книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия
.pdfядерной структуры, но не приводит к изменению характерных черт механизма возбуждения. Иными словами, его введение дает поправки к ядерным волновым функциям в матричном элементе перехода, но не поправки к оператору перехода. Эти эффективные за ряды полуфеноменологическим путем учитывают поляризуемость остова ядра. Их введение связано с тем фактом, что частица, движу щаяся вне остова ядра и претерпевающая при этом электромагнитный
переход, поляризует остов с помощью |
нуклон-нуклонных |
сил. |
При изменении состояния частицы может |
измениться степень |
по |
ляризуемости остова, что приведет к эффективному движению заря да, отличающемуся от того, которое имел бы невзаимодействующий нуклон вне остова. Эти эффекты могут быть учтены с помощью чле нов более высокого порядка в расчетах в рамках ядерных моделей, но они обычно весьма громоздки и поэтому не могут быть рассмотре ны достаточно надежно.
Вернемся теперь к доказательству формулы (4.39). Свойства неприводимых тензоров при пространственных перемещениях об суждались многими авторами [60, 289, 81]. Все они дают доказа тельства формул, подобных (4.39). Простой подход заключается в использовании обычного разложения плоской волны. Напишем
|
е н а - ь ) . г |
= 4 л 2 |
и |
( | а |
_ ь |
|г ) Y i i i |
( а С ь ) у^(?) |
= |
|
|
= еі а т |
_—ib-г = (4я)а 2 |
S |
iL'-LJL-{ar)jL(br)x |
|||||
|
|
|
|
|
LM |
L'M' |
|
|
|
|
X YL-M' |
(a) YUA |
(Ь) Yl-M- |
(?) УІм (?) = |
|
||||
= |
(4я)»2 |
2 |
2 |
' ( 2 L ^ l ) (2L' - M) 1 / 2 |
(L'LX |
I 000) X |
|||
|
L M |
L ' M ' gjt |
І |
4я (25?+1) |
|
|
|||
|
ш имSSM I |
|
|
|
|
|
|||
X [L'LX |
I M'MJl) |
\L'~L |
j L , |
(ar) j L (br) YVw |
(a) YLM |
(6) Y*SM (?). (4.47) |
|||
где мы воспользовались формулой (ПА.26а). Рассматривая случай малых г, когда приближение (2.98) справедливо для всех функций Бесселя в (4.47), и пользуясь ортогональностью функций Y ( г ) , •получаем
ji | a - b | V У,„(а— Ь) = 4 я У |
У |
(2L + 1)(2L4M) |
X |
|
(2Z*1)11 |
|
fif&. |
4я(2/ф1) |
1/2 |
/ М |
|
|||
|
|
|
|
|
X(L'LL | ООО) (L'Ll | M'Mv) iL'~L |
a L |
• Y L - W (а)Кш(Ь).
4 1 4 1 ' ( 2 L + l ) ! ! ( 2 L ' ^ l ) l ! w w
(4.48)
Левая часть содержит члены порядка г' и члены более высокого порядка, которые подавляются. Правая часть содержит члены, включающие разные степени г, начиная с г1, так как правило тре-
•угольника |
в коэффициентах Клебша—Гордана требует, чтобы |
1 ^ L + И. |
Коэффициенты при г1 должны быть одинаковы в обеих |
частях этого равенства. Поэтому, учитывая главные члены, получаем
для L ' = |
I — L |
|
|
|
|
|
|
^ ( a - b ) = V 4 n 2 ( - l ) L |
|
(2/4-1)11 |
•(2I+1)(2/—2L + 1) 1/2 |
||||
( ^ L + 1 ) ! ! ( 2 ^ 2 L + 1 ) ! ] |
2/4-1 |
X |
|||||
|
LM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (l-LLl |
I ООО) (l-LLl |
I р—ММ^&ш |
(b) |
|
(a), (4.49) |
||
Используя далее соотношения |
[288, |
стр. 47] |
|
|
|||
|
( / — Ш | 0 0 0 ) = |
?/! |
(2/—2L)1(2L)1 |
1/2 |
(4.50) |
||
|
|
|
(21)1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2/41)11/1 |
_ ± т |
л _ . |
т і , 2 |
|
(4.51) |
|
|
[(2/41)1]1 / 2 |
2' |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
лолучаем формулу (4.39)
§ 4,3. Правила отбора по изоспину
Электрический дипольный оператор возбуждения внутренних степеней свободы ядра выражается через эффективные заряды с по мощью формулы (4.35). Он может быть получен в виде, который бо лее отчетливо выражает некоторые из его свойств симметрии, если ввести протонный и нейтронный проекционные операторы в изоспиновом пространстве. Для этого определим протон как состояние
