
книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики
.pdf
|
|
§ 2. |
Р А В Н О С И Л Ь Н О С Т Ь |
ФОРМУЛ |
|
41 |
|
X |
Y |
X^Y |
X |
Y |
X~Y |
X |
X |
и |
И |
И |
и |
И |
И |
и |
л |
л |
И |
И |
л |
И |
Л |
л |
и |
и |
Л |
Л |
и |
Л |
Л |
|
|
л |
Л |
И |
л |
• Л |
и |
|
|
§ 2. Равносильность формул
Посредством приведенных операций над высказыва ниями могут быть образованы другие, сколь угодно сложные высказывания. Например,
|
(A&B)VC; |
|
|
((А-+В) |
|
~ |
C)&l(A |
|
|
VB)&C). |
|
|
|||||
Каждая формула представляет собой функцию вхо |
|||||||||||||||||
дящих в нее букв А , В, . . . |
Мы |
будем |
называть |
|
две |
||||||||||||
формулы |
21 |
и |
23 |
равносильными, |
|
если |
при любых |
зна |
|||||||||
чениях |
Хи |
Xz, |
..., Хп, |
где |
Хи |
Хч, |
..., |
|
Хп—совокупность |
||||||||
всех переменных, |
входящих |
в |
21 и |
23, |
эти формулы |
при |
|||||||||||
нимают одинаковые |
значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
П р и м е р ы : |
|
X |
равносильно |
|
X, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
X |
|
У X |
равносильно |
|
X, |
|
|
|
|
||||
|
|
(X |
& X) V У |
равносильно |
|
Y, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
X V X |
равносильно |
|
Y V У» |
|
|
|
|||||||
Между понятием равносильности и знаком эквива |
|||||||||||||||||
лентности |
~ |
|
существует |
следующая |
|
связь: если |
фор |
||||||||||
мулы |
21 и 23 |
равносильны, |
то формула |
21 ~ 23 |
прини |
||||||||||||
мает значение |
И |
при всех |
значениях |
переменных, |
|
и об* |
|||||||||||
ратно: |
если |
формула |
21 ~ |
23 |
принимает |
значение |
И |
||||||||||
при всех |
значениях |
переменных, |
|
то |
формулы |
21 |
и |
23 |
|||||||||
равносильны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Справедливость |
этого утверждения |
непосредственно |
|||||||||||||||
вытекает |
из |
определения |
операции |
~ . |
Легко |
видеть, |
что отношение равносильности двух формул симметрич но и транзитивно.
42 |
ГЛ. I. А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И Й |
При |
определении равносильности двух формул не |
обязательно предполагать, что они содержат одни и те же переменные. Так, в третьем и четвертом примерах мы имеем случай, когда в равносильные формулы вхо
дят разные переменные. Вместе с тем |
очевидно, |
что |
|
если какая-нибудь переменная |
входит |
только в |
одну |
из двух равносильных формул, |
то эта |
формула |
при |
всех значениях переменной принимает одно и то же значение, если значения других переменных фиксиро
ваны. Иными |
словами, хотя эта |
переменная |
и |
входит |
|||||
в формулу, |
но |
функция, определенная |
рассматривае |
||||||
мой формулой, от этой переменной не зависит. |
|
|
|||||||
Приведем важнейшие примеры равносильных фор |
|||||||||
мул: |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равносильно |
X, |
|
|
|
(1) |
||
|
Х&Y |
равносильно |
Y&X, |
|
|
|
(2) |
||
(X&Y)&Z |
|
равносильно |
X&(Y&Z), |
|
|
|
(3) |
||
Ху |
Y |
равносильно |
Y |
УХ, |
|
|
|
(4) |
|
(XVY)VZ |
|
равносильно |
X |
У (Y у |
Z), |
|
|
(5) |
|
X&(Y |
V Z) |
равносильно |
(X&Y) у |
{X&Z), |
(6) |
||||
Xy |
(Y&Z) |
равносильно |
