Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 419 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			§ 3.	ТЕОРЕМА			Д Е Д У К Ц И И				81
b)	каждая		выводимая			в	исчислении			высказываний
формула		выводима		из	21,,			21„;
c)	если	формулы		21	и 21->23 выводимы из					21,, .. ., 2(„,
то формула 23			также выводима					из	21,,	21„.
Утверждение, что				формула 23 выводима из 2(,, . . . , 21„,
мы будем		обозначать			так:
			21„			2(„		h-23.
Выводимость			формулы			33		из	формул	21,,	21п

отличается от выводимости формулы в исчислении вы сказываний тем, что во втором случае в числе правил вывода имеется правило подстановки, которого нет в первом случае. Можно было бы определить и такую вы водимость формулы 23 из формул 21,, 21п , в которой правило подстановки имело бы место. Если бы мы упот ребляли понятие выводимости в том и другом смысле, то необходимо было бы различать эти два понятия различ ными терминами. Однако ввиду того, что мы будем иметь дело с выводимостью 23 из других формул только в од ном смысле, соответствующем данному определению, мы не будем для этого понятия вводить нового термина. В случае, когда у нас появится выводимость формулы 23

из формул 21ь . . . ,	21п в другом смысле, мы	это	обстоя
тельство оговорим	особо. Заметим, что если	21,,	21 „

являются аксиомами или другими выводимыми форму

лами, то	класс	выводимых	из них формул	совпадает
с классом	всех выводимых		в исчислении высказываний
формул, так как всякая выводимая формула				считается
выводимой из любой системы формул.
Мы расширим		понимание	выражения

Щ, . . . . а » 1 - 8	(1)
на случай, когда формул 21, вовсе нет (/2 =	0), считая,

что тогда 23 является просто выводимой формулой исчи сления высказываний. Выражение (1) в этом случае, естественно, превращается в

Ь23.

Все дальнейшие рассуждения о выводимости фор мулы 23 из формул 21 ь . . . , 21 „ будут распространяться и на этот случай.

82	ГЛ. I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й
Т е о р е м а		д е д у к ц и и .	Если формула 23 выводима
из формул 21ь		-21 п, то
	211 ->(912 ->(...		( Я я - Э 3 ) ... ) )

—выводимая формула.

Докажем сначала, что если

то	21„ 2Г2,	2(л (-33,
то
2(„	212,	h2U->23.
Доказательство	этого	утверждения проведем по ин

дукции следующим образом. Сначала докажем, что оно верно, если 23 является либо одной из формул 21г-, либо выводимой формулой исчисления высказываний. Затем покажем, что если наше утверждение верно для формул


23' и 33'-* 23", то оно верно						и для 23".					i = п,
	Если	23 совпадает			с формулой 21,,			то	либо
либо i <		п. В первом случае 21„ —> 21п					— выводимая фор
мула; она			получается		подстановкой		в	формулу			А-+А
(см. теорему 2 § 2). Поэтому
			21,		2(„_, г-21„->21„.
Допустим,			что i	< я;	тогда подстановками				в	аксиому
I .	1 получаем			1 - Я , - ( И , , - И , ) .

	Последняя формула, как выводимая, выводима из
формул		211,		2i n - i -	Но формула 21,- также выводима
из	формул		21ь	2I„_i.		.Поэтому	формула			21„—>214
выводима из формул 21ь						2 l n - i .			очевиден.
	Случай,		когда	23 — выводимая формула,
	Допустим, что формулы 21„->23'						и	21„ -> (23' -> 23"
выводимы			из 2Ii, . . . , 2I n - i .			Формула
	(2(я		-> (23' - * 23"))		((2Т„ - 23') -> (31„				23"))

является выводимой в исчислении высказываний, так как

она получается подстановками в аксиому 1.2.					Поэтому
эта	формула выводима из	2li,	2 I n - i .	Обе	посылки
этой	формулы, но условию,	выводимы из		91ь	21„_1.

Применив два раза правило заключения, мы получим формулу 21 „ —> 23", которая, следовательно, также выво дима из формул 211 2ln ~j.

§ 4. Н Е К О Т О Р Ы Е П Р А В И Л А И С Ч И С Л Е Н И Я В Ы С К А З Ы В А Н И Й

Таким образом, мы доказали, что если

21„ . . . . 51„Ь23,

то

91„ 91„_, г - 9 1 ^ 9 3 .

