книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

сначала к какой-нибудь дизъюнктивной нормальной форме. Затем, если какое-нибудь слагаемое 23 не содер­ жит переменной А'г-, то заменим его суммой

X* & 23 V X; & 23.

Эта замена представляет собой равносильное преобра­ зование, так как

Xi & 23 V Xi & 23 равносильно {X, V Xt) & 23. Но Xi V Xt тождественно истинно, поэтому

(Xi V Х{)&$$ равносильно 23 и, следовательно,

Xi & 23 V Xt & 23 равносильно 23.

Таким образом, мы можем изменить нашу нормаль­ ную форму так, чтобы условие d) было выполнено.

Если в полученном выражении окажутся одинако­ вые слагаемые, то, удалив все, кроме одного из них, мы получим опять равносильное выражение. Если после это­ го в некоторых слагаемых окажется по нескольку оди­ наковых множителей, то лишние множители можно уда­ лить. Наконец, можно удалить все те слагаемые, кото­ рые содержат какую-нибудь переменную вместе с ее отрицанием, так как слагаемые представляют собой тож­ дественно ложные выражения. Если бы все слагаемые

в силу этого не имеет совершенной дизъюнктивной нор­ мальной формы. Поэтому, если формула 21 не тожде­ ственно ложна, то в произвольной ее дизъюнктивной нор­ мальной форме должны присутствовать слагаемые, удовлетворяющие условию с). После удаления всех сла­ гаемых, содержащих какую-нибудь переменную вместе с ее отрицанием, мы получим дизъюнктивную нормаль­ ную форму формулы 21, которая удовлетворяет усло­ виям а), Ь), с), d) и, следовательно, является совершен­ ной нормальной формой. Заметим, что нам нет необхо­ димости знать заранее, является ли 21 тождественно ложной или нет. Проделывая указанные операции, мы это выясним после того, как удалим все слагаемые,

62 ГЛ. I. А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И И

содержащие какую-нибудь переменную вместе с ее от­ рицанием. Если 21 тождественно ложна, то все слагае­ мые будут удалены и мы не получим совершенной дизъ­ юнктивной нормальной формы.

Аналогичным образом определяется совершенная конъюнктивная нормальная форма. Это определение проводится в терминах, двойственных тем, которые мы употребляли при определении совершенной дизъюнктив­

ная формула имеет единственную, с точностью до по­ рядка расположения множителей и слагаемых, совер­ шенную конъюнктивную нормальную форму. Правила приведения произвольной формулы к совершенной конъ­ юнктивной нормальной форме аналогичны тем, которые мы описал-и для нахождения совершенной дизъюнктив­ ной нормальной формы, и выражаются в двойственных терминах. Доказательства всех утверждений, касающих­ ся совершенной конъюнктивной нормальной формы, мо­ жно получить из закона двойственности или же провести их так же, как мы это делали для совершенной дизъ­ юнктивной нормальной формы.

Совершенные нормальные формы позволяют дать кри­ терий равносильности двух произвольных формул 21 и 23.

В самом деле, каковы бы ни были формулы 21 и 53, можно предполагать, что- они содержат одни и те же

ким образом, любые две формулы можно заменить рав­ носильными им формулами, содержащими одинаковые переменные. После этого эти формулы надо привести к совершенным дизъюнктивным или конъюнктивным нор­ мальным формам. Если 91 и 23 — равносильные форму­ лы, то в силу единственности совершенных нормальных форм как дизъюнктивные, так и конъюнктивные нор­ мальные формы этих формул должны полностью совпа­ дать. Таким образом, сравнение совершенных нормаль­ ных форм формул 91 и 23 решает вопрос об их равно­ сильности.

П р и м е р ы .

Однако полученная формула не является совершенной нормальной формой, так как первое слагаемое не содер­

Пользуясь вторым дистрибутивным законом, мы при­ ведем эту формулу к конъюнктивной нормальной фор­ ме. Получим формулу

(XVYVXVY)(XVYVYVZ)(YVZVXVY)&

& ( f V Z V Y V Z).

Удалим тождественно истинные множители, а в остав­ шихся множителях удалим повторяющиеся слагаемые. Получим

(X V Y V Z)(YV Z V X).

