книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

сводится к единственному внешнему множителю. Пусть

Я0 , • • •. Я ш

—цепочка регулярности формулы (2). Мы докажем утверждение леммы, если установим его справедливость для каждого внешнего множителя любой формулы Я\-, имеющего вид (2) с числом кванторов Зх;, равным п.

Доказательство это мы проведем по второй индук­ ции, проходящей по цепочке регулярности. Наше утвер­ ждение справедливо для любого внешнего множителя формулы Яо, так как эти внешние множители элемен­ тарно регулярны, а этот случай уже был нами рассмотрен выше. Предположим, что наше утверждение

меняется к слагаемому (s) рассматриваемого внешнего множителя. Тогда, очевидно, это может быть только операция 2, и внешний множитель перейдет во внешний

наша лемма справедлива для случая, когда число кван­ торов формулы (2) равно п—1. Мы можем применить вторично операцию 1* к полученной формуле, только по отношению к ее первому слагаемому. Получим регуляр­ ную формулу

Предыдущая регулярная формула получается из нее операцией 2. Поэтому эта формула также регулярна. С другой стороны, она получается из внешнего множи­ теля формулы применением операции 1* к слагае­ мому (s). Таким образом, если лемма верна для внеш­ них множителей вида (2) формулы йг-ь то она верна я для внешних множителей вида (2) формулы $г. Сле­

зии переменных, мы получим формулу 91' такую, что формула 21/V § регулярна.

также регулярна. Но эта формула есть 21', полученная

которую слагаемое Vz 2I0 (z) & 23 не может входить. По­ этому это слагаемое можно заменить любым другим, не

Предположим, что лемма справедлива для числа кван­ торов п— 1, и будем доказывать, что тогда она справед­ лива для п.

получим формулы Кг и Кг-ь По индуктивному предпо­

По индуктивному предположению, касающемуся форму­ лы Кг-ь ко второму слагаемому можно применить опе­ рацию 2*, не нарушая регулярности последней формулы.

ментарно регулярна. Далее надо провести двойную ин­ дукцию, предположив, что наша .лемма справедлива для числа кванторов, равного п, и доказав ее справед­

в содержание леммы входит и утверждение, что «£j не может отсутствовать или, что то же, формула

регулярна быть не может. Мы допускаем еще, что в сла­ гаемом 21j & 23, множителя 33j может не быть.

Докажем сначала, что из любой регулярной суммы можно, не нарушая регулярности, удалить любое при­ митивно ложное слагаемое.

Рассмотрим цепочку регулярности данной формулы

и докажем это утверждение для всех внешних множи­ телей формул л*. Для внешних множителей формулы Ко оно справедливо. В самом деле, пусть 21° — прими­ тивно ложное слагаемое некоторого внешнего множите­ ля формулы jt0 - Если слагаемое 21° не входит в прими­ тивно истинную часть этого множителя, то оно может быть удалено. Если же оно входит в примитивно истин­ ную часть, то эта часть может быть представлена в виде

21° V ©.

Но из алгебры высказываний следует, что © при всех возможных заменах в этой формуле должно получать всегда значение И, так как 21° всегда получает значение Л. Таким образом, ® само примитивно истинно и 21° мо­ жет быть удалено без нарушения регулярности рас­ сматриваемого внешнего множителя. Допустим, чго наше утверждение справедливо для формулы Sti-i,

ложное слагаемое любого внешнего множителя К; не подвергается действию никакой из операций 1,2,3, как всякая примитивная формула. Поэтому оно сохраняется

Но в силу доказанного все примитивно ложные слагае­ мые 91, можно последовательно удалить, не нарушая регулярности формулы. Тогда формула ф также будет регулярна.

Итак, для п — 0 наша лемма справедлива. После этого ее легко доказать при помощи двойной индукции так же, как доказаны предыдущие леммы. Мы не будем проводить этого рассуждения, заметим только, что в нем

этого утверждения прямо вытекает из определения при­ митивной ложности.

§ 9. Регулярность формул, выводимых в арифметике

В дальнейшем мы будем называть регулярной всякую

§ 0. Р Е Г У Л Я Р Н О С Т Ь ФОРМУЛ, В Ы В О Д И М Ы Х В А Р И Ф М Е Т И К Е 379

Напомним, что правила вывода арифметики, по опре­ делению, совпадают с правилами вывода расширенного исчисления предикатов, которые в свою очередь отли­ чаются от правил исчисления предикатов только тем, что в связи с введением термов расширены правила под­ становки. Следовательно, нам достаточно доказать утверждение теоремы для всех правил вывода расши­ ренного исчисления предикатов.

где 23 не содержит переменной х, регулярна, то и фор­ мула

также регулярна. Рассмотрим приведенную форму фор­

По условию эта формула регулярна. Приведенная фор­ ма формулы (2) имеет вид

V*(3T V ад).

Так как формула, стоящая под знаком квантора, ре­ гулярна, то и вся формула регулярна. Но тогда фор­ мула (4), а следовательно, и формула (2) регулярны.

4.Второе правило связывания квантором рассматри­ вается аналогичным образом.

5.Правило заключения. Пусть формулы 21 и 21 -> 23 регулярны. Требуется показать, что и формула 23 регу­ лярна, Запишем формулу 21 (точнее, ее приведенную

380 ГЛ. V I . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

Эта формула, по условию, регулярна. Следовательно,

Таким образом, 21- записана в форме (|3), двойственной форме (а) . Если мы к этой формуле будем применять операции 1*, 2*, 3*, двойственные тем, которые применя­ лись к формуле (5), то, очевидно, получим формулу

Эх, . . . Зх„ (510 п - & О о 0 - V • • • V Яо"1" & £о*").

В силу доказанных в § 8 лемм 1—3 применение опера­ ций 1*, 2*, 3* к слагаемому 51~ в формуле 51* V 53' не -нарушает регулярности этой формулы. Отсюда следует, что формула

регулярна. Все формулы 9(0')~ в этой формуле примитив­ но ложны, так как 5(0г) примитивно истинны. Но тогда в силу леммы IV § 8 формула 23', а следовательно, и 23 регулярны.

Таким образом, мы показали, что применение всех правил вывода расширенного исчисления предикатов к регулярным формулам приводит к регулярным форму­ лам, что и требовалось доказать.