(X |
У Y) & (X |
у |
Z), |
(7) |
||
X V (X & Y) |
равносильно |
х, |
|
|
|
|
(8) |
||
X&(X |
V Y) |
равносильно |
X, |
|
|
|
|
(9) |
|
(XVY) |
|
равносильно |
X&Y, |
|
|
|
(10) |
||
(X&Y) |
равносильно |
XVY, |
|
|
|
(И) |
|||
X V |
x |
равносильно |
X, |
|
|
|
(12) |
||
XV |
X |
равносильно |
и, |
|
|
|
|
(13) |
|
X&. X |
равносильно |
X, |
|
|
|
(14) |
|||
x&x |
равносильно |
л, |
|
|
|
|
(15) |
||
Х&И |
равносильно |
х, |
|
|
|
|
(16) |
||
х |
у |
л |
равносильно |
X, |
|
|
|
(17) |
§ |
2. |
РАВНОСИЛЬНОСТЬ |
ФОРМУЛ |
43 |
Соотношения |
(1) — (17) легко |
проверяются |
на осно- |
|
вании определения |
операций &, V |
и - . В тех |
вопросах, |
в которых равносильные формулы равноправны, т. е. могут быть заменены одна другой, соотношения рав носильности позволяют производить над формулами преобразования, приводящие их к более простому или
более удобному |
виду. |
|
|
|
|
|
||
Например, |
((X V Х)& Y) V (X V X) |
равносильно |
||||||
(X & У) V (X V X), что |
в |
свою |
очередь |
равносильно |
||||
(Х& |
Y)V |
X. |
|
|
|
|
|
|
Таким же образом в любой формуле можно заме |
||||||||
нить |
любую ее |
часть равносильной формулой, и при |
||||||
этом получится формула, равносильная данной. |
|
|||||||
Соотношения |
(2), (3), (4), (5) указывают, что дей |
|||||||
ствия, определенные знаками & и V , подчинены зако |
||||||||
нам |
коммутативности |
и |
ассоциативности. |
Поэтому, |
||||
если |
формула |
51 составлена из |
формул |
51 ь |
912, ••• |
|||
. . . , 91п только |
посредством операции &, то, в каком Сы |
|||||||
порядке |
мы ни |
производили |
эти операции, всегда |
полу |
чим формулу, равносильную формуле 91. Мы будем та
кую формулу |
21 представлять |
в виде выражения |
|||
|
Я, & и 2 & . . . |
& и„, |
|
|
|
в котором все скобки, заключающие |
в себе |
формулы |
|||
91*, опущены. Точно так же, |
если формула 91 составле |
||||
на из формул |
91), 512, . . . , 91п |
только |
посредством опе |
||
рации V , мы будем изображать ее в виде |
|
||||
|
91, V 912 V |
• • • V Я„. |
|
|
|
Соотношение |
(6) указывает, |
что операция & |
дистрибу |
||
тивна относительно операции V , подобно тому как |
|||||
обычное арифметическое |
умножение |
дистрибутивно |
относительно сложения. В силу этой аналогии мы бу
дем операцию |
& называть |
умножением, |
а операцию |
||||||
V — сложением. |
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение |
91i&912 & |
... &9l„ |
будем |
называть |
ло |
||||
гическим |
произведением, |
а |
члены |
его 91, — множите |
|||||
лями. Знак & иногда |
опускают. |
|
|
|
|||||
Выражение |
9li V 9I2 V ... V 91„ |
будем |
называть |
ло |
|||||
гической |
суммой, а |
члены |
его 91* — слагаемыми. |
|
|||||
Аналогия |
между |
законами |
коммутативности и ассо |
||||||
циативности |
сложения и умножения и дистрибутивности |
44 ГЛ. I . АЛГЕБРА В Ы С К А З Ы В А Н И Й
умножения относительно сложения в алгебре высказы ваний и такими же законами для сложения и умноже ния чисел ведет к тому, что над формулами алгебры высказываний можно производить преобразования раскрытия скобок, заключения в скобки, вынесения за скобки общего множителя так же, как и в обычной алгебре.
