Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4140 41 > Следующая >>>

§ 12. У С И Л Е Н Н А Я ТЕОРЕМА О Н Е З А В И С И М О С Т И

391

Формула (6) получается из формулы (4) присоеди нением к ней новых слагаемых с* = 0, i ф /. Из фор мулы (6) выводима формула

£ ( с , = 0). i=i

Действительно, рассмотрим выводимую формулу исчис ления высказываний

	Л, V А & Я, V • • • V Л, & J3„_J -> Ах.
			п
Заменив	А{	на	2	(с* — 0),			а В{ соответствующим вы-
ражением, с тем чтобы в							посылке	получить	формулу
(6), мы получаем выводимую формулу:
£ ( с < = 0 )	у ( £ ( с ,			=	0))&с	у	= 0 ' V	•••
i=i		V«=i			/
. . .	V	( i	(с, =		0)j &		. . . & (£	(с; = 0<»-'))) &
							& С /	= 0<"> -> У	(Ci = Q).
								i=i

Применив правило заключения, находим, что формула

> ] ( с г = 0 ) выводима из формулы (6), следовательно, i=i

и из формулы (4). Из формулы (5) выводима формула

I I (с< = 0) V(c/"=0') .

1=1

Первое слагаемое этой формулы эквивалентно формуле

2 (U = 0).

В таком случае выводима формула

2(с, = 0)->с} = 0'.

« =1

392	ГЛ. VI .. Э Л Е М Е Н Т Ы . ТЕОРИИ			Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А
Применив		правило заключения,			находим, что из фор
мул	(4) и (5)	выводима	формула
Формула			с- = О'.
Формула
		(с} =	0, )- >(с/	=	0)

выводима в ограниченной арифметике. Поэтому фор мула

также выводима из формул (4) и (5). Из нее и из фор мулы (4) можно вывести формулу

(^S (с* = 0)) & с7- == 0' v ...

••• V (с< = 0)J & . . . .& (с, = 0"-")) & с, = 0"»>.

Для вывода достаточно отбросить у формулы (4) лож

ное слагаемое			Cj =	0. Далее,	вынося в полученной фор-
				п
муле за скобку множитель 2					(с, = 0),	получим	формулу
g (с, =		0)) & (с,- =		0' V ( 2 ( с , = 0')) & с, = 0" V			• • •
• • • V ( %			(с, =	О')) & • • • & ( % (с/ =		О'"-1»)) & с, =		0'"»)
		U = l		J	\i=\
и, отбрасывая			первый множитель,
(с/ =	00 v(Jj(c,=			0')]&cy =	0''V . . .
. . .	V (JS	(с, = 0'))& ...&(%			(с, = 0<«-»') )& су == 0trt».			(7)

Из формулы (7) можно, далее, вывести формулу

(=1

§ 12. У С И Л Е Н Н А Я ТЕОРЕМА О" Н Е З А В И С И М О С Т И

393

совершенно тем же приемом, как выше из (6) была вы-

ведена формула i2—l (сг = 0)- Из формулы (5) можно вывести формулу

II (

( =

0')

V c j =

0".

Действительно, из

мула

<=i

(5)

непосредственно

выводима

фор

1 ( с Г

i=l

(с, =

0')

^ о

' .

^ О )

Первое

слагаемое

можно

отбросить,

так

как

оно

лож*

но.

деле,

совпадает

(с» —

0), а

A=i

(=1

самом

Ц(с;

формула

(c i —

как

мы

видели, выводима

из

(5).

i=i

как мы выше вывели формулу

Cj —

Далее так же,0),

(4)

выведем

формулу

с Т ^ О 7 .

После

этого,

отбросив

от

формулы

(7)

первое

ложное

слагаемое, получим

формулу

i2= i( с , =

0')

&"c/ =

0" V . . .

(с, =

0'"-'))J & с, =

(8)

Продолжая(с/ = 00

J & ... & ( J 1

О'"».

. • • V ( 2 1

далее те же рассуждения, мы получим сле

дующие выводимые из формул (4) и (5) формулы:

(=12

(с, =

0), с, = 0;

2j = i

(с/ =

00, с;- =

0'; . . .

(Ci =

0<«-'>),

С/^ОС1-').