В случае п = 1 доказанное утверждение состоит в следующем:

если 2t„ Ь 33, то t- 91„ -> 23.

Теперь мы без труда установим справедливость тео ремы дедукции. Допустим, что имеет место

21„ 21„Ь23. В таком случае мы будем иметь

9t„ 21„_, ь-2(„->23. Применив то же самое вторично, получим

% 2t„_2 b2f„_,->(2(„->23). Рассуждая так же и далее, мы наконец получим

91, н Я 2 - > ( Я з - > ( . . . - > ( Я „ - * » ) . . . ) ) • Применив то же рассуждение еще раз, мы получим

Н (9(, -> (912 - (913 - > ( . . . (91„-> 23)...)))),

чем и доказана теорема дедукции.

^ \ 1 § 4. Некоторые правила исчисления высказываний Т е о р е м а 1.

И Л - В ) - ( ( В - С ) - ( Л - С ) ) .

Рассмотрим формулы А—*В, В-+С и Л. Из этих формул при помощи только правила заключения можно вывести формулу С. В таком случае на основании тео ремы дедукции мы заключаем, что

( Л - > В ) - * ( ( В - » С ) - * ( Л - * С ) )

— выводимая формула. Теорема доказана.

Сделаем подстановки в эту формулу, заменив Л фор мулой 91, В — формулой 23, а С—формулой (5. Получим

84	ГЛ. И. И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й

выводимую формулу:

(91 - + » ) - > ((58 -> S) -> (21 -> S)).

Если формулы 91 ->- 53 и 53-^© окажутся выводимы ми, то, применив сложное правило заключения к послед ней формуле, мы найдем, что формула 21 —• (5 также вы водима. Таким образом, мы получаем правило, которое записывается так:

% ^ SB, SB -»S

я -> а

Это правило носит название правила			силлогизма.
Т е о р е м а	2.
Ь	(Л -> (5 -> С)) -> (5 -> (Л -> С)).
Рассмотрим	формулы А—(В—С),		В, А. Применив
два раза правило заключения,		находим
	Л -> (£ -> С),	В, Ah С

Применив теорему дедукции, получим требуемую формулу. Из выводимости этой формулы так же, как и

впредыдущей теореме, извлекаем правило

Ж-> (SB -> 6)

SB ->(Я ->(£)'
Это правило носит название правила		перестановки
посылок.
Т е о р е м а 3.
Ь- А-(В~	А & В).
Сначала докажем
( 8 4 Л ) - > ( ( , « - > Б)-^(SR-> Л&В)), Л,		В Н Л & В

(91, как мы условились, обозначает любую выводимую формулу). Обозначим для краткости первую из этих формул через 21°. Формула Л ->(*)?—>• Л) выводимая. Поэтому формула 9?—>Л выводима из формулы Л и тем более из формул 21°, Л, fi. Мы, таким образом, будем иметь

91°, Л, В |— 94 —»- Л. Рассуждая аналогичным образом, получим

91°, Л,

Bhdi->B.

§ 4. Н Е К О Т О Р Ы Е П Р А В И Л А И С Ч И С Л Е Н И Я В Ы С К А З Ы В А Н И Й

Из 21° путем трехкратного применения правила за ключения выводим формулу А&В, откуда следует, что

51°, А, В Ь А&В.

Применив теорему дедукции, будем иметь Ь- 21° -> (Л -> (В -> А & В)).

Но 21° — выводимая формула; она может быть получена подстановками в аксиому I I . 3 (стр. 73). Отсюда мы по лучаем

1- Л -> {В -> Л & В),

и теорема доказана. Из этой теоремы вытекает правило

				ЭД, £
Обратное		правило
				81, аз
вытекает		из аксиом I I . 1 и I I . 2. Из этих двух			правил		сле-
			ST&S3
дует	правило		& щ-,	которое, впрочем, можно		извлечь
и из	формулы
			Ь	Л & £ - » £ & Л,
выводимость			которой	была доказана (см. §	2,	стр.	74).
Т е о р е м а			4.

ь й ^ л .

