книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

§ 9. Р Е Г У Л Я Р Н О С Т Ь Ф О Р М У Л , В Ы В О Д И М Ы Х В А Р И Ф М Е Т И К Е 381

регулярны. Однако из теоремы 1 легко следует, что все выводимые в ограниченной арифметике формулы регу­ лярны. Рассмотрим сперва общелогические аксиомы. Они состоят из аксиом исчисления высказываний и двух

истинными формулами алгебры высказываний. Поэтому

рекурсивные термы. Числовая интерпретация этих ра­

формулы этого вида . примитивно истинны и, следо­ вательно, регулярны. Таким образом, все аксиомы

ограниченной арифметики регулярны. Следовательно, в силу теоремы 1 все формулы, выводимые в ограничен­ ной арифметике, регулярны, что и требовалось доказать.

Заметим, что из регулярности формулы следует ее слабая регулярность. Таким образом, все выводимые в ограниченной арифметике формулы являются также слабо регулярными.

§ 10. Непротиворечивость ограниченной арифметики

числений равносилен вопросу о существовании в нем невыводимой формулы. Для доказательства непротиво­ речивости достаточно в таком случае доказать сущест­

то в силу замечания, сделанного нами в конце § 9, она была бы слабо регулярной. Но так как эта формула примитивна, то она тогда должна быть примитивно истинной в слабом смысле. Она, однако, таковой не яв­ ляется, так как высказывание 0 = 0 мы, по условию, должны заменить символом И и, следовательно, выска-

Смысл полученного результата состоит в том, что доказана содержательными и финитными средствами непротиворечивость употребления бесконечности в пре­ делах ограниченной арифметики. Заметим, что все ис­ числения, непротиворечивость которых мы доказывали до сих пор, не могли служить определением бесконеч­ ности, так как интерпретировались на конечных обла­ стях. Ограниченная арифметика не может быть интер­ претирована никакой конечной областью объектов. Опи­ санный нами в этой главе метод позволяет, как мы увидим, устанавливать другие факты, которые сами по себе никак не очевидны.

§11. Независимость аксиомы полной индукции

варифметике

Вследующем параграфе мы докажем более сильную теорему о независимости аксиомы полной индукции, ко­ торая содержит как частный случай теорему о незави­ симости аксиомы полной индукции от остальных аксиом арифметики. Мы все жедокажем сперва отдельно тео­ рему о независимости аксиомы полной индукции в ариф­ метике, так как хотя она и слабее той теоремы, которая будет доказана дальше, но зато и доказательство ее значительно проще.

из остальных аксиом, то она была бы слабо регулярной.

Допустим, что она слабо регулярна. В таком случае с

применение только той же операции и т. д. Всякая фор­ мула, полученная из (1) применением п раз операции 2,

должна быть примитивно истинной в слабом смысле. Заменим в формуле (3) переменную у цифрой (Kn + , >, а переменные, входящие в са- (если они есть), — произ­ вольными цифрами. В таком случае все термы получат определенные числовые значения. Пусть терм с,- полу­ чил значение После замены всех термов цифрами формула (3) примет вид

Л (V,) & Л

черкивания в формуле алгебры высказываний одного из двух одинаковых слагаемых получается формула, экви­ валентная прежней.

Формула (4), как формула алгебры высказываний, должна принимать значение И при всех значениях вхо­

Иначе говоря, эта формула, рассмотренная как формула алгебры высказываний, должна быть тождественно истинной. Если бы это было так, то формула

1(0) V Л ft,) V . . . V Л(<„) V Л(0<«+»),

которая является множителем конъюнктивной нормаль­

житель конъюнктивной нормальной формы формулы (4):

ственно 0, 0', . . . , 0< д "^. Рассмотрим, наконец, следующий

т. е. аксиома полной индукции, не является слабо регу­ лярной. Но тогда в силу теоремы 2 § 9 аксиома полной индукции не выводима из остальных аксиом арифмети­ ки, что и требовалось доказать.

Из приведенного нами доказательства независимости аксиомы полной индукции от других аксиом арифмети­ ки можно усмотреть, что утверждение о независимости этой аксиомы может быть усилено и распространено на тот случай, когда, кроме рекурсивных термов, в исчисле­ нии содержатся и другие термы. Все наши рассуждения, во всяком случае, останутся в силе, если мы включим в арифметику любые термы, связав их как угодно отно­ шениями = и < , т. е. введя для них дополнительные аксиомы вида с = g и с < д. При этом мы предпола­ гаем, что каждому терму при произвольной замене его переменных цифрами можно поставить в соответствие определенную цифру так, чтобы все вновь введенные аксиомы удовлетворялись. В этом случае новые аксиомы примитивно истинны в слабом смысле, и, следователь­

не связано с природой термов и потому сохраняется для нового исчисления.

