книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

§ 2.

Р А В Н О С И Л Ь Н О С Т Ь

ФОРМУЛ

41

X

Y

X^Y

X

Y

X~Y

X

X

и

И

И

и

И

И

и

л

л

И

И

л

И

Л

л

и

и

Л

Л

и

Л

Л

л

Л

И

л

• Л

и

(A&B)VC;

((А-+В)

~

C)&l(A

VB)&C).

Каждая формула представляет собой функцию вхо­

дящих в нее букв А , В, . . .

Мы

будем

называть

две

формулы

21

и

23

равносильными,

если

при любых

зна­

чениях

Хи

Xz,

..., Хп,

где

Хи

Хч,

...,

Хп—совокупность

всех переменных,

входящих

в

21 и

23,

эти формулы

при­

нимают одинаковые

значения.

П р и м е р ы :

X

равносильно

X,

X

У X

равносильно

X,

(X

& X) V У

равносильно

Y,

X V X

равносильно

Y V У»

Между понятием равносильности и знаком эквива­

лентности

~

существует

следующая

связь: если

фор­

мулы

21 и 23

равносильны,

то формула

21 ~ 23

прини­

мает значение

И

при всех

значениях

переменных,

и об*

ратно:

если

формула

21 ~

23

принимает

значение

И

при всех

значениях

переменных,

то

формулы

21

и

23

равносильны.

Справедливость

этого утверждения

непосредственно

вытекает

из

определения

операции

~ .

Легко

видеть,

42

ГЛ. I. А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И Й

При

определении равносильности двух формул не

дят разные переменные. Вместе с тем

очевидно,

что

если какая-нибудь переменная

входит

только в

одну

из двух равносильных формул,

то эта

формула

при

ваны. Иными

словами, хотя эта

переменная

и

входит

в формулу,

но

функция, определенная

рассматривае­

мой формулой, от этой переменной не зависит.

Приведем важнейшие примеры равносильных фор­

мул:

X

равносильно

X,

(1)

Х&Y

равносильно

Y&X,

(2)

(X&Y)&Z

равносильно

X&(Y&Z),

(3)

Ху

Y

равносильно

Y

УХ,

(4)

(XVY)VZ

равносильно

X

У (Y у

Z),

(5)

X&(Y

V Z)

равносильно

(X&Y) у

{X&Z),

(6)

Xy

(Y&Z)

равносильно

(X

У Y) & (X

у

Z),

(7)

X V (X & Y)

равносильно

х,

(8)

X&(X

V Y)

равносильно

X,

(9)

(XVY)

равносильно

X&Y,

(10)

(X&Y)

равносильно

XVY,

(И)

X V

x

равносильно

X,

(12)

XV

X

равносильно

и,

(13)

X&. X

равносильно

X,

(14)

x&x

равносильно

л,

(15)

Х&И

равносильно

х,

(16)

х

у

л

равносильно

X,

(17)

§

2.

РАВНОСИЛЬНОСТЬ

ФОРМУЛ

43

Соотношения

(1) — (17) легко

проверяются

на осно-

вании определения

операций &, V

и - . В тех

вопросах,

более удобному

виду.

Например,

((X V Х)& Y) V (X V X)

равносильно

(X & У) V (X V X), что

в

свою

очередь

равносильно

(Х&

Y)V

X.

Таким же образом в любой формуле можно заме­

нить

любую ее

часть равносильной формулой, и при

этом получится формула, равносильная данной.

Соотношения

(2), (3), (4), (5) указывают, что дей­

ствия, определенные знаками & и V , подчинены зако­

нам

коммутативности

и

ассоциативности.

Поэтому,

если

формула

51 составлена из

формул

51 ь

912, •••

. . . , 91п только

посредством операции &, то, в каком Сы

порядке

мы ни

производили

эти операции, всегда

полу­

кую формулу

21 представлять

в виде выражения

Я, & и 2 & . . .

& и„,

в котором все скобки, заключающие

в себе

формулы

91*, опущены. Точно так же,

если формула 91 составле­

на из формул

91), 512, . . . , 91п

только

посредством опе­

рации V , мы будем изображать ее в виде

91, V 912 V

• • • V Я„.

Соотношение

(6) указывает,

что операция &

дистрибу­

тивна относительно операции V , подобно тому как

обычное арифметическое

умножение

дистрибутивно

дем операцию

& называть

умножением,

а операцию

V — сложением.

Выражение

91i&912 &

... &9l„

будем

называть

ло­

гическим

произведением,

а

члены

его 91, — множите­

лями. Знак & иногда

опускают.

Выражение

9li V 9I2 V ... V 91„

будем

называть

ло­

гической

суммой, а

члены

его 91* — слагаемыми.

Аналогия

между

законами

коммутативности и ассо­

циативности

сложения и умножения и дистрибутивности

иногда, наоборот,

операцию

V

называют

умножением,

а операцию

& — сложением,

и при этом указанная

ана­

логия с алгеброй

сохраняется.

