возмущений [166, 79]. Гипотеза причинности позволяет записать для полного сече
ния |
фотопоглощения |
0 (со') с частотой |
со' хорошо известное |
[210, |
|||||
211, |
173] дисперсионное соотношение |
Крамерса—Кронига, |
т. е. |
||||||
соотношение между |
реальной |
частью |
f (со) амплитуды |
рассеяния |
|||||
вперед |
фотонов с частотою со и полным сечением |
фотопоглощения: |
|||||||
|
|
|
|
|
сс |
|
|
|
|
|
|
Re/(со) — Re/(0) = — Р |
Г ° ( с й ' } |
d(o', |
|
(4.146) |
|||
|
|
' к ' |
1 w |
2лЧ |
,) со'2 — ш2 |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
где |
Р |
означает интегрирование |
в смысле главного значения. |
|
|||||
Можно привести следующее нестрогое доказательство исполь зования принципа причинности при получении формулы (4.146). Рассмотрим амплитуду рассеяния вперед /(со) действительной волны. Эта амплитуда может быть записана как фурье-преобразование от
действительной |
зависящей от времени амплитуды g (t): |
|
|
со |
|
|
/(со)= J g(t)eiatdt. |
(4.147) |
* Оператор Майорана меняет местами пространственные |
координаты |
|
двухчастичных функций, на которые он действует: |
|
|
РМ 'Ф (гі. |
Го, ^ - - ^ ( Г о . £і! тх, £2 ). где ^ и £2 —спиновые |
координата. |
Предположим теперь, что в рассеянии участвует очень узкий волно вой пакет, который достигает области взаимодействия в момент
времени t = |
0. |
Тогда весь процесс рассеяния совершается при |
||
t > 0, чтак |
что |
g(t) — 0 для / < |
0, и мы можем |
записать |
|
|
/ » = |
\gif)^dt. |
(4.148) |
Выделяя в амплитуде рассеяния вперед действительную и мнимую
части, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ref(co) |
= |
^ g(t) cos cot dt, |
|
(4.149a) |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Im / (со) = |
^ g (t) sin cot dt. |
|
(4.1496) |
||||
Отсюда |
следует, что |
|
|
о |
|
|
|
|
R e / ( — и ) = Яе/(ш), |
|
(4.150a) |
||||||
|
|
|
||||||
и |
Im / (—со) = |
—Im / (со). |
|
(4.1506) |
||||
|
|
|||||||
Введем |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos tot = — |
со |
, |
, |
sin ы't |
j ^ |
n |
(4.151) |
|
P Г |
Й0) |
: |
ДЛЯ / > |
0, |
|||
|
It |
J |
|
|
CO —CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
которое легко получается с помощью теории вычетов. Тогда из формулы (4.149а) имеем
Ref(<o)=]dtg(t)±P |
J dco, sin со't |
(4.152) |
|
CO —со |
|
Если / (со) — достаточно хорошая функция, то можно изменить порядок интегрирования и воспользоваться формулой (4.1496), в ре зультате чего получится
|
со |
|
|
Re/(co) = _ L p |
Г |
cJco' I m ^ ( M ' ) . |
(4.153) |
п |
J |
со'—со |
|
Область интегрирования, содержащая нефизические отрицательные частоты, может быть исключена с помощью (4.1506), так как
л |
J |
со'—со |
0 |
—со'—ш |
|
.0 |
|
о |
|
|
п |
J |
со'2—со2 |
(4.154) |
|
|
Сходимость интеграла для больших частот можно улучшить вычи танием соотношения (4.154) при со = 0, т. е.
Ref(co) —Re/(0) = — P C dco'Im/(co')
|
71 |
J |
|
|
|
|
о |
lm f (со') |
|
|
|
|
(4.155) |
|
|
71 |
|
>'(со'2 -Ш 2) |
|
|
о |
|
||
|
|
|
|
|
Наконец, воспользуемся оптической теоремой [302] |
|
|||
0 (со) = |
k |
Im / (со) = — Im / (со), |
(4.156) |
|
|
|
ш |
|
|
которая связывает полное сечение о (со) с мнимой частью амплитуды рассеяния вперед и которая может быть доказана с использованием только свойства унитарности матрицы рассеяния. Подстановка
формулы (4.156) в (4.155) дает дисперсионное соотношение |
Крамер- |
|||
са—Кронига |
(4.146). |
|
|
|
Формулой |
(4.146) мы будем |
пользоваться |
для трех |
случаев: |
а) для рассеяния фотона на ядерной системе |
из А нуклонов (для |
|||
обозначения |
используется индекс |
А), б) для рассеяния фотона на |
||
одном протоне (индекс р), в) для рассеяния фотона на одном нейтро не (индекс п). Рассмотрим комбинацию этих трех амплитуд в виде
|
Re [fл (a>)-Zfp |
(<*)-Nfn |
(со) - ( / л (0)~Zfp |
(0)-Nfn |
(0))] = |
||||||||
|
|
со' |
|
|
|
[ал (io')-Zap |
(со') - No n |
(со')] dee'. (4.157) |
|||||
|
|
2л2 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
нулевой частоте (см. § 4.5) амплитуда |
рассеяния дается томсо- |
|||||||||||
новским |
выражением. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ы 0 ) = - Н££>! |
f |
( 0 ) = ^ z £ l |
/ п ( 0 ) = 0 . |
(4.158) |
|||||||
Далее, |
сечение поглощения |
на одном нуклоне |
равно нулю при |
||||||||||
энергиях ниже |
энергии |
|
порога |
рождения |
пиона, |
т. е. |
|
||||||
|
|
|
|
ар (со)=-ап (со)=0, |
со < |
р,с2/Гг, |
|
(4.159) |
|||||
где |
[л — масса |
пиона. Подставим (4.158) и (4.159) |
в (4.157) и рас |
||||||||||
смотрим |
случай со-э-оо. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Re |
[/л |
( o o ) - Z f p (оо)-Nfn |
( о о ) ] - Л 1 |
+ |
|
||||||
|
|
l- |
|
j" [ал (fo')—Zop (a>')-Non (со')]dco'= |
- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
no/ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 я 2 с |
j" |
aA(fn')cb', |
|
|
|
(4-160) |
|