Полученная формула удовлетворяет условиям а'), Ь'), с'), сГ) и поэтому является совершенной конъюнктивной нормальной формой данной формулы. Пользуясь вторым дистрибутивным законом, можно дальше упростить эту формулу. Выделяя слагаемое X V Z, получим

X V Z V YY.

Отбрасывая ложное слагаемое Y7, получим оконча­ тельно

X V Z.

В заключение этой главы отметим некоторые соотно­ шения равносильности, полезные для упрощения формул (первые два из этих соотношений совпадают с соотно­

Эти соотношения можно формулировать в виде пра­ вил следующим образом.

Г Л А В А I I

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 1. Понятие формулы

Описание алгебры высказываний, которое мы дали в предыдущей главе, и все рассуждения об этой системе, которые мы там проводили, вполне удовлетворяют тре­ бованиям строгости, изложенным во введении, так как они ни в какой мере не используют понятия актуальной бесконечности, т. е. являются конструктивными.

В самом деле, алгебра высказываний рассматривает конечные конфигурации символов и взаимоотношения между ними. Этими конфигурациями символов являют­ ся формулы, содержащие буквы и знаки различных опе­

нечно. Определения логических операций содержат тоже конечное число условий. С другой стороны, высказыва­ ния о формулах мы делали только в терминах указан­ ных символов и отношений между ними, и поэтому по­ добные высказывания были свободны от употребления актуальной бесконечности.

Несмотря на это, не всегда возможно непосредствен­ но применить алгебру вькжазьшаний к высказываниям математики, не привлекая при этом понятия актуальной

допущение уже опирается на понятие актуальной беско­ нечности. Оно представляет собой закон исключенного третьего, распространенный при этом и на бесконечные совокупности. В таком виде этот принцип не может быть принят в той части математики, которая ставит себе, в частности, задачу обосновать этот закон, показав, что пользование им не приводит к противоречию.

Не всякое слово, составленное из рассматриваемых символов, является формулой. Полное определение фор­ мулы имеет рекурсивный характер: указываются некото­ рые исходные формулы и затем правила, позволяющие из формул образовывать новые формулы. Смысл этого определения состоит в том, что под формулой мы будем понимать такие и только такие слова, которые могут быть образованы из исходных формул путем последова­ тельного применения правил образования новых формул, указанных в определении.

Определение формулы:

a)Переменное высказывание есть формула.

b)Если 21 и 23— формулы, то слова

(21 & 23),

(91 V 23),

(91 -> 23)

и

— 91

—также формулы.

Вэтом определении в а) указываются исходные фор­ мулы, которые здесь представляют собой переменные вы­ сказывания. Мы будем называть переменные высказы­

ных формул образовать новые. Таким образом, понятие формулы полностью определено.

Приведем примеры формул исчисления высказыва­ ний. Переменные высказывания А и В являются форму­ лами в силу а). Следовательно, на основании Ь) слова

( Л - Я ) ,

-А

—также формулы. Тогда на том же основании

(( - А & (А -> В)) V (А & В))

— также формула.

последовательность символов исчисления высказывания, то ее можно построить, просто указав, какой символ будет первым в этой последовательности, какой — вто­ рым и т. д. Рассмотрим, например, слово

((А&В)->(С V D)).

Оно вполне определяется указанием, в какой последо­ вательности взяты символы. Первым идет (, вторым А, третьим & и т. д. Однако не каждое слово является фор­ мулой. Мы еще должны доказать, что данное слово есть формула. Для доказательства этого мы должны пока­ зать, что написанное нами слово удовлетворяет опреде­ лению формулы. Но по смыслу определения формулы доказать, что данное слово есть формула, означает по­ строить его, исходя из элементарных формул, посред­ ством конструкций, указанных в Ь).

Чтобы доказать, что приведенное нами для примера слово есть формула, мы должны рассуждать так. Так

го, что данное слово является формулой, требуется про­ извести его конструкцию по указанной выше схеме, так

Заметим, однако, что данное нами определение части формулы не является точным. Точное определение части формулы имеет также рекурсивный характер, связанный с операциями, употребляемыми при конструкции фор­ мул. Именно, мы сначала высказываем определение ча­ стей элементарных формул, а затем, предполагая, что для формул 21 и 93 уже определены части, определяем