На основании соотношения (7) операция V также дистрибутивна относительно операции &. Поэтому
иногда, наоборот, |
операцию |
V |
называют |
умножением, |
|||||
а операцию |
& — сложением, |
и при этом указанная |
ана |
||||||
логия с алгеброй |
сохраняется. |
|
|
|
|
||||
Преобразования, представляющие |
собой |
применение |
|||||||
законов дистрибутивности |
(6) |
и (7), |
мы |
будем назы |
|||||
вать |
дистрибутивными операциями. |
Соотношение |
(6) |
||||||
будем |
называть |
первым |
дистрибутивным |
законом, |
а |
||||
соотношение |
(7) — вторым |
|
дистрибутивным |
законом. |
Можно еще упростить запись формул, опуская неко торые скобки и считая при этом, что действие умно жения предшествует действию сложения, а действия
сложения |
и |
умножения предшествуют |
действиям |
-> и |
||||
~ . |
Или, |
как |
говорят |
еще: умножение |
связывает |
силь |
||
нее сложения, умножение и сложение связывают |
силь |
|||||||
нее действий —>- и ~ . |
Кроме того, |
будем |
считать, |
что |
||||
знак |
-, |
стоящий над |
формулой, |
делает |
излишними |
скобки, в которые заключена эта формула. Так, напри мер, формулу
будем понимать как |
XY |
V ZU |
|
|
|
|
|
(X&Y) |
V |
(Z&U); |
|
формулу |
|
|
|
XVY-+ZU |
|
||
как |
|
|
|
{XVY)-*(Z&U), |
|
||
а формулу |
|
|
|
T\/~Y&Z |
|
||
как |
V Y) & |
|
|
(X |
Z. |
||
Система элементов, |
на |
которой определены дейст |
|
вия сложения, умножения |
и отрицания, удовлетворяю- |
|
§ 2. Р А В Н О С И Л Ь Н О С Т Ь ФОРМУЛ |
|
|
|
45 |
|||
щая |
зависимостям |
(1) — (17), |
называется |
алгеброй |
||||
Буля. |
Итак, можно |
сказать, что |
высказывания |
и |
основ |
|||
ные логические операции &, V , |
~ |
представляют |
собой |
|||||
алгебру Буля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако существуют и иные |
системы |
вещей |
|
(не |
ло |
|||
гические системы), |
также образующие алгебру Буля. |
|||||||
Например, система |
подмножеств |
некоторого множества |
||||||
R, для которой сложение является |
теоретико-множест |
|||||||
венным сложением, |
умножение — теоретико-множествен |
|||||||
ным |
пересечением, |
отрицание — взятием |
дополнения |
до |
R, также является алгеброй Буля (в которой роль И играет всё множество R, а роль Л— его пустое подмно жество) .
Укажем еще систему, удовлетворяющую значительной части соотношений (1) —(17). Пусть М —какое-то огра ниченное множество действительных чисел, содержащее свою верхнюю грань р и нижнюю грань q. Пусть, кроме
в + а
того, М симметрично относительно точки —^— , кото рую назовем центром множества М. Иначе говоря, если х^М, то точка х', симметрично расположенная относи тельно центра, также принадлежит М. Действия сложе ния, умножения и отрицания определены следующим образом. Сохранив за этими действиями логические зна ки, мы положим, что
х V У = |
птах (х, |
у), |
х & у — min (х, у), |
|
||
а х есть точка, симметричная х. Нетрудно |
убедиться, что |
|||||
все свойства |
(1)—(17), |
за |
исключением |
(13) |
и (15), |
|
выполнены для указанных |
операций (роль И здесь иг |
|||||
рает р, а роль Л играет |
q). |
|
|
|
||
В том случае, когда множество М состоит из двух |
||||||
чисел 0 и 1, |
эта |
система |
представляет |
собой |
алгебру |
высказываний, в которой символы Л и И заменены со ответственно числами 0 и 1.