Из них, очевидно, выводимы формулы2

2 (с, - 0); 2 (с, = 00; . . 2 (с, = 0'"-"). (9>

394	ГЛ. V I . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И		Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А
Произведение всех		формул (9)	также	выводимо из (4)
и (5):		(с, = О')) & . . . & (Д
\| 2 (с* =	0)) & (2.	(с, = О')) & . . . & (Д		(с, - 0<»-'>)) . (10)

Рассмотрим дизъюнктивную нормальную форму фор мулы (10). Она также выводима из (4) и (5) и имеет вид

S	(С, =	0) & (с,2 =	0')& • • • & (с,„ = 0<-»).	(11)
	'п^'
Однако	каждое	слагаемое	этой суммы является	лож

ным в ограниченной арифметике. В самом деле, каж

дый	индекс	А,	in может	принять только	п—1
значений:		1, 2, . . . , /— 1, 7 + 1 , . . . , п.
		1, 2, . . . , /— 1, 7 + 1 , . . . , п.
Поэтому в каждом слагаемом формулы (11) по					край
ней	мере два	из	индексов i u i 2 ,	in принимают	оди

наковое значение. Пусть индексы /г и is некоторого сла

гаемого приняли		значение г. В таком				случае в это
слагаемое	входят	два	множителя:
Формула	С ^ О ' " - "		и	сг = 0( ? -г ) ,	рФд.
	= 0( р -") & (с, =
(C t				0 й - " ) -> 0 ( р - п	=	0( < 7 - 1 )

выводима в ограниченной арифметике. Но формула 0(p-i) = 0^- 1 ) ложна, так как р Ф q, следовательно, и формула

(ct = 0 ( p - I > )&(c t ==0 ( '' - I , ) ложна. Но тогда и все произведение

(с,1 = 0) & (с;2 = 0') & . . . & (с/д = 0'«- »)

ложно. Если обозначить формулу (11) буквой @, то формула (5 выводима в ограниченной арифметике. Так как (§. выводима из выводимых формул ограниченной арифметики и формул (4) и (5), то она, следовательно, выводима из эквивалентных (4) и (5) формул 3t(c;) и 2? (С/). При этом выводе б мы не прибегали к правилу

§ 12. УСИЛЕННАЯ ТЕОРЕМА О НЕЗАВИСИМОСТИ

395

подстановки в переменные исходной формулы и не свя зывали их кванторами. В таком случае, применив тео рему дедукции, получаем, что в расширенном исчисле нии предикатов выводима формула

а следовательно, и формула

ё->Х(с/)&Х(с}).

Но так как формула (5 выводима в ограниченной ариф метике, то и формула

			Х(	С /	)&*(с})
				С /
также	в	ней выводима. Итак, для каждого индекса }
от 1 до п		слагаемое
формулы		(3) ложно	ограниченной арифметике.						Так
формулы		(3) ложно	в$ ( с / ) & а д
как, по		доказанному	выше,			формулы У(0)	и	Х(0'"+ 1 ) )
также	ложны в ограниченной					арифметике,	то	все	сла

гаемые формулы (3), за исключением ?(0, ложны, следова тельно, формула 53о не выводима в нашем исчислении. Но так как формула (3) выводима в ограниченной ариф

метике,	то, следовательно, 910 в			ней	также выводима.
Итак,	если в	каждом	внешнем		множителе фор
мулы ф0	удалить	слагаемые	33Q	И ЗЗ^, ТО оставшиеся

слагаемые образуют выводимые в ограниченной ариф метике формулы. Таким образом, мы показали, что, удалив из внешних множителей Ф0 слагаемые, проис


шедшие из 33, мы получим			выводимые		в ограниченной
арифметике,		следовательно,	регулярные		формулы.
Допустим, что это утверждение верно для						фор
мулы	bi-i,	и покажем, что тогда		оно верно для
Пусть	($i — произвольный		внешний		множитель	£>,-,
а Щ — формула, полученная			из	после удаления		сла

гаемых, происшедших из 33. Если операция, посредством которой !>;_, получено из £>ь производится над слагае мым, происшедшим из 33, то множитель может быть также получен удалением из некоторого происшедшего

из @;	внешнего множителя	©,-_, формулы	слагае
мых,	происшедших из 33.	Поэтому, по индуктивному

396	ГЛ.	V I . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И		Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А
предположению, ©; представляет собой регулярную							фор
мулу. Пусть		теперь	операция,	переводящая	ф1	в	Ф*_ь
производится над слагаемым, происшедшим не							из	23.
Удалим из (У,- и			слагаемые,	происшедшие		из	23,	и
полученные		формулы обозначим Щ и			(в	случае,

когда к множителю ©; применяется операция 3, под ©г _, будем подразумевать произведение всех внешних мно

жителей формулы

происшедших из ©,-). Очевидно,

что

формула

получается из Щ той же операцией,

что и формула ©£_i из ©£ .

