книги из ГПНТБ / Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия

= | р; kA,> описывает ядро в состоянии В и фотон с волновым векто­

Конечное состояние теперь содержит фотон, плотность состояний которого, согласно (1.61), имеет вид

§ 4.1. Разложение по мультиполям и теорема Зигерта

Формулы (4.9) и (4.14) дают решение довольно простых задач усреднения или суммирования по состояниям поляризации фото­ на. Мы еще не умеем решать другие вопросы проблемы, имеющие в ос­ новном геометрический характер, как, например, усреднение и суммирование по подсостояниям спина ядра или интегрирование по направлению фотона для процессов излучения. Выполним теперь эти операции, чтобы более отчетливо выделить основные свойства динамики ядра. Для этого нам потребуется метод разложения по мультиполям, описанный в гл. 2.

В формулы (4.8) и (4.13) входят величины вида*

Свойства электромагнитного потенциала', связанные с угловым мо­ ментом, лучше всего видны, если выполнить разложение по муль-

* Оператор в формуле (4.13), соответствующий излучению фотона, эр­ митово сопряжен оператору в формуле (4.8) для случая поглощения, и, сле­ довательно, матричные элементы перехода для этих взаимно обратных про­

цессов комплексно сопряжены друг другу.

і

типолям (2.105) для плоской волны. С этой целью определим систему сферических базисных векторов (2.39) так, чтобы вектор £0 был па­ раллелен вектору к, £х был направлен вдоль Єкі, а 1_г — вдоль £к2 - Это можно всегда сделать, так как векторы &к% (X = 1,2) пер­ пендикулярны вектору к и друг другу. Введение сферического ба­ зиса в дальнейшем нам потребуется, чтобы рассматривать векторы поляризации как комплексные величины и воспользоваться соот­ ношениями ортогональности (2.41). Эти комплексные векторы по­ ляризации физически соответствуют круговой поляризации фотонов (см. §2.4). Таким образом, формула (4.15) заменяется формулой

Поскольку, кроме малости величины kr для фотонных переходов также имеем / ^ 1, то правая часть соотношения (4.20) очень мала; для указанных выше чисел она фактически меньше 0,01.

Продольный мультиполь также имеет структуру, похожую на структуру выражения (4.19). Согласно (2.65) и (2.68),

А/д(г;0 = -^?Л(*г)К,д(?) =

Разумеется, при использованных для получения формулы (4.24) предположениях функция Бесселя в подынтегральном выражении может быть заменена, согласно (2.98), ее пределом при малых зна­ чениях аргумента.

Возможность замены оператора плотности тока в формуле (4.18) оператором плотности заряда в (4.24) выражает суть теоремы Зигерта [318; 296; 53; 138; 297, стр. 232—245; 287, стр. 74—77]. Очевидная полезность этого результата заключается в том, что он позволяет исключить технические сложности, связанные с опера­ тором тока, при вычислении вероятностей электромагнитных пере­ ходов, выполняемых в рамках ядерных моделей*. Она также дает некоторое облегчение намного более значительных затруднений,

• * При использовании теоремы Зигерта в ядерных моделях необходима известная осторожность: непоследовательности, которые могут быть довольно безобидными в других случаях, могут здесь привести к плотностям ядерного тока и заряда, нарушающим уравнение непрерывности и, следовательно, также и теорему Зигерта. Такая ситуация возможна, например, когда вы­ полняются расчеты смешивания конфигураций по модели оболочек. В этом случае невозмущенные волновые функции соответствуют энергии возбуждения, отличной от той, которая получается при учете остаточного взаимодействия, так что величина \Еа — \ может быть не равна Tike.

которые возникают при рассмотрении электромагнитных взаимо­ действий в ядрах. Эти затруднения связаны с тем, что при изуче­ нии структуры данного ядра может оказаться недостаточным рассма­ тривать только А нуклонов, которые оно содержит. Нуклоны свя­ заны вместе силами, которые, как обычно предполагается, обус­ ловлены обменом мезонами. Отнюдь не очевидно, что мезонными сте­ пенями свободы можно пренебречь при рассмотрении ядерной си­ стемы. Конечно, было бы желательно рассмотреть следствия обмена мезонами существенно феноменологическим способом так, чтобы этот обмен был бы в основном исключен из задачи. Например, счи­ тают, что мезоны ответственны за хорошо известные зарядовообменные свойства ядерного взаимодействия. Этот эффект может быть учтен с помощью соответствующей модификации двухнуклонного потенциала, который, как предполагается, действует при рассея­ нии нуклонов на протоне. Далее обычно действуют, описывая ядро только с помощью степеней свободы нуклонов, которые взаимо­ действуют через этот модифицированный потенциал.