Преобразования, представляющие

собой

применение

законов дистрибутивности

(6)

и (7),

мы

будем назы­

вать

дистрибутивными операциями.

Соотношение

(6)

будем

называть

первым

дистрибутивным

законом,

а

соотношение

(7) — вторым

дистрибутивным

законом.

сложения

и

умножения предшествуют

действиям

-> и

~ .

Или,

как

говорят

еще: умножение

связывает

силь­

нее сложения, умножение и сложение связывают

силь­

нее действий —>- и ~ .

Кроме того,

будем

считать,

что

знак

-,

стоящий над

формулой,

делает

излишними

будем понимать как

XY

V ZU

(X&Y)

V

(Z&U);

формулу

XVY-+ZU

как

{XVY)-*(Z&U),

а формулу

T\/~Y&Z

как

V Y) &

(X

Z.

Система элементов,

на

которой определены дейст­

вия сложения, умножения

и отрицания, удовлетворяю-

§ 2. Р А В Н О С И Л Ь Н О С Т Ь ФОРМУЛ

45

щая

зависимостям

(1) — (17),

называется

алгеброй

Буля.

Итак, можно

сказать, что

высказывания

и

основ­

ные логические операции &, V ,

~

представляют

собой

алгебру Буля.

Однако существуют и иные

системы

вещей

(не

ло­

гические системы),

также образующие алгебру Буля.

Например, система

подмножеств

некоторого множества

R, для которой сложение является

теоретико-множест­

венным сложением,

умножение — теоретико-множествен­

ным

пересечением,

отрицание — взятием

дополнения

до

х V У =

птах (х,

у),

х & у — min (х, у),

а х есть точка, симметричная х. Нетрудно

убедиться, что

все свойства

(1)—(17),

за

исключением

(13)

и (15),

выполнены для указанных

операций (роль И здесь иг­

рает р, а роль Л играет

q).

В том случае, когда множество М состоит из двух

чисел 0 и 1,

эта

система

представляет

собой

алгебру

ражен через

знаки -у и & на

основании соотношения

X~Y

равносильно

(Х-> Y) & (Y -> X),

(18)

действий

~ ,

->• и &.

Знак

->

может

быть выражен через знаки V

и .-:

X->Y

равносильно

X

V

Y.

Таким

образом,

знак

~

может

быть

выражен через

знаки &, V и ~:

X

~

Y

равносильно

(X

V Y) & (У V X).

(19)

Знак

~

может

быть

выражен

через

знаки

&, V

и ~

еще иначе:

X ~ Y

равносильно

X & У V X & У,

(20)

что также легко

доказывается.

Итак,

знаки

->-

и

~

можно

выразить

через

знаки

& , V

и ~. Можно

пойти и

дальше

и

исключить

еще "

один знак, & или V , по выбору.

Покажем, как выразить & через V

и _ .

На основании зависимости (10) мы имеем

X & Y

равносильно

X V

Y.

На основании (1)

X

и

У можно

заменить

через

X

и У,

и, следовательно,

Z & y

равносильно

X V У-

Знак

& выражен,

таким

образом,

через

знаки

V

и - .

Итак, все операции посредством равносильных вы­

ражений можно заменить двумя: V

и ~.

Аналогичным

образом, используя

(11),

можно

все

операции заменить на & и ~.

З а м е ч а н и е .

Если формула

31

содержит

только

операции

&, V

и ~,

то

на основании

соотношений

(1),

(10) и (11) ее можно преобразовать

к такому

виду, что

знаки отрицания будут относиться только к элементар­

ным высказываниям. В самом деле, если знак отри­

цания

стоит

над

суммой: 31 V

33, то эту

формулу мож­

но заменить на основании (10) произведением

21 & 33;

если

знак -

стоит

над

произведением:

31 & 33,

то

эту

формулу

можно

заменить

суммой

31 V 33;

если

же

§ 3. ЗАКОН Д В О Й С Т В Е Н Н О С Т И

47

основании (1) оба эти знака можно

удалить.

Делая

такие преобразования, мы

приведем

формулу

к тако­

му виду, в котором знак

отрицания

относится

только

1.

X V

Y.

Преобразовав эту формулу на основании соотноше­

ния

(10), получим равносильную

формулу:

X&Y.

На

основании

соотношения

(1)

двойные

знаки отри­

цания

можно

удалить, и

тогда

получим

окончатель­

ную формулу:

X &.Y.

2.

X&Y

V

Z.

Преобразовав эту формулу на основании соотноше­

ния

(10), получим формулу •

Будем

говорить,

что

операция

&

двойственна

опе­

рации

V

и наоборот.

Введем

также

понятие

двойст­

венных

формул. Формулы

31 и

31* называются

двойст­

венными,

если

одна получается

из

другой заменой

каж­

дой операции

на двойственную.

. .

48

ГЛ. I . А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И Й

П р и м е р ы .