Логические операции &, V , ~ и ~ не являются независимыми друг от друга. Одни из них можно вы ражать через другие так, что при этом получаются рав носильные формулы. Например, анак ~ мо'жет быть вы
ражен через |
знаки -у и & на |
основании соотношения |
|
X~Y |
равносильно |
(Х-> Y) & (Y -> X), |
(18) |
46 ГЛ. I . А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И Й
которое легко доказывается на основании определения
действий |
~ , |
->• и &. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Знак |
-> |
может |
быть выражен через знаки V |
и .-: |
|||||||||||||
|
|
|
X->Y |
|
равносильно |
X |
V |
Y. |
|
|
|
|
|||||
Таким |
образом, |
знак |
~ |
может |
быть |
выражен через |
|||||||||||
знаки &, V и ~: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
~ |
Y |
равносильно |
|
(X |
V Y) & (У V X). |
|
(19) |
||||||||
Знак |
~ |
может |
быть |
выражен |
через |
знаки |
&, V |
и ~ |
|||||||||
еще иначе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
X ~ Y |
равносильно |
X & У V X & У, |
|
|
(20) |
||||||||||
что также легко |
доказывается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Итак, |
знаки |
->- |
и |
~ |
можно |
выразить |
через |
знаки |
|||||||||
& , V |
и ~. Можно |
пойти и |
дальше |
и |
исключить |
еще " |
|||||||||||
один знак, & или V , по выбору. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Покажем, как выразить & через V |
и _ . |
|
|
|
|
||||||||||||
На основании зависимости (10) мы имеем |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
X & Y |
|
равносильно |
|
X V |
Y. |
|
|
|
|
|||||
На основании (1) |
X |
и |
У можно |
заменить |
через |
X |
и У, |
||||||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Z & y |
|
равносильно |
X V У- |
|
|
|
|
|||||||
Знак |
& выражен, |
таким |
образом, |
через |
знаки |
V |
|||||||||||
и - . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, все операции посредством равносильных вы |
|||||||||||||||||
ражений можно заменить двумя: V |
и ~. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Аналогичным |
образом, используя |
(11), |
можно |
все |
|||||||||||||
операции заменить на & и ~. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
З а м е ч а н и е . |
Если формула |
31 |
содержит |
только |
|||||||||||||
операции |
&, V |
и ~, |
то |
на основании |
соотношений |
(1), |
|||||||||||
(10) и (11) ее можно преобразовать |
к такому |
виду, что |
|||||||||||||||
знаки отрицания будут относиться только к элементар |
|||||||||||||||||
ным высказываниям. В самом деле, если знак отри |
|||||||||||||||||
цания |
стоит |
над |
суммой: 31 V |
33, то эту |
формулу мож |
||||||||||||
но заменить на основании (10) произведением |
21 & 33; |
||||||||||||||||
если |
знак - |
стоит |
над |
произведением: |
31 & 33, |
то |
эту |
||||||||||
формулу |
можно |
заменить |
суммой |
31 V 33; |
если |
же |
§ 3. ЗАКОН Д В О Й С Т В Е Н Н О С Т И |
47 |
знак отрицания стоит над знаком отрицания: 31, то на
основании (1) оба эти знака можно |
удалить. |
Делая |
|
такие преобразования, мы |
приведем |
формулу |
к тако |
му виду, в котором знак |
отрицания |
относится |
только |
кэлементарным высказываниям.
Пр и м е р ы.
|
1. |
X V |
Y. |
|
|
|
|
|
Преобразовав эту формулу на основании соотноше |
||||||
ния |
(10), получим равносильную |
формулу: |
|
||||
|
|
|
|
X&Y. |
|
|
|
На |
основании |
соотношения |
(1) |
двойные |
знаки отри |
||
цания |
можно |
удалить, и |
тогда |
получим |
окончатель |
||
ную формулу: |
X &.Y. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
2. |
X&Y |
V |
Z. |
|
|
|
|
Преобразовав эту формулу на основании соотноше |
|||||||
ния |
(10), получим формулу • |
|
|
|
T&Y&Z.
Преобразовав первый множитель на основании соот ношения (11), получим
(X V Y) & Z.
Удалив во втором множителе двойное отрицание, по лучим окончательно
(X V Y) & Z.
§3. Закон двойственности
Вэтом параграфе мы будем рассматривать формулы, содержащие только операции &, V и ~. Как уже уста новлено выше, всякая формула может быть приведена преобразованиями равносильности к такому виду.