Однако такая простая картина нарушается, когда рассматри­ вают ядро, взаимодействующее с электромагнитным полем. В этом случае, даже если в выражение для плотности ядерного заряда входят только сами нуклоны, плотность тока определяется не одни­ ми нуклонами. Дело в том, что обменное взаимодействие может из­ менять зарядовое состояние нейтрон-протонной пары, и тогда в силу уравнения непрерывности должен возникать некоторый ток, обусловленный мезонами. Таким образом, далее если предположить, что заряд локализуется на нуклонах, оператор тока должен содер­ жать вклад, возникающий от мезонов. Этот вклад может быть вы­ числен только на основе довольно неопределенных предположений о роли мезонов в ядрах. Следовательно, очень полезно знать, что по крайней мере для электрических переходов при малых передан­ ных импульсах (kR <^ 1) теорема Зигерта дает возможность огра­ ничиться в нашем рассмотрении плотностью заряда, для которой нет необходимости явно учитывать заряды мезонов. Конечно, всетаки нет гарантии в том, что мезонные степени свободы не будут влиять на плотность заряда даже в указанном случае, но можно по

полагать, что оператор плотности заряда может быть следующим

становятся важны изменения плотности на очень малых расстояниях,

Выражение (4.28) для матричного элемента электрического пе­ рехода требует дальнейшего уточнения. Это связано с тем, что ядер­ ная волновая функция записана как функция ЗА нуклонных коор­ динат гх , г2 , Гл, измеренных в произвольной системе отсчета. Однако на практике бывает необходимо отделить взаимодействие фотона с ядром как целым, которое посредством томсоновского рас­ сеяния приводит к изменению центра масс всей системы А частиц, от взаимодействия, которое возбуждает внутренние степени свободы ядра. Для этого явно введем координаты центра масс

А( = ti (4.29)

икоординаты нуклонов, отсчитанные относительно центра масс*:

Р,= г , - R = ( l _ - L ) r , - J L 2 r « . / = 1 , 2 , „ . , 4 (4.30а)

которые удовлетворяют соотношению

/= 1

Вобщем случае ядерные расчеты выполняются с использованием ко­

ординат гх, г2 , ТА, так как обычно начинают с рассмотрения А нуклонов в потенциале оболочечной модели ядра и строят решения для частиц в этом потенциале. Эти решения нетрудно затем антисим-

метризовать, если пользоваться координатами r l f г2 , гА, кото­ рые описывают каждый нуклон эквивалентным образом. Потенциал в оболочечной модели определяется, разумеется, относительно вы­ деленной точки пространства, что нарушает требование трансля­ ционной инвариантности ядерного гамильтониана и нарушает закон сохранения полного импульса в аппарате теории**. Можно далее спросить, имеются ли какие-либо простые способы привязки расче­ тов вероятностей электромагнитных переходов, выполненных в этой несовершенной системе координат, к расчетам, выпол­ ненным с более правильными координатами (4.30). Это может быть сделано с помощью использования эффективных зарядов. Они за­ меняют обычный нуклонный заряд е для протонов и 0 для нейтронов

*В этой связи см. [151].

**Использование такого потенциала приводит также к проблеме «духо­ вых» состояний, которая отчасти связана с использованием эффективных зарядов. Эти состояния возникают при рассмотрении А нуклонов, которые считаются связанными в фиктивном внешнем потенциале. При этом можно получить такие колебания, когда все нуклоны будут двигаться вместе в этом потенциале, который они, по предположению, сами создают друг для друга. Подобные колебания не соответствуют возбуждению внутренних степеней свободы ядра и должны быть исключены из аппарата теории (см., например, [310]).

Результат, содержащийся в формуле (4.35), не зависит от ка­ ких-либо предположений, кроме использованных при получении теоремы Зигерта и связанной с ней гипотезы о том, что заряд ядра. локализуется на нуклонах [см. формулу (4.25)]. Понятие эффек­ тивных зарядов (или эффективных магнитных моментов) может быть, обобщено и для магнитных переходов (мы столкнемся с примером этого в §4.3). Однако, поскольку теорема Зигерта не применима для магнитных мультиполей, результаты для М/-переходов сильно зависят от предположений, касающихся ядерного тока, и введениеэффективного заряда не является в этом случае особенно полезным. Подобная концепция до некоторой степени также помогает прирассмотрении электрических переходов более высокого порядка, хотя необходимы специальные предположения помимо тех, которыебыли использованы при получении формулы (4.35).

Рассмотрим общий вид оператора ^/-переходов в формуле (4.28)-

Снова вводя координаты (4.30) для описания возбуждения внутрен­ них степеней свободы, получаем

( = 1

Применим теперь теорему сложения пространственных сфериче­ ских гармоник, которую мы докажем в конце данного параграфа^ Если а и b — два вектора, то

Однако для всех других членов входят координаты более чем одной частицы. Выделяя член с L = I, получаем

где второй член был введен в процессе использования тождества (4.39), чтобы вновь выделить первый член из суммы. Подставляя

(4.44) в (4.43) и используя (4.27), получаем

Для £1-переходов формулы (4.46) приводят к полученному ранее результату (4.35). В этом случае двухчастичные члены в формуле (4.45) не дают вклада. Однако в формулы для мультиполей более высокого порядка эти сложные члены входят. При этом нет причин, пренебрегать их вкладом [151]. Не существует простых не зависящих, от модели способов оценки указанных членов, так что концепция эффективного заряда полезна для мультиполей более высокогопорядка только постольку, поскольку хотят сохранить одночастичное описание перехода без какого-либо хорошего оправдания этого'приближения. Ситуация отчасти облегчается тем, что в эф­ фективный заряд мультиполей более высокого порядка, чем £1,. входит поправочный член порядка НА или еще меньше по сравнению- с обычным зарядом. Следовательно, такая поправка для тяжелых ядер очень мала. Во всяком случае эта погрешность не больше той,, которая возникает во многих расчетах электромагнитных перехо­ дов, выполняемых в рамках ядерных моделей, так как в них частовходит обрезание набора базисных функций ядра, которое дает типичную ошибку порядка \1А или больше.

Во многих случаях пытаются обойти влияние указанного обре­ зания введением совершенно другого понятия эффективного заряда. Новый «эффективный заряд» учитывает скорее конкретные эффекты