книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

мы показали, что если лемма верна для внешних мно­

Произведем над ней операцию 2, заменив в отделенном

Эта формула содержит в числе своих слагаемых все слагаемые формулы

гой ряд формул, отличающихся от первых тем, что вме­

не было в формулах первого ряда. Но если мы таким

видно, что и формулу (3) те же операции приведут к

то наше утверждение для формулы 21[&212 доказано.

также регулярна, какова бы ни была предметная пере­ менная s.

Произведем над этой формулой сначала операцию 1:

следует, что предыдущая формула регулярна и, следо­ вательно, формула (5) также регулярна.

Доказательство для формулы 3/ 9t (t, х) аналогично. Таким образом, мы доказали нашу лемму для всех

ниями годится для случая подстановки в переменное высказывание.

Кроме того, мы будем рассматривать только под­ становку в предикат от одной переменной, так как до­ казательство для предиката от произвольного числа пе­ ременных по существу не отличается от случая п — 1, только пришлось бы выписывать более громоздкие вы­ ражения.

Пусть регулярная формула 21 содержит предикат от одной переменной A(t). Покажем, что формула 91, по­ лученная из 21 заменой А(1) формулой 23(0, регулярна.

Рассмотрим сначала случай, когда 21 — примитивно

нормальной форме которая также является прими­ тивно истинной формулой. Возьмем произвольный мно­ житель этой формулы и отделим в нем члены, содер­ жащие предикат А( ) . Тогда множитель может быть представлен в виде

А(*,) V • • • V А(хр) у А{у{) V . . . V А(уя) V L . (6)

Этот множитель, очевидно, также является прими­

на; поэтому, если мы в ней заменим переменный преди­ кат А( ) любым рекурсивным предикатом, то получим формулу, также примитивно истинную. Введем перемен­

Получим примитивно истинную формулу

П (s, = *,) V П (Si = x2) V . . .

Поэтому каждое из этих слагаемых примитивно ложно. По законам алгебры высказываний после удаления этих слагаемых формула останется примитивно истинной. Оставшаяся формула совпадает с формулой (7). Преоб­ разовав эту формулу по правилам алгебры высказыва­ ний, получим примитивно истинную формулу

также является регулярной. В самом деле, рассмотрим

менения во внешние множители формулы $о, где его

можно считать включенным в примитивно истинную часть. Представим примитивно истинную часть из про­ извольного внешнего множителя Ко в виде

£v П (*/ = #/).

i.I

Если мы во всех формулах St; заменим J\ ixi — yj) фор-

мулои L , то примитивно истинная часть каждого внеш­ него множителя формулы Ко примет вид

примитивно истинна, то при любых заменах всякий раз,

когда Ц (xi — у,) примет значение И, L также примет i> I

значение И; отсюда следует, что каждая формула $V L также является примитивно истинной. Из сказанного

получающуюся той же подстановкой из формулы 21, то очевидно, что 9Г из 91 и, обратно, 91 из 91' получается посредством тех же дистрибутивных операций, что и формула 2Г из 21 и, наоборот, 21 из 21'. Так как эти дистрибутивные операции представляют собой примене­ ние второго дистрибутивного закона, то из регулярности

в примитивно истинной формуле доказательство прово­ дится аналогично, с некоторыми упрощениями. Роль леммы б играет замечание 4.

368 ГЛ. УГ. Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Пусть формула 91 регулярна и содержит переменный предикат А( ). (Ради краткости мы опять ограничи­ ваемся рассмотрением предиката от одной переменной.) Пусть

Яд, . . . , Я/t

— цепочка регулярности формулы 91. Каждый внешний множитель формулы it о элементарно регулярен и по­ этому может быть представлен в виде

Если мы обозначим через $6 формулу, являющуюся результатом рассматриваемой подстановки в формулу it о, то все внешние множители Яо будут элементарно ре­ гулярны. Заменим теперь A (t) формулой 93(/) во всех формулах цепочки регулярности. Мы получим цепочку

этого утверждения для подстановки в переменное вы­ сказывание доказывается аналогично.

§ 7. Операции, двойственные операциям 1, 2, 3

Подобно тому как прежде мы рассматривали произволь­ ную формулу в форме (а) (см. стр. 342), мы можем произвольную формулу представить в двойственной

спутать со второй дистрибутивной операцией, мы будем ее называть просто дистрибутивной операцией. Она, по­ добно операции 3, применяется только к непримитивным слагаемым. Эту операцию можно применить, если в фор­ мулу входит внешнее слагаемое, один из множителей которого представляет собой сумму:

(91, V ••• V % ) & 33,

где 91,, 2Т,г— простые слагаемые. В таком случае операция 3* состоит в замене этого слагаемого суммой

2l,&23 V2(2 &33 V ••• V3(„&33.

П р и м е р . Применяя операцию 3* к формуле

З г (F (г) & (А V G (г)) V F(z) & G (z)),

получим формулу

32 (F (2).& Л V F (г) & G (2) V F (z) & G (г))-

Каждая из операций 1*, 2*. 3* всегда связана с ка­ ким-то внешним слагаемым. Иногда для того, чтобы точнее указать операцию, мы будем говорить, что она применяется к данному внешнему слагаемому.

§ 8. Свойства операций 1*, 2*, 3*

Мы ставим своей ближайшей задачей показать, что если применить одну из операций 1*, 2*, 3* к регулярной фор­ муле, то формула останется регулярной. Именно, мы