•со |
спином «вверх», а нейтрон — как |
состояние со |
спином «вниз» |
в |
пространстве состояний со спином |
1/2, которое и |
является изо- |
спиновым пространством. Третья изоспиновая матрица Паули при
действии на протонное или нейтронное состояние | р) |
или J п> тогда |
|||
дает |
|
|
|
|
|
т3 ІР> = ІР>, *з1">= — |л>- |
(4-52) |
||
Проекционный оператор для протонов имеет вид |
|
|||
|
Р + = | ( 1 + т 3 ) |
(4.53а) |
||
и удовлетворяет |
соотношениям |
|
||
|
Р + | р > |
= |
|р>, Р+ |/г> = 0. |
(4.536) |
Аналогично для |
нейтронов |
|
|
|
|
Р_ |
= |
± ( 1 - г 3 ) , |
(4.53в) |
|
Р_|р> = 0, Р _ | п > Н п > . |
(4.53г) |
||
Формула (4.35) может быть переписана через эти величины следую щим образом:
А |
eN_ / 1+Xs_\ |
eZ |
і 1— т3 |
|
|
|||||
D ' = 2 |
Г; |
= |
||||||||
A |
[ |
2 |
)i |
A |
[ |
2 |
||||
1=1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 1 1 |
^ І |
г |
г + і |
- І ( |
" |
3 ) г . |
|
(4.54) |
||
Для ядер с одинаковым числом протонов и нейтронов она принимает простой вид
D ' = T 2 ( r T 3 b |
(4.55) |
т. е. эффективные заряды для протонов и нейтронов равны у е и
1
Если теперь рассмотреть электрический дипольный переход меж ду двумя состояниями ядра а и р , волновые функции которых ха рактеризуются хорошими изоспиновыми квантовыми числами Tt и Tf, то соответствующий матричный элемент (4.28) будет пропор ционален величине
| е < Р Г / | 2 ( г т з Ь | « ^ > . |
(4-56) |
В изоспиновом пространстве дипольный оператор является третьей компонентой вектора. Поэтому, согласно теореме Вигнера—Эккарта (ПА.54), имеем
i-e (Tt 1Т,\МЮМ}) <(P7V|| 2(")>||«TY>- |
(4 -5 7 > |
Правило треугольника для коэффициента Клебша—Гордана требу ет, чтобы Tf = ТІ — І, ТІ или ТІ + 1. Однако поскольку мы огра ничили наше рассмотрение ядрами с N = Z, то проекции квантовых чисел изоспина ядра равны
A f ] = A f I = y |
(Z — N) = 0. |
|
Поэтому выражение (4.57) содержит коэффициенты |
Клебша—Гор |
|
дана, для которых ТІ + Tf + 1 |
четно, т. е. Tf = |
Ті ± 1. Таким |
образом, правило отбора по изоспину [337, 278, 223, 156, 353, 256,. 257] для .El-переходов в ядрах с N = Z требует, чтобы изоспин изменялся на единицу.
В действительности это правило отбора по изоспину частично' нарушается по нескольким причинам. Поскольку оно основано на теореме Зигерта, небольшое отклонение от него может быть обус ловлено членами более высокого порядка по kR. Кроме того, ме-
зонные вклады, которые могут привести к' ситуации, когда не все заряды локализуются на нуклонах, будут нарушать формулу (4.25), а также изоспиновое правило отбора. Наконец, кулоновские силы •и нейтрон-протонная разность масс нарушают эквивалентность протонов и нейтронов в ядрах и приводят к смешиванию по изо спину различных состояний ядра. «Запрещенные по изоспину» переходы могут иметь место из-за этих нарушений, так что рассма-
Рис. 4.1. Распределение силы £1-переходов в единицах Вайскопфа для ядер с А ^40.
Н е з а ш т р и х о в а н н ая гистограмма показывает переходы, разрешенные правилом отбора по изоспину, заштрихованная — переходы, запре щенные этим правилом [319].
триваемый переход может быть заторможен, а не полностью запре щен. Некоторые типичные экспериментальные случаи показаны на рис. 4.1, из которого можно видеть, что фактор задержки составляет около Ю - 1 .