Будем |
говорить, |
что |
операция |
& |
двойственна |
опе |
||||
рации |
V |
и наоборот. |
Введем |
также |
понятие |
двойст |
||||
венных |
формул. Формулы |
31 и |
31* называются |
двойст |
||||||
венными, |
если |
одна получается |
из |
другой заменой |
каж |
|||||
дой операции |
на двойственную. |
|
|
|
. . |
|
48 |
ГЛ. I . А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И Й |
|
П р и м е р ы . |
|
|
1. (X\/Y)&.Z |
двойственно X&YV |
Z. |
2. X V Y&. (X V Y&Z) двойственно |
X&Y V X&Y V Z. |
3.Х&Y V Y&Z VU&V двойственно (X V Y)& (Y V Z)&
&(U V Ю-
4. Х&(Г WZ&(U V V)) двойственно X V |
|
(2 |
VU&V). |
||||||
Как для операций, так и для |
формул |
отношение |
|||||||
двойственности |
взаимно: если |
91* двойственно 91, то и, |
|||||||
наоборот, 91 двойственно 91*. |
|
|
|
|
|
|
|||
Из |
равносильностей (10) и |
(11) |
легко |
вывести сле |
|||||
дующее положение: |
если |
формулы |
91 (Хи |
. . . , Хп) и |
|||||
91*(Xi, |
Хп) |
двойственны, |
а |
Хи |
Хп |
— все |
вхо |
||
дящие |
в них элементарные |
высказывания, |
то 91 (Х\, . . . |
||||||
.. ., Хп) |
равносильно |
91* (А7!, Я% ... , |
Хп). |
|
|
|
Из этого соотношения в свою очередь вытекает так называемый закон двойственности, который формули руется следующим образом.
Если |
формулы |
91 и 23 равносильны, |
то и |
двойствен |
|||||||||||
ные им формулы |
91* и 23* также равносильны. |
|
|
• |
|||||||||||
Пусть |
|
9l(J,, |
.. ., Хп) |
и |
53 (Хи |
|
Хп) |
—равно |
|||||||
сильные |
формулы, а Х\, . . ., Хп — входящие в них эле |
||||||||||||||
ментарные высказывания. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
W (Хь |
•••> |
Хп) |
равносильно |
91 (Х1г |
|
Хп), |
|
||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23*(Хь |
|
Хп) |
равлосильно |
93(Хи |
|
Хп). |
|
||||||||
Из |
|
равносильности |
формул |
|
91 (Хи |
|
....,Хп) |
и |
|||||||
23(Aj, |
|
|
Хп ) |
|
сле_дует |
равносильность |
|
формул |
|||||||
91(^1, |
|
А'„) и 23(^1, |
|
Хп), |
так как в |
силу опре |
|||||||||
деления |
равносильности |
91 ( Z B |
|
Хп) |
и |
23(Хи ... |
|||||||||
. . . . A"„) принимают одинаковые значения |
|
при любых |
|||||||||||||
значениях |
переменных |
Хи |
|
Хп, |
а |
следовательно, |
и |
||||||||
при значениях Хи |
.. ., |
Хп. |
|
|
|
91 (Хи |
Хп) |
|
|||||||
В |
силу_ |
сказанного |
формулы |
и |
|||||||||||
23(^1, |
|
|
Хп) |
|
равносильны, |
а |
|
тогда |
|
формулы |
|||||
9l(ZI , |
|
|
Хп) |
и |
23(^1, |
|
Хп) |
также |
равносильны. |
||||||
Так как 91*(Хи |
|
Хп) |
и 23*(Хи |
.._., |
Хп) |
равносиль |
|||||||||
ны |
соответственно |
|
формулам |
|
91(^1, |
|
Хп) |
и |
|||||||
®{Х\, |
, , ж , А„), то они |
равносильны |
между |
собой, |
|
§ 4. П Р О Б Л Е М А Р А З Р Е Ш Е Н И Я |
49 |
Если, применяя к формуле 21 дистрибутивные пре образования на основании первого дистрибутивного закона, мы получим формулу 93, то переход от двой ственной формулы 21* к двойственной формуле S3* осу ществляется дистрибутивными преобразованиями на основании второго дистрибутивного закона. Переход от 21* к 33* мы будем называть преобразованием, двойст венным преобразованию, переводящему 21 в 33.
§ 4. Проблема разрешения
Будем называть формулу тождественно истинной, если она при всех значениях входящих в нее переменных вы сказываний принимает значение И. Примерами тождественно истинных формул являются формулы:
1 Л V I ; 2. X->(Y^X); |
3. |
X&(X->Y)-+Y. |
Будем называть формулу выполнимой, если она принимает значение И при некоторых значениях входя щих в нее переменных высказываний. Выполнимыми являются формулы:
|
1. X; |
2. X V Y; |
3. |
Х->Х. |
|
Будем |
называть |
формулу |
невыполнимой |
или тож |
|
дественно |
ложной, |
если она при всех значениях входя |
|||
щих в нее |
переменных принимает |
значение Л. |
Отрица |
ние тождественно истинной формулы будет, очевидно, тождественно ложной формулой, и обратно.