В силу

индуктивного

пред

положения формула ©,'_! регулярна.

Но

тогда

и ир

регулярна. Итак,

мы

показали,

что

формулы,

получен

ные в

результате

удаления

из внешних

множителей

слагаемых,

происшедших

из

23,

остаются

регулярными.

таком

случае

это утверждение верно и для фор

мулы

состоящей

из

единственного

внешнего

мно

жителя

доказали,

что

формула

%т

%п

регу

т. е.

мы

ЯГ V «Г V

V »,

эта

формула

лярна.

Но

тогда

в силу

свойства

4 §

Г V

•. • V

выводима в_ограниченной арифметике. Так как 21Г эк

вивалентна		21,-, то и формула
выводима				21,		арифметике. Но эта			формула
		в ограниченной
эквивалентна			формуле		V . . . V

				21, & . . .			& % т .
Тем	самым мы			получили		противоречие, так как в на
шем	исчислении			оказались			выводимыми формулы
		21, & . . . & %т				и	2(,& . . .	&2fm .
Итак, предположив, что					в	исчислении,		полученном пос
ле присоединения к аксиомам ограниченной									арифме
тики	формул		91], . . . ,		2tm ,		выводима	аксиома	полной

индукции, мы показали, что это исчисление противоре чиво. Тем самым теорема доказана.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аксиом система			139
—	— для	натурального		ряда
	150
	интерпретируемая			(содер
	жательно	непротиворечивая)
	139
—	— неинтерпретируемая			(со
	держательно		противоречивая)
	139

непротиворечивая 140 Аксиома 10, 72 Алгебра Буля 45

— высказываний 36 Арифметика ограниченная 298 Ассоциативность сложения 331

Бесконечность актуальная 15

— потенциальная 19

Вывод формальный 27

Вынесение квантора		всеобщно
сти	343
— —	существования	369

Высказывание переменное 67, 126, 184

—примитивно истинное 339

—— ложное 339

—элементарное 127

Гёделя теорема 264

Дедукции теорема 82, 218, 290

Дизъюнкция	67
Дополнение	133
Зависимость	аксиомы	от	других
• аксиом системы 141
Заключения	правило 73, 77, 193
— — сложное 79
Закон двойственности		48,	237
— дистрибутивности		умножения
относительно сложения			333

Законы дистрибутивные алгебры высказываний 44

Замены свободной предметной переменной правило 198

Изоморфизм	областей		145
— —, сохраняющий			предикаты
146
Импликация	38,	67
Интерпретация		12

—системы аксиом 139 Исключенного третьего закон 15 Исчисление 27

—высказываний 67

—предикатов расширенное 282

Квантор всеобщности 128, 185 ограниченный 163, 313

— существования 129, 185 ограниченный 163, 313

Кванторы внешние 342, 369

—двойственные 129 Коллизия переменных 190

Коммутативность сложения 329 Константа предметная 280

—рекурсивная 298

Конъюнкция 67

Лёвепгейма теорема 172, 179

Мальцева теорема 254 Металогика 28 Множества равпомощпые 172

Множество вполне упорядочен ное 138

—- несчетное 172 '— счетное 172

— упорядоченное 138 Множители внешние 343, 369 Множитель простой 337 , Монотонность 87

398

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Независимость

аксиом

112, 141

Предикат

переменный

184

внутренняя 141

— рекурсивный

310

Непротиворечивость

Предмет индивидуальный

126

—

внутренняя

140

— переменный

183

—

исчисления

высказываний

108

Предста влеп ие

дву хзпа чной

—

— предикатов 209

функции

посредством

форму

Область

126, 132

лы алгебры высказывании 57

Преобразование

двойственное 49

—

действия квантора

188

Прозведепие

теоретико-множе

—

предметная

126

ственное

132

Операции

двойственные 47

— элементарное 50

— дистрибутивные

алгебры

вы

Противоречивость

формализма

сказываний

(исчисления)

27, 202

Операция

дистрибутивная

тео

Противоречия закон

рии доказательств

344,

370

Отделение

от

квантора

всеобщ

Равенства

аксиомы

282

ности

369

Равенство

рекурсивное

297

—существования 344 Разложение на простые множи

Отношение

125

тели 338

— порядка

138

Разрешения проблема 18, 50, 159

Отрицание 38, 67

Разъединения

посылок

правило

Переименования

связанных

пред

Рассуждение

металогическое

метных

переменных

правило

Рефлексивности свойство

287

198

Переменная

предметная

126

Свойство

125

— свободная

129,

184

Связывания

квантором

правила

— связанная 129, 184, 185

200

Перестановки

посылок

правило

— — производное

правило

216

Силлогизма правило 84

Подобие

упорядоченных

мно

Символ

индивидуального

(по

жеств

151

стоянного)