Для электрических переходов более высокого порядка эффек тивные заряды (4.46) не приводят к правилам отбора по изоспину. В то же время, поскольку магнитные переходы чувствительны к рас пределению тока и, следовательно, к мезонным эффектам, не сле дует также надеяться на какое-либо простое правило отбора по изоспину для УШ-переходов. Некоторое исключение составляют результаты для М\-переходов [255, 257], если постулировать опре-
деленную форму для ядерного тока, которая не учитывает вклад мезонов кроме их возможного влияния на свойства отдельных ну клонов. С этой целью возьмем ток, который состоит из обычной кон векционной части и части, обусловленной намагниченностью, в ко торую входят измеренные магнитные моменты протона или нейтро на:
+ ^ / C , V , x [ Y 5 « T , T e ] ) 6 ( r - r , ) d r 1 d r a . . . d r i l . |
(4.58) |
Волновые функции ядра Чга и чРр являются здесь функциями коор динат г ь г2 , ТА И зависят от квантовых чисел спина и изоспина ядра. Операторы V J и Gi относятся к /-му нуклону, е;- равно е для протонов и нулю для нейтронов и величины
Kj = Kp |
= 2,79 для протонов, |
1 |
д ^ |
Kj=Kn |
= —1,91 для нейтронов J |
|
|
являются соответствующими эмпирическими значениями магнит ных моментов для нуклонов. Масса нуклона обозначается М.
Согласно (4.17), матричный элемент ЛП-перехода имеет вид
Мрц (кр/, М1) = ixi VTn 2 j Щ. [П V / F a - ( V , - Щ) ¥а] |
+ |
+ ^/C J V J X[ ¥ |or J - 1 F Q ]} - A 1 | i (r J . ; га) dv1 dr2... drA. |
(4.60) |
Проинтегрируем по частям второе слагаемое подынтегрального выражения (в которое входит распределение тока намагничива ния), перенося действие оператора rot на Л41-потенциал. Тогда,, учитывая уравнение (2.95а)
У;ХЛ1 ( 1 (г7 -; nt) = |
H1 ( i (iy, m) = £ 1 1 1 ( r i ; е) = \k\lVb{r}\ |
е), |
(4.61) |
получаем из (3.80) и |
(3.98) для случая kR -С 1 |
|
|
V , x A , | t ( r J ; m ) ^ i i A l / | T 1 o : ^ ( r / ) = i * l / ( 4 - 6 2 )
Рассмотрим первое слагаемое, которое содержит распределение конвекционного тока. Воспользуемся выражением (2.84а) для / = 1:
Аід(г/, m ) = y | L j / 1 ( A o ) K , ( l ( f y ) = — ^ - г ; х А і й ( о ; 1 ) ^
, Г < Г У І г ^ Т і 0 - Л ) = - ? І ї г ^ ^ |
( 4 - 6 3 > |
Подставляя это в формулу (4.60), интегрируя результат по частям и учитывая, что магнитный потенциал поперечен, получаем для кон векционной части
2 1 fi£ l ^ W ^ - X l , } dr1dr2...drA. |
(4.64) |
Переставим местами множители в смешанном произведении, доба вим из (4.62) часть, соответствующую току намагничивания, и по лучим
Ж Р |
а (k|i; Ml)k-£- |
^ |
2 |
П |
[ej (L,V + |
eKi |
4adridr2... |
dvA, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.65) |
где |
L = —ІГХ V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
снова воспользоваться проекционными операторами |
(4.53), |
||||||
то |
оператор перехода |
в этом |
выражении |
можно |
записать |
в виде |
|||
|
* |
2 |
|
|
|
|
|
|
(4.66) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оператор полного |
углового |
момента ядра |
|
|
|||||
|
|
|
А |
г |
|
Ц = - 1 , 0, |
1, |
(4.67) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
весьма похож на ту часть выражения (4.66), которая не содержит изоспиновых операторов. При этом как а, так и р являются соб ственными векторами квадрата оператора / , так что из (ПА.55) следует
<Р | J„ | сх> =8JfJi |
УШІ+У) |
Ut Uf\Mt \LMf) <B I a> = 0, (4.68) |
где (JiMt) и (JfMf) |
— квантовые числа спина и его проекции. Мы |
|
использовали тот факт, что переход происходит между двумя орто
гональными состояниями ядра. Если |
теперь подставить (4.67) |
и (4.68) в выражение (4.66), то оператор |
перехода примет вид |
АА
/ = і |
/ = і |
АА
= 0,38 j - 2 (crjV + у 2 ^ + 4 ' 7 0 в ^ (т зЬ- |
( 4 - 6 9 ) |