Заменив В на Я в аксиоме IV. 1, получим

04->ет)-»ел-Л),

но Л—>9? — выводимая формула (см. теорему 1 § 2). Применив правило заключения, получим формулу

ь - ! - *л,

где, пользуясь определением формулы %, мы заменили 91 на 3. Подставив А вместо Л, получим

Из последней формулы и аксиом IV. 2 и IV. 3 путем пра вила силлогизма получим

\-Ъ^А.

86	ГЛ. I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й
Т е о р е м а 5.
	\-(А->	(В->	С))(А	& В -> С),	(а)
	\-(А&В^»С)->(А^(В-*С)).				(Ь)
Докажем	первое утверждение.			Имеем
	А-+(В-+С),		А&В	Ь С .
В самом деле,		формулы
	А&В^А		и Л & б - > В

суть аксиомы и потому выводимы в исчислении выска

зываний. Поэтому формулы А и В			выводимы	из формул
А -> (В —С) и Л <££.
Применив правило	заключения		сначала к	формулам
А	и	Л С	)

изатем еще раз к формулам

Ви В->С,

заключаем,	что	С выводима	из	формул	Л С ) ,
Л (5 В. Отсюда		на основании теоремы дедукции следует
справедливость		утверждения	(а).
Докажем	утверждение (Ь).
Рассмотрим		систему формул
		А&В-+С,	А,	В.

Покажем, что из этой системы выводима формула С. На основании теоремы 3 имеем

\- А -* (В А & В).

Отсюда следует, что формула Л & В выводима из формул

А&В^С, А, В.

В таком случае и С выводима из этих же формул. При менив теорему дедукции, получаем утверждение (Ь) тео ремы.

Из доказанной теоремы вытекают два правила:

Первое из этих правил назовем правилом	соединения
посылок, а второе — правилом разъединения	посылок.

§ 5. М О Н О Т О Н Н О С Т Ь

Т е о р е м а 6.

Из аксиомы I . 1 подстановкой получим

\-А^>{Ш->А).

Кроме того, из аксиомы IV. 1 получим, имея в виду, что Ш есть 3:

Ь ( И _ Л ) - > ( Л - 3 ) .

Применяем к этим двум формулам правило силло

гизма:			_
		I -	А-+(А->Ъ),
откуда по правилу соединения посылок следует
		Ь А &		А^%.
Наконец, подстановка			дает	искомую формулу
		\-
§ 5. Монотонность
Будем	говорить, что	формула		21 сильнее		(хотя,	может
быть, точнее было бы говорить «не слабее»)						формулы		23,
если Ь	21 -> 23.	Формула		21 (А),	содержащая		пере
О п р е д е л е н и е .
менное	высказывание	А,	называется		монотонно		возрас
тающей	(соответственно		монотонно		убывающей)		по	А,
если из	5В1 —» 532 следует		21(23,)-->-21 (232) (соответственно:
из 23,-• 232следует 21 (232)--2I(23i)).					Здесь,	как и	всегда
в дальнейшем, 21(234)		и 21 (232)		обозначают		формулы,		по
лучаемые из 51 (Л) заменой переменного						высказывания

Л соответственно формулами 23, и 232.

Значение понятия монотонности видно из следующей

теоремы.			Все	основные		логические операции			моно
Т е о р е м а .
тонны по	всем		участвующим			в них	переменным	высказы
ваниям:	формулы			А&В	и AVB		монотонно	возрастают
по А и В,		А убывает по			А,	А —> В убывает		по А	и воз
растает по		В,


88	ГЛ. П. И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й
	Д о к а з а т е л ь с т в о .			1. Формула		А&В	монотонно
возрастает по Л и по В.				Действительно,		пусть
			Ь	23, -> 232.				(а)
	Подстановкой в аксиому I I . 1 получаем
		ь-23,&в-*23,.						(Ь)
	Из этих формул по правилу				силлогизма		следует
			Н 23, & В -> 232.					(с)
	Подстановками	в	аксиому		I I . 3 (23, & В		на место	А,
2?2	на место В и В	на	место С)		получим
Ь	(23, & В -> 232)	[(23, <& В -> В) -> (23, & В -^232 & В)],						(d)

Формулы 23i<£B->-B и 23, & В -> 232 выводимые. Поэ тому, применив к (d) дважды правило заключения, по лучим

h 23, & В -> 232 & В.