предиката

139

Подстановка

в формулу

— металогический

—сложная 78 — переменного предиката 139

— формулы

переменную

194,

Симметрии

свойство

287

196, 197

Скобки 67

Подстановки

операция 24,

Сколема

теорема 245

— правило 73, 76, 77, 193, 281

Слагаемое

внешнее

343. 369

Полной ипдукшш аксиома

(прин

Слагаемое

простое

338

цип) 25, 26, 150, 291

Следование 38, 67

Полпота в узком смысле 111, 209

Следствие

широком

смысле НО, 261

Сложение логическое

—

системы аксиом

148

Соединения

посылок

правило 86

— для

натурального

ряда

Сумма

теоретико-множественная

153

132

—

— — содержательная

(с

точ

— элементарная

ностью до

изоморфизма)

149

Существование

Порядка

аксиомы

291

Постоянная

предметная 126

Теорема

формальная

Посылка

Теория доказательства 335

Правило

вывода 27, 72

— множеств 12

Предикат

125

Терм 29,

281

—

индивидуальный

сложный

310

— рекурсивный

296

П Р Е Д М Е Т Н Ы Й УКАЗАТЕЛЬ

399

Тождественность 288 Транзитивности свойство 287

Умножение логическое 67 Уничтожение квантора 348

Фипитизм Гильберта 26 Форма нормальная дизъюнктив

ная 51

— — — совершенная 60 для формулы исчисления

предикатов 243 логики предикатов

159

—— конъюнктивная 52

—совершенная 62

—— Сколема 253

—приведенная 131, 234 Формализм 27

—пустой 31

Формула 27, 68, 185

— выводимая 72 из формул 80, 81, 217

—выполнимая 49, 159

—— па области 179

—невыполнимая 49, 159

—нормальная 155, 240 Сколема 244

—приведенная 131, 233

—примитивная 339

—примитивно истинная 340

—в слабом смысле 340

—регулярная 338, 345, 378

Формула слабо	регулярная	345
— тождественно	истинная	49,
159

ложная 49, 159

—указующая 78

—элементарная 68, 127, 184

—	элементарно		регурярная	345
	— в слабом смысле 345
Формулы двойственные 47,				235
—	равносильные		41, 129
	на	области	129
Функции		разрешающие (функции
	Сколема) 174
Функция		логическая 125

—общерекурсивная 325

—предметная 280

—— элементарная 280

—примитивно рекурсивная 303, 324

—эффективно вычислимая 323

Цепочка регулярности 347 Цермело теорема 138

Часть формулы 69, 70, 187 Чёрча тезис 327

Эквивалентности знак 90, 221

—отношение 287

—теорема 92

Эквивалентность 39, 90, 221, 230

—дедуктивная 243

—предикатов 310


Петр	Сергеевич				Новиков
Э л е м е н т ы математической								логики
(Серия: « М а т е м а т и ч е с к а я								логика
и основания			математики»)
М., 1973 г.,			400	стр. с илл.
Р е д а к т о р В.			В.		Донченко
Т е х н . редактор				К-	Ф.		Брудно
Корректоры			Т.	С.	Плетнева,			Е. Я-		Строева
Сдано	в набор			30/V		1973 г.
П о д п и с а н о к печати						22/XI		1973 г.
Б у м а г а 84Х1081 /»»,					тип. №. 1.				Физ. печ. л. 12,5.
Условн. печ. л. 21.					Уч.-изд. л. 18,56.
Т и р а ж	30 000 экз .				Т-17669.
Ц е н а	книги		1 р. 43 к.				Заказ		662.
И з д а т е л ь с т в о				«Наука>
Главная		р е д а к ц и я
физико - математической							литературы
117071,	Москва,			В-71, Ленинский проспект,							15
Ордена		Трудового			Красного				Знамени
Ленинградская				типография				№ 2
имени	Евгении			Соколовой
Союзполиграфпрома						при Государственном					комитете
Совета		Министров			СССР			по	делам	издательств,
полиграфии			и	книжной			торговли
198052, Ленинград,					Л-52, Измайловский проспект, 29

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4140 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