Для второго члена этого выражения применимо то же самое рас смотрение, которое было проведено для формулы (4.57). Именно для переходов в ядрах с N = Z, изоспины начального и конеч ного состояний которых удовлетворяют равенству Тf = Ті, в фор мулу (4.69) дает вклад только первый член. Если же Tf = Tt ± U
то |
первый член, являясь скаляром в изоспиновом пространст |
ве, |
не дает вклада, а второй дает. Мерой их относительного вклада |
в вероятность перехода является квадрат отношения числовых
параметров в формуле (4.69). Таким образом, |
переходы с TF = TT |
заторможены по сравнению с переходами с TF |
= ТІ ± 1 в отноше |
нии (0,38/4,70)а = 6,5-Ю-3 . |
|
28
26
24
22
Ml
20
18
16
14
12
10
Рис. 4.2. Распределение силы Ml-переходов в еди
ницах Вайскопфа для легких ядер |
(/4^40). |
|
З а ш т р и х о в а н н ая гистограмма показывает переходы, за |
||
прещенные правилом отбора по |
изоспину |
[319]. |
Хотя правило отбора по изоспину |
для ЛІІ-переходов возникает |
|
как результат случайной частичной компенсации нуклонных маг нитных моментов, оно приводит приблизительно к той же самой за
держке, которая найдена экспериментально (см. рис. |
4.1) для более |
|
обоснованного правила |
отбора по изоспину для |
El-переходов. |
Рис. 4.2 показывает, что |
этот результат подтверждается экспери- |
|
ментально. Как и для Е1 -переходов, фактор задержки для ЛП-пере- ходов составляет около Ю - 1 .
Результаты, касающиеся правил отбора по изоспину как для Е1-, так и для МІ-переходов, основывались на длинноволновом приближении kR <^ 1. Это означает, что и другие электромагнит ные процессы в длинноволновом пределе будут также подчиняться указанным правилам. Мы приходим к выводу, что для рассеяния
электронов, когда переданный |
ядру |
импульс |
может |
изменяться, |
|||
а |
энергия |
возбуждения ядра |
оставаться фиксированной, правило |
||||
отбора |
по |
изоспину действует |
[113] для малых углов |
рассеяния, |
|||
но |
не является обязательным* |
для |
больших |
углов, для которых |
|||
kR |
^ |
1. |
|
|
|
|
|
Правила отбора по изоспину дают довольно хороший пример взаимосвязи между конкретным механизмом возбуждения и кон кретными свойствами структуры ядра. Существование этих правил тесно связано с нашими предположениями о мезонных эффектах в ядрах и даже о некоторых более детальных аспектах наших ги потез о ядерном токе, как, например, формула (4.58). Кроме того, они требуют зарядовой независимости** ядерных сил и пренебреже ния кулоновскими поправками. Как только сделаны эти основные предположения, правила отбора получаются как следствие приро ды оператора перехода без обращения к ядерным моделям или дета лям динамики ядра. С другой стороны, существуют другие специфи ческие эффекты структуры ядра, которые затормаживают конкрет ные El- или ЛП-переходы. Эти эффекты относительно мало связаны со свойствами операторов перехода. Они могут возникнуть из-за раз личия природы возбуждений ядра в начальном и конечном состоя ниях и быть следствием слабого перекрывания ядерных волновых функций. При правильном рассмотрении эти эффекты, конечно, должны быть разделены и классифицированы.
§4.4. Общие свойства электромагнитных переходов
вдлинноволновом приближении
Установим теперь некоторые общие свойства электромагнитных переходов данного порядка мультипольности, используя выражение (4.17) и метод, сходный с тем, который мы уже применяли при упрощении выражения для матричного элемента перехода в длинно волновом пределе. Для этого предположим, что существует какой-то механизм, который действует так, что в задачу входит только один мультиполь. Это ограничение может осуществляться строго, если действуют правила отбора по угловому моменту и четности, или оно может быть следствием специфических свойств динамики ядер, приводящих к преобладающей роли одного мультиполя.
* Пример того, как учет эффектов ядерной структуры может опровергнуть эти довольно простые аргументы, приведен в работе [314].
