книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

«пустым», если в нем выводимо всякое равенство. (Аналогия этого понятия с понятием непротиворечив вости заключается в том, что, как мы увидим в даль* нейшем, во всякой противоречивой системе, содержа* щей в себе обычные логические принципы, также все формулы выводимы.) Непустота нашей системы дока­ зывается очень просто. Уже формула а = b в ней не может быть выведена. Это легко доказать, пользуясь содержательным смыслом формализма. В самом деле,

деле нет. Подобное доказательство представляется чу*

чается в том, что оно опирается на гипотезу о непро­ тиворечивости той числовой системы, которая употреб­ ляется для интерпретации. Однако эту интерпретацию можно сделать настолько простой, что вопрос о непро* тиворечивости для нее отпадет.

Поставим еще один вопрос о нашем формализме: существуют ли такие не выводимые в нем равенства, что если какое-либо из них присоединить к системе ак* сиом формализма в качестве новой аксиомы, то полу­ чится опять непустая система? Или же, наоборот: ка­ кое бы невыводимое равенство к системе аксиом ни присоединить, получится пустая система? С аналогич­ ными вопросами мы дальше часто будем встречаться.

ки а и b произвольными термами, мы покажем, что

то получим непустую систему. Невыводимость послед­ ней формулы в нашей системе вытекает из того, что она представляет собой неверное числовое равенство..

включая и новую, выполняются, а правила вывода попрежнему приводят только к истинным тождествам. Но тождество а — Ъ не является истинным и в этом фор­ мализме, так как а и b могут быть различны. Итак, но­ вая система также непуста.

Вопрос о непустоте нашего формализма (аналогич­ ный вопросу о непротиворечивости) легко решился ме­ тодом интерпретаций. Однако теперь мы уже не огра­ ничены методом интерпретаций.

Рассмотрим, например, вопрос о независимости пер­

формализма не изменится, если мы его удалим. Дока­ зать независимость этой аксиомы методом интерпретаций еще возможно, но уже гораздо более затруднительно. Значительно проще доказать ее независимость другим

элементу. Иными словами, никакой из этих термов не состоит из одной буквы. Если применить к любому ра­ венству, обладающему этим свойством, наши правила вывода, то получится равенство, также обладающее этим свойством. В самом деле, применяя первое пра­ вило, мы заменяем в равенстве буквы термами и, сле­ довательно, можем только усложнить рассматриваемый

34 В В Е Д Е Н И Е

но даже для решения вопросов о непротиворечивости основных математических дисциплин финитизма Гиль­ берта недостаточно. Дело в том, -что понятия и принци­ пы всей математики не могут быть полностью выраже­

чивости достаточно богатой формальной системы не

допускаемые финитизмом, можно выразить в пределах Определенного формализма (например, в аксиоматиче­ ской арифметике, которая описана в главе V ) , то не­ противоречивость такого формализма в рамках фини­ тизма доказать нельзя. Однако нет никаких оснований предполагать, что границы, которые кладет финитизм Гильберта, действительно необходимы для того, чтобы исключить вызывающие сомнения элементы математи­ ческого мышления. Возможен дальнейший анализ пред­ мета математики и выделения в нем надежных непро­

интересующие нас вопросы. Но выход за рамки фини­ тизма не уничтожает основной идеи метода, предло­ женного Гильбертом и состоящего в формализации тех

На самом деле, если для решения указанных выше во­ просов средств финитизма недостаточно, то для поста­ новки этих вопросов этих средств вполне достаточно.