§ 12. Усиленная теорема о независимости аксиомы

полной индукции

З а м е ч а н и е. Теорема дедукции, которую мы фор­ мулировали в § 4 главы V для расширенного ис­ числения предикатов, остается справедливой и для ограниченной арифметики. Мы дальше используем эгу теорему в следующей форме.

В самом деле, если формула 23 выводима из 91 в ограниченной арифметике, то это значит, что она выво­ дима из аксиом расширенного исчисления предикатов, аксиом собственно арифметики, к которым мы причис­ ляем рекурсивные равенства, и формулы 91. При этом аксиомы собственно арифметики можно заменить фор­ мулами, в которых все предметные переменные связаны. Для этого достаточно связать в них все предметные переменные кванторами всеобщности. Сохраним за полу­ ченными формулами название аксиом собственно ариф­ метики (переменных высказываний и предикатов эти формулы также не содержат, так как их не содержали сами арифметические аксиомы, из которых они преобра­ зованы). Пусть

21 j , .. ., 51р

— аксиомы собственно арифметики, которые потребова­ лись для вывода формулы 23. В таком случае формула 23 выводима из формулы

2 l & 9 l t & . . . &2(р

средствами расширенного исчисления предикатов. При выводе формулы 23 подстановки в свободные перемен­ ные последней формулы и связывания квантором пред­ метных переменных можно избежать, так как с перемен­ ными формулы 21 они не производились, а формулы 21], 21 р свободных переменных не содержат. Таким образом, условия теоремы дедукции выполнены, и мы можем заключить, что формула

91&91,& . . . &21р->23

выводима в расширенном исчислении предикатов. В та­ ком случае в расширенном исчислении предикатов вы­ водима эквивалентная формула

21, & . . . &2lp -»(2t-*23).

гать не содержащими переменных высказываний. В са­ мом деле, пусть формула 91г- содержит переменное высказывание Л. Запишем ее в виде 91»(Л). Можно по­ казать, что формула 91г (Л) дедуктивно эквивалентна формуле 21,(3?) & 91,(у), где Ш — произвольная истин­

начиная от элементарных формул, индукцией по кон­ струкции формул * ) .

Итак, можно предполагать, что аксиомы 21ь . . . , 91m не содержат переменных высказываний. Точно так же можно предполагать, что в этих аксиомах нет свобод­

полной индукции. Тогда на основании теоремы дедук­

388 ГЛ. V I . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

приведенными формами этих формул прежние обозна­ чения. Тогда наша формула примет следующий вид:

Л (0) V 3.v (Л (*) & А (*')) V Л (у).

Можно предположить, что переменная у не входит в формулу (2).. Поэтому, если мы в каждой формуле К,- заменим у цифрой 0<п + 1 ) , то получим цепочку регуляр­ ности

Чтобы доказать регулярность (2), мы покажем, что из всех внешних множителей любой формулы можно, без потери регулярности, удалить все слагаемые, кото­ рые либо входят в 93, либо произошли от 93 в резуль­ тате применения операций 1, 2, 3. Сначала докажем, что это утверждение справедливо для £>о'.' Все внешние множители §о элементарно регулярны и "могут быть представлены в виде

смысле. Рассмотрим подробнее формулу 23ц. Эта фор­ мула содержит слагаемые, происшедшие от 23. Но, как

от него членам возможно применение только операции 2,

некоторых слагаемых k оказалось меньше, чем п, то можно было бы к полученному слагаемому S Q V ЗЗо е ш - е несколько раз применить операцию 2 так, чтобы число

в сильном смысле, то она выводима в ограниченной

ляются слагаемыми внешнего множителя <£0 и проис­

предикатов. Поэтому и происшедшие из нее слагаемые

390 ГЛ. V I . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

водимы в ограниченной арифметике. Покажем, что все формулы

Формула X(c'j), очевидно, эквивалентна формуле

«1=о & (ft fo^oj v сТ^о"') & ...

• • • & (П (с/ = 0) V ... V П (С = 0<»-») V (с; = 0<»>)),

V (С/=0) v(i(c<-=0))&c,==0' V ...

<=1

• • V (Z| (с, = 0)) & ... & (J] (с, = 0("-'>)] & су = 0(")