** Эти правила можно также получить, используя только гипотезу за рядовой симметрии сил [337, 223, 256].
Вероятность излучения фотона с волновым вектором к и поля
ризацией (х при переходе ядра |
из начального |
состояния а в конеч |
|||
ное |
состояние |
|3 в процессе |
мультипольного |
перехода типа о |
|
(а = |
п или т ) |
получается из |
формул (4.13) |
и |
(4.17): |
Па а)
где
ЛГВ а (к|і; а/) = Л
и
i
Таким образом,
Tpa (/p.; a) = ( 2 / * j ) f e
I М&а |
(kj*; al) |2 dQk, |
(4.70) |
|
|
J<P| j ( r ) | a ) . A / ^ ( r ; a)dr |
(4.71a) |
|
(г, |
а = |
е, |
( 4 7 1 б ^ |
p., |
a = m . |
|
|
I j <P I j (r) I a> • A/ ( i (r; о) dr |2 dQk . |
(4.72) |
||
Предположим теперь, что оператор ядерного тока выражается формулой (4.58). Рассмотрим сначала £/-переходы. Пользуясь теоремой Зигерта* (4.24) и предполагаемым выражением (4.25) для плотности заряда, получим для главного члена £їтмультиполя
- щ щ |
( ° г ) ' " к'Ь>I |
* » r J y ' » < г ' > v - < 4 J 3 > |
Вклад тока намагничивания в формуле (4.58) дает дополнительное слагаемое вида
|
^ Х ^ Р ^ ^ ) - ^ ( о ; e)dra ...drA |
= |
|
ей |
й ' + 1 |
|
|
2M |
(2/+1)И [/ |
/ = І |
|
|
X rj-Vj(гущ(fj))drx |
... Av». |
(4.74) |
Здесь выполнено интегрирование по частям и использованы соот ношения (2.846) и (2.70). Для /И/-переходов те же самые операции* которые приводят к формуле (4.65), дают
f <Р ІІ (г) [a>. V |
^ |
(г; m) d r = і - * - Ч _ * 1 _ |
(±ti |
V / 2 |
X |
||||
J |
n |
J |
W I |
' |
2M (2/-fl)!l |
V / |
j |
|
|
X J |
J |
^ |
f ^ W |
+ |
^ a j j - V j ^ K / ^ f ^ J T a d r ! . . . ^ . |
(4.75) |
|||
* Заметим, что из-за множителя (Еа — E^j/Hkc знак в формуле (4.24) для испускания фотонов должен быть заменен на противоположный по срав нению со случаем поглощения.
Подставляя (4.73)—(4.75) в (4.72), получаем
Г р а № ; а |
) |
" |
^ |
Г |
1 |
< р 1 0 / 1 4 ( а ) 1а > ? d Q k ' |
( 4 - 7 6 > |
где
(4.77)
/=1 |
2Л4с Z+1 |
2Мсeh KjoA.VjtfY^ih))]. |
(4-78) |
|
|
|
В этих результатах для Qi(J, (а) можно использовать эффективные заряды для ej, как обсуждалось в § 4.2.
Формула (4.76) справедлива в системе координат с осью гт направленной вдоль вектора к. Можно перейти к произвольной системе, как это сделано в формуле (2.106); интегрирование по на правлениям фотона может быть выполнено, если воспользоваться соотношением
j |
^ V |
(фк, в к > 0 ) 1 ^ (Фк, 9к > |
0)dQk = |
4я |
|
(4.79> |
|
2/+1 |
|
||||||
Сумма по индексам поляризации фотона v = |
± |
1 дает множитель 2. |
|||||
Таким образом, вероятность фотоизлучения выражается форму |
|||||||
лой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т&(1; а) = [8л (/+1) |
й2 <+ 1 |
<B|Q/ ( X |
(а)|а> |
(4.80> |
|
|
|
/[(2/+1)!!] 2 |
). |
|
|
|
|
где |
(а) |
определяется формулами |
(4.77) |
и |
(4.78). |
Оставшийся |
|
индекс (х в действительности не является свободным индексом, так
как теорема Вигнера—Эккарта |
требует* |
|
|
<В | |
(о) | а> = (Jt |
IJ, \ Mt \iMf) <В || G, || о>, |
(4.81> |
где (JiMi) и JfMj) — квантовые числа спина и его проекции в на чальном и конечном состояниях ядра и ц = Mf — Mt. Восполь зуемся формулой (4.81), чтобы выполнить усреднение и суммирова ние по магнитным квантовым числам ядра. Это соответствует тому, что в начальном состоянии ядро не поляризовано и в конечном состоя нии его поляризация не наблюдается. Введем вначале приведеннуювероятность перехода
B(al;Ji^Ji) |
= T 7 |
^ |
2 KP|QiJ«>l". |
(4.82> |
|
Тогда |
2Jj |
+ 1 МtMj |
|
||
8зх (/-Ф-1) |
k*l+1 |
|
|||
7pa (/; а)- |
(4.83)- |
||||
Il(2f+l)U] |
|
В (al; Jt -> J f ) . |
|||
|
|
|
|
||
См. примечание на |
стр. 323 |
в |
приложении А |
|
|