Этим доказано, что формула Л & В монотонно возрас тает по А. Монотонное возрастание по В доказывается аналогично.

2. Формула Л V В монотонно возрастает по Л и по В.

Докажем, например, что Л V В монотонно			возрастает
по В.
Пусть
	Ь23,->232 .		(а)
Из	аксиомы I I I . 2 получаем подстановкой
	I - 232 -> Л V 232.		( И
Правило силлогизма дает теперь
	Н 23, -	Л V 232.	(с')
Кроме того, подстановка		в I I I . 1 дает
	Ь- А -> Л V 232.		(с")
Теперь делаем подстановку		в аксиому I I I . 3	23, вместо В
и Л V 232 вместо С. Получаем
Н (Л	Л V 232) -> [(23, —> Л V 232) -> (Л V23, -> Л V232)]. (d'J

§ 5. М О Н О Т О Н Н О С Т Ь

Применим к (сГ) дважды правило заключения, ис пользуя (с') и (с"). Получаем

Ь- Л V 23, -> Л V 232.

3. Формула А монотонно убывает по А. Это следует

непосредственно из аксиомы IV. 1.
4. Формула А —»В монотонно		возрастает		по В	и мо
нотонно убывает по А.
Докажем,	что формула А-* В	монотонно		убывает		по
А. Пусть	Ь - 3 , ^ 2 3 2 .					(а)
	Ь - 3 , ^ 2 3 2 .					(а)
В силу доказанной монотонности формулы					А & В
имеем
Ь- (232 -> В) & 23, ~* (232 -> В) & 532.						(е)
Далее, из	выводимой формулы А-»-А		(см. стр.			80)
подстановкой	получаем
	Н(232 ->В)->(232 ->В)
и, применив правило соединения		посылок,	находим
	Ь(23 2 - »В)& 2 3 2 ^ В .					(0

С помощью правила силлогизма получаем из (е) и (f) t- (232 -> В) & 23, -> В.

Применив к полученной формуле правило разъедине ния посылок, получаем требуемое:

H ( 2 3 2 - > B ) ^ ( S , ^ B ) .

Докажем теперь, что формула Л - » В монотонно воз растает по В.

Пусть	\|— 23,.->2?2. Аналогично формуле (f)		получаем
		Ь(Л - >23,)& Л - > » , .	• (Г)
Из (а)	и	(Р) по правилу силлогизма имеем
		Н (Л -> 23,) & Л -> 232,
откуда, применив правило, обратное правилу			соедине
ния посылок,		получим

И Л - > 2 3 , ) - » ( Л ^ 232), что и требовалось доказать.

90	ГЛ. I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й
	Из определения монотонности следует, что если		фор
мула 21(93) монотонно возрастает по своей части			93 и
если
	н а д ) ,
то, заменив 931 более слабой формулой 932, получим			так
же	выводимую формулу; если же 91(93)	убывает по 93,
то 91(93[) остается выводимой при замене		531 более	силь
ной	формулой.
	Эти соображения часто позволяют упрощать доказа

тельства, в которых производится замена части какой-ни будь формулы более слабой или более сильной форму лой. В таких сучаях обычно достаточно проверить, имеется ли нужная монотонность.

§ 6. Эквивалентные формулы

Формулу, имеющую вид (21-»23)&(23-^2Г),

мы будем сокращенно записывать в виде 91-23.

Знак <~ не является символом исчисления высказы ваний, а употребляется только для сокращения указан ного выше выражения. Вместе с тем пользование им представляет большие удобства. (Можно было бы ввести в исчисление высказываний символ ~ в качестве его символа таким образом, чтобы полученная при этом си стема была в известном смысле вполне адекватна рас сматриваемой нами системе, но тогда пришлось бы вве сти еще новые аксиомы и исчисление усложнилось бы. С другой стороны, никаких преимуществ при этом мы бы не получили.)

Знак	~ мы будем называть знаком	эквивалентности,
формулу	91 ~ 93 — эквивалентностью.

Рассмотрим в качестве примера выражение

А ~ А.

Аксиомы IV. 2 и IV. 3 имеют вид

Л - > А и А-> А.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 419 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