Можно поставить следующую задачу: указать еди ный способ (алгоритм), позволяющий для каждой фор
мулы |
выяснить, является она |
тождественно истинной |
|
или нет. Имея такой способ, |
мы одновременно |
полу- |
|
чим |
также и способ узнавать, |
будет ли данная |
фор |
мула выполнимой или пет. В самом деле, имея возмож ность конечным числом действий проверить, является ли произвольная формула тождественно истинной или нет, мы можем для произвольной формулы 21 решить
вопрос, |
является ли |
21 тождественно |
истинной |
форму |
||||
лой |
или |
нет. |
Если |
21 оказалась |
тождественно истин |
|||
ной, |
то |
это значит, |
что 21 тождественно |
ложная и, |
||||
следовательно, |
невыполнимая; |
если |
21 |
не |
является |
50 |
ГЛ. I. А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И И |
|
|||
тождественно |
истинной, то, значит, |
21 не является тожде |
|||
ственно ложной |
и, следовательно, |
будет выполнимой. |
|||
Поставленная |
задача |
носит |
название |
проблемы |
|
разрешения. |
Она |
ставится |
не только для алгебры вы |
сказываний, но и для других логических систем. Для алгебры высказываний эта проблема легко решается.
Пусть |
2l(A'i, |
Х„) |
— формула |
алгебры |
высказы |
||||
ваний, |
содержащая |
элементарные |
высказывания Хи |
||||||
Х2, ..., |
Хп. |
Эта формула |
определяет |
некоторую функ |
|||||
цию переменных Х\, Х2, |
. .., |
Хп, |
причем |
как |
перемен |
||||
ные Хи |
Х2, ... ,Хп, |
так |
и |
функция |
21 |
могут |
прини |
||
мать лишь два значения; число |
возможных комбина |
||||||||
ций значений переменных |
Хи |
..., |
Хп |
конечно |
и равно |
в точности 2". Для каждой такой комбинации мы мо
жем |
узнать |
значение |
формулы |
21, подставив |
вместо |
||||||
Хи |
•••, |
Хп |
их значения |
и вычислив |
затем |
значение |
|||||
формулы |
21, что, |
как |
мы |
знаем, |
достигается конечным |
||||||
числом действий. |
Узнав значение |
формулы |
21 для |
каж |
|||||||
дой |
комбинации |
значений |
переменных |
Хи |
• • •, Хп, |
мы |
выясним, является ли она тождественно истинной или нет.
Изложенный способ, конечно, дает принципиальное решение проблемы разрешения, но число испытаний, которые необходимо произвести даже для несложных формул, настолько велико, что часто такая прямая про
верка является |
практически |
неосуществимой. |
|
||||
Существует другой способ, основанный на приведе |
|||||||
нии формул |
к |
так |
называемой |
«нормальной |
форме». |
||
Нормальные |
формы |
употребляются и в других вопро |
|||||
сах математической |
логики. |
|
|
|
|
||
Будем называть |
элементарным |
произведением |
(со |
||||
ответственно — элементарной |
суммой) |
произведение |
(сумму) переменных и их отрицаний. Термин «сумма элементарных произведений» (соответственно — «про изведение элементарных сумм») будем лонимать рас ширенно, включая в него и случай, когда сумма сво
дится к одному |
слагаемому |
(соответственно |
произведе |
|||||||
ние — к одному |
множителю). |
|
|
|
|
|
||||
|
Т е о р е м а |
1. |
Чтобы элементарная |
сумма |
была |
|||||
тождественно истинной, |
необходимо |
и |
достаточно, |
что |
||||||
бы |
в ней |
содержалась |
хотя |
бы одна |
пара |
слагаемых, |
||||
из |
которых одно |
есть |
некоторая |
переменная, |
а |
дру |
||||
гое — ее |
отрицание. |
|
|
|
|
|
|