книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Части формулы легко усмотреть непосредственно из транскрипции формулы. Для этого и служат скобки, ко­ торые указывают последовательность, в которой надо производить операции, чтобы построить формулу.

Введем некоторые изменения в транскрипцию фор­ мулы. Заметим, что формула может содержать скобки, заключающие в себе все остальные символы формулы. Например,

(91 & 93).

Такие скобки будем называть внешними. Слово 91 & 93 без скобок в силу определения формулой не является. Однако для сокращения записи мы будем внешние скоб­ ки опускать. При этом мы не меняем определения фор­ мулы, а просто не пишем некоторых символов (в дан­ ном случае внешних скобок), присутствие которых в последовательности символов, образующих формулу, ко­ нечно, подразумевается. Введем еще изменения в тран­ скрипцию формулы в связи со знаком отрицания. Фор­ мулу —91 будем записывать в виде

¥,

причем если 91 имеет внешние скобки, то будем их опу­ скать. После этих изменений транскрипция формул ис­ числения высказываний будет такая же, как у формул алгебры высказываний. Далее мы воспользуемся теми же правилами опускания скобок, что и в алгебре выска­ зываний. Будем считать, что связка & связывает силь­ нее, чем все остальные, связка V сильнее, чем —>. В силу этого правила формулу

(21 & 23) V е

будем писать в виде

91 & 23 V G.

Формулу

(91 V 23) -> (6 & Щ

будем писать в виде

91 V 23 -» S & 2)

и т. д.

П р и м е р ы .

1. Формула — ((Л V В) —• — (С—• £>)) в измененной транскрипции напишется в виде

Л V В -> С -* D.

2. Формула (—А V ( б - > (C<SD))) напишется в виде

А V (B->C&D).

Заметим, что можно было бы дать такое определение формулы, что конфигурация ее символов образовала бы сразу ту транскрипцию, которую мы получили после вве­ денных сокращений. Но тогда само определение форму­ лы стало бы более громоздким и формула была бы не простой последовательностью символов, а более слож­ ным образованием. С другой стороны, для записи фор­ мулы введенные нами упрощения представляют значи­ тельные удобства.

§ 2. Определение выводимых формул

Следующим шагом в описании исчисления высказываний будет выделение некоторого класса формул, которые мы будем называть выводимыми в исчислении высказыва­ ний. Определение выводимых формул имеет такой же рекурсивный характер, как и определение формулы. Сна­ чала определяются исходные выводимые формулы, а за­ тем определяются правила, позволяющие из имеющихся

мой формулы из исходных выводимых формул, или ак­ сиом, путем применения правил вывода будем называть выводом данной формулы из аксиом.

А к с и о м ы и с ч и с л е н и я в ы с к а з ы в а н и й

I

1.Л - » ( Б - > Л ) .

2.(А -> (В -> С)) -> ((Л -> В) -» (Л -> С)).

IV

1.( Л 5 ) - > ( £ - > Л).

2.Л - > Л .

3.Л - > Л .

Как видно из привиденного списка, аксиомы разби­ ваются на четыре группы. Все аксиомы группы I из ло­ гических связок содержат только импликацию. Эта

исчисления высказываний, то, заменив в ней букву Л всюду, где она входит, произвольной формулой 33, мы

выводимая формула.

Указанием аксиом и правил вывода мы полностью определяем понятие выводимой в исчислении высказыва­ ний формулы. Пользуясь правилами вывода, мы можем, исходя из аксиом, конструировать новые выводимые формулы и получить таким образом каждую выводимую формулу. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Покажем, что формула (Л -> В) (Л Л)

выводима в исчислении высказываний.

Формула (Л -» (В --> Л)) -> ((Л -» В) -> (Л -> Л))

является результатом подстановки в аксиому 1.2 пере­ менного высказывания А вместо С. Так как посылка по­ лученной импликации есть аксиома I . 1, то, применив правило заключения, получим, что

(Л -> В) -> (Л -> Л)

—выводимая формула.

