книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

имеет вид

и* & щ & . . . & К-

Каждый множитель этой формулы является произведе­ нием элементарно регулярных формул. Следовательно,

преобразуют формулы исчисления предикатов в эквива­

21,&212& . . . &2t„ V 23~(2i, V 23)&(2t2V23)& ...&(2(„ V 23).

Эти формулы легко выводятся в исчислении преди­ катов. Первая следует из теорем 1, 2 § 12 главы IV. Третья представляет собой дистрибутивное преобразова­ ние. Вторая формула также легко выводится. В самом деле, имеем, очевидно,

Обе посылки истинны (первая является аксиомой исчисления предикатов). Применив два раза правило заключения, получим

Таким образом, оба следования требуемой эквивалент-- ности доказаны.

предикатов в эквивалентные формулы. Заменив во вто­

формулы исчисления предикатов в эквивалентные фор­ мулы.

Элементарно регулярная формула выводима в огра­ ниченной арифметике, так как имеет вид 91 V 93, где 91 примитивно истинна и, следовательно, по определению, выводима в ограниченной арифметике. Тогда и произ­ ведение элементарно регулярных формул выводимо в

квантора всеобщности из регулярной формулы Ж„. Рас­ смотрим цепочку регулярности формулы

Stg, St], • . . , §in.

Допустим, что рассматриваемый квантор подвергся операции 1 в формуле $ р . После этого в формуле kp~i он стал внешним квантором. Но, удалив его из всех

множители Ко элементарно регулярны. Каждый мно­ житель имеет вид 21 V 23, где 91 — примитивно истинная формула. Слагаемые этого множителя, являющиеся про­

внешний множитель К, вида

Vx 91 (х) V 23 (или Зх 2( (х) V 23)

перейдет в множитель Кг-_1 вида

21 (х) V 23 (или 91 (с) V Зх 91 (х) V 23),

ляются произведениями. Слагаемые внешних множите­

из слагаемых внешних множителей К,- и те же множи­ тели из слагаемых внешних множителей St,-_i, получим формулы Stj и Кг-i. Первая из них содержит внешний множитель Vx2I(x)V23/ (или соответственно Зх 2I(x)V23'). Вторая имеет те же множители, как и первая, за исклю-

356 ГЛ. V I . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

любой регулярной формулы, что и требовалось дока­ зать.

посредственно очевидным, так как такая операция мо­ жет не быть той, которая данную нам формулу приво­ дит к формуле из цепочки регулярности. Чтобы дока­ зать наше утверждение, достаточно показать, что тот внешний множитель, над которым производится эта опе­ рация, остается регулярным. Но если эта операция есть операция 1, то рассматриваемый внешний множитель перейдет в такой, у которого вычеркнут некоторый кван­ тор всеобщности. На основании замечания 6 § 5 этот множитель остается регулярным. Если над ним произ­

не нарушится. Наконец, если произведена операция 3, то множитель вида

21,&912& . . . &2tA V53

перейдет в произведение множителей

(91, V23)&(9l2 V23)& . . . &(%k V 93)-

Но каждый из множителей этого произведения мо­ жет быть получен из предыдущего вычеркиванием всех множителей в произведении 911 & . . . & 9Ц, кроме одного. Поэтому в силу леммы 1 все формулы 9 l ; V 23 регуляр­ ны," и, следовательно, их произведение также регулярно.

формула, то производимые операции никогда не затра­ гивают слагаемого 91 (см. стр. 344). Поэтому все внеш­

Только эти множители уже, вообще говоря, не элемен­ тарно регулярны. Если мы в качестве X возьмем фор­

мулу 53, то формулы

23 V G' V St'

будут регулярны, так как они являются внешними мно­

нашими операциями мы сначала получим семейство формул

2 l & 2 3 V < S ' v r ,

358 ГЛ. V I . Э Л Е МЕНТЫ Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

Каждый множитель этой формулы является примитивно истинной формулой. Поэтому и произведение, а следо­ вательно, и формула

91 & 23 V G' V &"

примитивно истинны. Следовательно, все формулы (1) элементарно регулярны, а значит, формула 91 & 23 V Я регулярна.

Если хотя бы одна из формул 91 или 23 не является примитивной формулой, доказательство проводится про­ ще. Представим 91 и 23 в виде произведений:

Первые две формулы регулярны. Поэтому в силу леммы 1 каждая формула 91г \/ Я и 23/ V Я регулярна. Так как произведение 91&23 не является примитивной формулой, то к формуле 91, & ... <&23Ч \/Я можно при­ менить операцию 3. После этого она перейдет в фор­ мулу

(91, V Я) & . . . & (2IP V Я) & (23, V Я) & . . . & (23, V Я).

Эта формула является произведением регулярных мно­ жителей, следовательно, регулярна, А тогда и формула 21&23V Я, также регулярна.

это утверждение можно формулировать следующим об­ разом.

множителям формулы, являющейся произведением, со­ храняя неизменными остальные множители. Применение первого дистрибутивного закона также возможно. Од­ нако мы не будем его касаться, так как он нам не по­ надобится.

Допустим, что наше утверждение справедливо для всех внешних множителей формулы и покажем, что тогда оно справедливо для всех внешних множи­ телей

В самом деле, пусть