книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Условие достаточно. В самом деле, если такая пара слагаемых найдется, то сумма имеет вид

(слагаемых Y, Z, ... может и не быть). Но сумма XV X тождественно истинна, поэтому и вся рассматриваемая нами сумма тождественна истинна, каковы бы ни были слагаемые Y, Z, ...

Условие необходимо. Допустим, что такой пары сла­

а каждой переменной, стоящей под знаком отрицания, значение И. Это можно сделать, так как ни одна пере­

слагаемое примет значение Л. Тогда и вся элементарная сумма примет значение Л, и, следовательно, формула не является тождественно истинной, что и требовалось до­ казать.

Формула, равносильная данной формуле и представ- 'ляющая собой сумму элементарных произведений, назы­ вается дизъюнктивной нормальной формой данной фор­ мулы.

Как мы уже говорили, все логические операции мож­ но свести к трем: &, V и ~. Предположим, что формулы, для которых мы будем определять нормальные формы, содержат только эти операции. Знак _ можно предпола­ гать отнесенным только к элементарным высказываниям (см. замечание в конце § 2).

Как мы видели выше, с формулой, составленной из переменных и их отрицаний при помощи операций & H V / , можно производить такие же преобразования, как с алге­ браическими выражениями. Можно, следовательно, раскрыть все скобки и представить всякую такую фор­ мулу в виде суммы элементарных произведений. Таким

52 ГЛ. I. АЛГЕБРА В Ы С К А З Ы В А Н И Й

Приведем эту формулу сначала к виду, в котором отри­ цание относится только к элементарным высказываниям:

X&(Y V Z) &(U W).

Затем, применяя закон дистрибутивности, будем раскрывать скобки, производя действия, аналогичные умножению многочленов. Тогда получим

собой произведение элементарных сумм.

Докажем, что для каждой формулы существует конъ­ юнктивная нормальная форма.

Пусть сначала 51— произвольная формула, содержа­ щая только операции &, V и ~. Рассмотрим двойствен­ ную 91 формулу 51*. Пусть 93* — дизъюнктивная нормаль­

дучи дизъюнктивной нормальной формой, представляет собой сумму элементарных произведений. Легко видеть, что двойственная 25* формула 23 является произведением элементарных сумм. И так как 23 равносильна 51, то, сле­ довательно, она является конъюнктивной нормальной формой формулы 51. Так как для каждой формулы суще­ ствует равносильная ей формула, содержащая только операции &, V и ~, то, следовательно, для каждой фор­ мулы существует конъюнктивная нормальная форма, что

итребовалось доказать.

Пр и м е р ы . Найдем дизъюнктивную и конъюнктив­ ную нормальные формы для некоторых формул.

1. Х(Х-> У).

Прежде всего исключим знак ->, заменив формулу следующей:

Х(Ху Y).

Эта формула уже представляет собой конъюнктивную нормальную форму. Раскрыв скобки, получим дизъюнк­ тивную нормальную форму:

XX V XY.

Получим формулу

YVYXY V (X V Y)XY.

Преобразуем эту формулу так, чтобы знак отрицания стоял над элементарными высказываниями:

XYXY V (X V Y) (X V Y).

Раскрывая скобки, получим дизъюнктивную нормальную

Применяя второй дистрибутивный закон, получим конъ­ юнктивную нормальную форму нашей формулы:

(X V Y V X) (X V Y V Y) (X V F V X) (X V ? V F).

дистрибутивные операции, мы можем прийти к различ­ ным нормальным формам. Рассмотрим, например, фор­ мулу

X V Y&Z.

Эта формула представляет собой дизъюнктивную нор­ мальную форму. Однако ее можно привести дистрибу­ тивными операциями и к другой дизъюнктивной нор­ мальной форме. Применив второй закон дистрибутивно­ сти, получим

Применив к этой формуле первый закон дистрибутивно­ сти, получим

XX V XZ V YX V YZ.

Эта формула также является дизъюнктивной нор­ мальной формой формулы X V YZ. Конечно, различные нормальные формы различны лишь по виду. Все они дол­ жны быть равносильны. В дальнейшем (см. § 6) мы вы­ делим среди нормальных форм данной формулы так на­ зываемые совершенные нормальные формы — дизъюнк­ тивную и конъюнктивную.