2.Покажем, что

А&В-+В&А

— выводимая формула в исчислении высказываний.

Мы видим, что посылка этой импликации представляет собой аксиому II.2. Поэтому, применив правило заклю­ чения, мы получим выводимую формулу

(А&В^А)-*(А&В->В&А).

Л-> А

-выводимая формула.

Делаем подстановку в аксиому IV. I , заменяя В фор­ мулой Л. Получим выводимую формулу

(Л - > ! ) - • ( 1 - > А). Посылка этой формулы есть аксиома IV. 2,.

новки. Хотя это правило описано совершенно ясно, все же его описание нельзя считать вполне удовлетворительным. Именно, заменяя в формуле букву формулой, мы полу­ чаем, конечно, некоторое слово, но еще следует дока­ зать, что это слово является формулой.

Приведем другое определение правила подстановки, эквивалентное старому определению. Оно гораздо более громоздко, но из него будет прямо следовать, что по­ лучаемое в результате подстановки слово является фор­ мулой. Кроме того, это определение будет полезно в других рассуждениях.

Операция подстановки представляет собой соответ­

формула, которую мы обозначим 5л (91). Операцию 5л (91)

Мы имеем, таким образом, рекурсивное определение операции 5л для всех формул исчисления высказыва­ ний. При этом операция подстановки 5* определена и

для формул 51, которые не содержат переменного выска­ зывания А. В этом случае, как легко видеть, 5л (91) пред­ ставляет собой 51. Правило подстановки формулируется следующим образом.

Мы видим, что в результате рассматриваемой под­ становки переменное высказывание А в формуле

А & В -> (В V С) & А ^

заменилось всюду формулой

А ~> Л V С.

Кроме основных правил вывода — правила подста­ новки и правила заключения — мы будем иметь и дру­ гие правила образования выводимых формул, производ­ ные от основных правил и являющиеся сокращением многократного применения основных правил. Для всех этих правил мы введем некоторую схему, позволяющую записывать их сокращенно.

Правила выражаются обычно в следующих терминах. «Если формулы 51, 93, ... выводимы, то формулы ЯЯ, Л, ... также выводимы». Мы будем записывать та­

кого рода определения в виде схемы

При этом сначала А\ заменяем формулой 53i, затем в по­

не безразличен. Введем следующую операцию. Перемен­ ные высказывания А1у Л„ в формуле 91 {А\, Ап)

78 ГЛ, I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Я

заменим такими переменными высказываниями, которые

Получим формулу, относительно которой можно сказать, что она является результатом одновременной замены пе­ ременных высказываний А\, Ап соответственно фор­ мулами S31, ЗЗп. Полученную операцию обозначим

дящих в формулы 933-; тогда результат операции не бу­ дет представлять собой одновременной замены перемен­

нием правила подстановки. Поэтому, если формула 21 выводима в исчислении высказываний, то формула

s;.:::5»(a)

также выводима, и мы получаем правило

л, ... нп

Второе производное правило применяется к форму­ лам вида

(А -> (В -> Л)) -> ((Л .-> В) -> (Л - * Л)).

Посылка этой формулы представляет собой аксиому I . 1. Применив правило заключения, будем иметь

(Л —> В)-> (Л-> Л). Заменив Б на Ж, получим

(Л-> 9i) —> ( Л - * Л).

На основании предыдущей теоремы Л —* 91 — выводи­ мая формула. Применив правило заключения, получим, что

А^А

— выводимая формула.

§ 3. Теорема дедукции

Вместо того, чтобы выводимые в исчислении высказыва­ ний формулы выводить из аксиом, применяя непосред­ ственно правила вывода, мы изберем более краткий путь, доказав предварительно так называемую теорему дедукции. Эта теорема позволит нам устанавливать вы­ водимость различных формул гораздо более простым способом, чем непосредственный вывод этих формул.