Из сказанного как будто можно заключить, что-о непротиворечивости некоторых формализмов мы имеем возможность судить только по тому содержанию, кото­ рое они представляют; иными словами, решение про­ блемы непротиворечивости опять требует метода ин­ терпретаций. Но содержание формализмов, описываю­ щих теоретико-множественные системы, как мы уже неоднократно говорили выше, само нуждается в обосно­ вании. Все же теоретико-множественные интерпрета­ ции, за неимением ничего лучшего, применяются и к изучению формализмов. Рассмотрение их с теоретико-

Г Л А В А 1

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 1. Логические операции

Учение о высказываниях, называемое алгеброй выска­ зываний, является первой из формальных логических теорий. Оно не принадлежит к исчислениям того типа, о котором говорится во введении. Но, хотя эти исчисле­ ния и являются основным предметом нашей книги, мы начнем изложение основ математической логики с ал­ гебры высказываний. Дело в том, что знакомство с законами алгебры высказываний очень облегчает изу­ чение тех логических исчислений, с которыми мы встре­ тимся в дальнейшем. Кроме того, алгебра высказыва­ ний представляет самостоятельный интерес и имеет приложения в других отраслях науки. Она приме­ няется, например, при синтезе релейно-контактных и электронных схем.

Будем рассматривать различные высказывания, предполагая при этом, что они удовлетворяют закону исключенного третьего и закону противоречия, т. е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинно и ложно. (Нет ни­ какой необходимости считать общеобязательными эти законы логики. Но мы ограничиваемся рассмотрением лишь таких вопросов, для которых эти законы имеют место.) Отвлечемся от содержания высказывания и даже от его структуры; в частности, не будем в нем вы­ делять субъект и предикат. Будем ограничиваться толь­ ко тем его свойством, что оно представляет собой или истину, или ложь. Тогда высказывание можно рассмат­ ривать как величину, которая может принимать два значения: «истина» и «ложь»..

П р и м е р . Даны суждения: «собака — животное»;

С нашей точки зрения, первое из этих высказываний может быть заменено символом «истина», второе —

соответственно Я и Л. Во всей этой главе мы рассмат­ риваем высказывания только как величины, прини-Л мающие значения И и Л. В обычной речи употреби­ тельны связки между высказываниями: и, или и др. Эти связки позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания. На­ пример, связка «ы». Пусть даны высказывание «л. больше 3» и высказывание «л меньше 4»; мы можем об­ разовать новое 'высказывание «л больше 3 и л меньше,

сматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л, мы определим над ними операции, ко­ торые позволяют из данных высказываний получать новые. Эти операции, по существу, и выражают упо­

представляет собой образование нового высказывания, которое мы будем обозначать А & В и которое истинно тогда и только тогда, когда А и В истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказы-

что, когда А ложно, высказывание «если А, то В» не имеет смысла. Однако такое понимание не может быть здесь принято. Действительно, допустим, например, что доказана какая-то редукция, сводящая некоторое ут­ верждение теории чисел В к гипотезе Римана, которую мы обозначим через А. Неизвестно, справедлива ли ги­ потеза Римана, однако редукция, т. е. утверждение «из А следует В», справедлива. Таким образом, мы счи­ таем, что утверждение «из А следует б» в данном слу­ чае справедливо, хотя А может быть и ложно. С дру­ гой стороны, редукция тогда только и представляет ин­ терес, когда неизвестно, истинна ли посылка А. Если бы, в самом деле, мы знали, что посылка истинна, то

является истинным в определенном нами смысле. Действительно, высказывание «снег бел», фигурирующее здесь как следствие, истинно, и поэтому всё утвержде­ ние также истинно независимо от истинности или лож­ ности посылки. При распространенном же понимании следования из того, что у льва есть когти, никак не сле­

ки и следствия совершенно чужеродны. Подобное по­ нимание следования никоим образом не может быть определено в рассматриваемом логическом исчислении, так как оно не может быть сформулировано только в терминах истины и лжи.

4. А есть высказывание, которое ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно. Высказывание А на­ зывается отрицанием А.

ко тогда, когда А я В оба истинны или оба ложны. Это высказывание называется эквивалентностью.

Пусть X, У, Z, U, V, W,.. . — произвольные выска* зывания, т. е., с нашей точки зрения, величины, прини* мающие одно из двух значений Я и Л.

ставленного из них сложного высказывания. Например:

В таком случае Л V Л есть Л, Л V Л есть Я. Поэтому сложное высказывание можно переписать так:

Я & (Я -> (Я -> (Л - Л))).