1. (X\/Y)&.Z

двойственно X&YV

Z.

2. X V Y&. (X V Y&Z) двойственно

X&Y V X&Y V Z.

4. Х&(Г WZ&(U V V)) двойственно X V

(2

VU&V).

Как для операций, так и для

формул

отношение

двойственности

взаимно: если

91* двойственно 91, то и,

наоборот, 91 двойственно 91*.

Из

равносильностей (10) и

(11)

легко

вывести сле­

дующее положение:

если

формулы

91 (Хи

. . . , Хп) и

91*(Xi,

Хп)

двойственны,

а

Хи

Хп

— все

вхо­

дящие

в них элементарные

высказывания,

то 91 (Х\, . . .

.. ., Хп)

равносильно

91* (А7!, Я% ... ,

Хп).

Если

формулы

91 и 23 равносильны,

то и

двойствен­

ные им формулы

91* и 23* также равносильны.

•

Пусть

9l(J,,

.. ., Хп)

и

53 (Хи

Хп)

—равно­

сильные

формулы, а Х\, . . ., Хп — входящие в них эле­

ментарные высказывания. Тогда

W (Хь

•••>

Хп)

равносильно

91 (Х1г

Хп),

а

23*(Хь

Хп)

равлосильно

93(Хи

Хп).

Из

равносильности

формул

91 (Хи

....,Хп)

и

23(Aj,

Хп )

сле_дует

равносильность

формул

91(^1,

А'„) и 23(^1,

Хп),

так как в

силу опре­

деления

равносильности

91 ( Z B

Хп)

и

23(Хи ...

. . . . A"„) принимают одинаковые значения

при любых

значениях

переменных

Хи

Хп,

а

следовательно,

и

при значениях Хи

.. .,

Хп.

91 (Хи

Хп)

В

силу_

сказанного

формулы

и

23(^1,

Хп)

равносильны,

а

тогда

формулы

9l(ZI ,

Хп)

и

23(^1,

Хп)

также

равносильны.

Так как 91*(Хи

Хп)

и 23*(Хи

.._.,

Хп)

равносиль­

ны

соответственно

формулам

91(^1,

Хп)

и

®{Х\,

, , ж , А„), то они

равносильны

между

собой,

§ 4. П Р О Б Л Е М А Р А З Р Е Ш Е Н И Я

49

1 Л V I ; 2. X->(Y^X);

3.

X&(X->Y)-+Y.

1. X;

2. X V Y;

3.

Х->Х.

Будем

называть

формулу

невыполнимой

или тож­

дественно

ложной,

если она при всех значениях входя­

щих в нее

переменных принимает

значение Л.

Отрица­

мулы

выяснить, является она

тождественно истинной

или нет. Имея такой способ,

мы одновременно

полу-

чим

также и способ узнавать,

будет ли данная

фор­

вопрос,

является ли

21 тождественно

истинной

форму­

лой

или

нет.

Если

21 оказалась

тождественно истин­

ной,

то

это значит,

что 21 тождественно

ложная и,

следовательно,

невыполнимая;

если

21

не

является

50

ГЛ. I. А Л Г Е Б Р А В Ы С К А З Ы В А Н И И

тождественно

истинной, то, значит,

21 не является тожде­

ственно ложной

и, следовательно,

будет выполнимой.

Поставленная

задача

носит

название

проблемы

разрешения.

Она

ставится

не только для алгебры вы­

Пусть

2l(A'i,

Х„)

— формула

алгебры

высказы­

ваний,

содержащая

элементарные

высказывания Хи

Х2, ...,

Хп.

Эта формула

определяет

некоторую функ­

цию переменных Х\, Х2,

. ..,

Хп,

причем

как

перемен­

ные Хи

Х2, ... ,Хп,

так

и

функция

21

могут

прини­

мать лишь два значения; число

возможных комбина­

ций значений переменных

Хи

...,

Хп

конечно

и равно

жем

узнать

значение

формулы

21, подставив

вместо

Хи

•••,

Хп

их значения

и вычислив

затем

значение

формулы

21, что,

как

мы

знаем,

достигается конечным

числом действий.

Узнав значение

формулы

21 для

каж­

дой

комбинации

значений

переменных

Хи

• • •, Хп,

мы

верка является

практически

неосуществимой.

Существует другой способ, основанный на приведе­

нии формул

к

так

называемой

«нормальной

форме».

Нормальные

формы

употребляются и в других вопро­

сах математической

логики.

Будем называть

элементарным

произведением

(со­

ответственно — элементарной

суммой)

произведение

дится к одному

слагаемому

(соответственно

произведе­

ние — к одному

множителю).

Т е о р е м а

1.

Чтобы элементарная

сумма

была

тождественно истинной,

необходимо

и

достаточно,

что­

бы

в ней

содержалась

хотя

бы одна

пара

слагаемых,

из

которых одно

есть

некоторая

переменная,

а

дру­

гое — ее

отрицание.