Пользуясь нормальными формами, можно указать более простое решение проблемы разрешения, чем метод непосредственной проверки. Допустим, что формула 21 тождественно истинна. Рассмотрим ее конъюнктивную

суммой (в частном случае п может быть равно единице). Так как 21' тождественно истинна, то каждый множитель должен быть тождественно истинной формулой. Но 21* — элементарная сумма, а по теореме 1 такая сумма может быть тождественно истинной в том и только в том слу­ чае, когда она содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием. Поэтому, если формула 21 тождественно истинна, то каждый множитель ее конъюнктивной нор­ мальной формы содержит в качестве слагаемых какуюнибудь переменную и ее отрицание. Мы получили, таким

В силу симметричности операций сложения и умно­ жения в логическом исчислении можно аналогичным об­

Выносим из двух последних слагаемых F за скобку:

Y V Y(X V X).

Применив второй дистрибутивный закон, получим конъ­ юнктивную нормальную форму нашей формулы:

(Y V Y) {Y V X V X).

Так как каждый множитель этой формулы содержит какую-нибудь переменную вместе с ее отрицанием, то

X&Y&ZVX&Y&ZVX&Y&Z.

Приведем эту формулу к конъюнктивной нормальной форме. Применив второй дистрибутивный закон, полу­ чим ряд формул, соединенных знаком &:

(X V X V X) (X V X V Y) ...

Среди множителей этой конъюнктивной нормальной фор­

56 ГЛ. I. А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И Й

истинной. Следовательно, и наша исходная формула не

му. И так как ни одно из ее слагаемых не содержит переменной вместе с ее отрицанием, то она не является тождественно ложной; следовательно, она выполнима.

\ J § 5. Представление произвольной двузначной функции посредством формулы алгебры высказываний

принимают только два значения И и Л. Поставим сле­

Каждое слагаемое этой суммы представляет собой произведение, в котором первый множитель является значением функции F при некоторых определенных зна­ чениях переменных Х\,...,Хп, остальные же множители представляют собой переменные Xi или отрицания этих

Вместе с тем рассматриваемая сумма содержит все­ возможные слагаемые указанного вида. Нетрудно ви­ деть, что формула (а) определяет именно функцию F(Xu...,Xn). В самом деле, дадим определенные значе­ ния переменным.

Например,

функции такие формулы, которые содержат только пере­ менные элементарные высказывания.

Допустим, что функция F(Xu...,Xn) не является тождественно ложной. В таком случае при некоторых значениях переменных она принимает значение И.

Впредставлении нашей функции посредством формулы

(а)значение И могут иметь только те слагаемые, у ко­ торых первый множитель имеет значение И (так как при

в сумме (а) мы можем оставить только те слагаемые, у которых первый множитель имеет значение И. Такие слагаемые в рассматриваемом случае должны быть. По­ сле удаления ложных слагаемых в каждом из оставших­

является логической суммой различных произведений

Если функция F(Хи . . . , Хп) не является тождествен­ но истинной, то ее представление в виде формулы, не со­ держащей постоянных элементарных высказываний, мо­

чение Л. Мы можем эту функцию представить следую­ щим образом:

Х\Х2Х^ V Х\Х2Х3.

2. Пусть F(Xh Х2, Х3, Xt) имеет значение И тогда и только тогда, когда хотя бы два каких-нибудь аргумента принимают значение Л. В этом случае удобно прибе­ гнуть к второму представлению функции. Это представ­ ление будет иметь вид

60 ГЛ. I . А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И И

дизъюнктивными нормальными формами. Таким обра­ зом, мы нашли способ выбирать из различных дизъюнк­ тивных нормальных форм, представляющих данную функцию, одну определенную, являющуюся суммой сла­ гаемых вида Х\ ... Х'п. Получаемые таким способом дизъюнктивные нормальные формы мы будем называть

совершенными дизъюнктивными нормальными формами.

Можно дать другое определение совершенной дизъюнк­

сее отрицанием;

d)в каждом слагаемом содержится в качестве мно­

предыдущему. В самом деле, с одной стороны, на осно­

С другой стороны, в силу Ь) и с) никакого другого мно­ жителя это слагаемое содержать не может, так как та­ кой множитель был бы или Xt, или Х{, а в нашем сла­ гаемом уже есть множитель, представляющий собой или

ходимыми и достаточными для того, чтобы дизъюнктив­ ная нормальная форма была совершенной нормальной формой. Вместе с тем эти условия дают возможность высказать правила, нозволяющие приводить любую не тождественную ложную формулу к совершенной дизъ­ юнктивной форме. Опишем эти правила. Пусть дана произвольная формула %\(Хи Хп). Приведем ее