книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

342 ГЛ. Vt. Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

Эта формула принимает значение Л. Следовательно, ис­ ходная примитивная формула не является примитивно истинной.

Заметим, что если над примитивно истинной форму­ лой произвести тождественные преобразования алгебры высказываний, то получится также примитивно истинная формула.

§ 4. Операции 1, 2, 3

В логике предикатов мы ввели понятие приведенной формулы (см. главу I I I ) . Напомним это определение.

Приведенной формулой называется формула, не со­ держащая знака -> и такая, что знаки отрицания в ней относятся только к элементарным частям. Это определе­ ние распространяется и на формулы арифметики. При этом распространяется и основное положение, что для каждой формулы существует эквивалентная ей приве­ денная формула. Доказательство этого,, в арифметике остается тем же, что и в исчислении предикатов. Приве­ денную формулу, эквивалентную данной формуле, мы будем называть ее приведенной формой. Все дальней­ шие определения будут относиться к приведенным фор­ мулам.

может вовсе не быть, произведение, стоящее под знаком

и т. д. может также свестись к одному члену. В этих случаях мы будем условно говорить, что имеем произве­ дение, состоящее из одного множителя, или сумму, со­ стоящую из одного слагаемого.

стоящее под знаком кванторов, содержит не простые множители, то мы всегда можем разложить его на простые множители; подобная замена никак не отражается на всех дальнейших рассуждениях. В силу этого мы мо­ жем предполагать, что все множители в формуле (а) простые. Точно так же каждый из этих простых множи­ телей, являющийся суммой, мы можем разложить на

множителя, который в свою очередь состоит из одного слагаемого, то мы можем предполагать, что этот мно­ житель не имеет вида Vx9I(x), так как в противном случае мы квантор Vx можем отнести к внешним кван­ торам.

Введем операции, которые мы будем производить над

оно имеет вид Vz 21 [fz), выносится наружу и становится внешним квантором. При этом связанная этим квантором переменная переименовывается, если она совпадает с другими переменными в формуле. Назовем эту опера­

При этом может оказаться, что слагаемое 9tHz) уже не является простым. Это обстоятельство ни на что не

гаемым, имеющим видЭг91;(г). Пусть, например, 91,

связанных в формуле

(И, V ••• V И„) & . . . & (Е, V . . . V Gp)

(таким образом, терм с может содержать переменные

и его опять можно разложить на простые слагаемые. Назовем эту операцию отделением от квантора суще­ ствования.

3. Третья операция представляет собой преобразова­ ние дистрибутивности логического сложения по отноше­ нию к умножению. Эта операция применяется, когда

ложить, чтобы иметь дальше дело только с суммами, у

Все доказанные в последующих параграфах леммы остаются верными, если заменить в них термин «регу­ лярная формула» термином «слабо регулярная форму­

Здесь произведение в формуле (а) свелось к одному множителю, а внешние кванторы отсутствуют. Применив к формуле вторую операцию, получим формулу

А(у)\/ЗхА{х)уА{у),

которая является элементарно регулярной.

2. 3x(Vy A(y)VA(x)).

В этой формуле также нет внешних кванторов. Про* изведение свелось к одному множителю, а этот множи­

Vz(A (z) V А{0) V Зх (Vy My) V А (х))).

Производим над этой формулой опять вторую операцию:

Vz (А (г) V МО) V Vy А (у) V А (г) V Зх (Vу А (у) V А(х))).

Единственный множитель этой формулы элементарно регулярен, так как содержит примитивно истинное сла­ гаемое A (z) VA(z). Следовательно, формула 2 регу­ лярна.

3. Vx3y(y = y(x)).

Произведем вторую операцию, заменив в отделенном члене переменную у термом ц>(х):

Ух (ф (х) = ф (х) V Зу (у= Ф (х))).

Формула, стоящая под знаком квантора Vx, элементар­ но регулярна. Следовательно, формула 3 регулярна.

4. Vx Vy ((А(х) V 3z A (z)) & (А (у) V A(y) &x< x')).

Производим вторую операцию над квантором 3z:

Vx Vy ((A(x) V A (x) V 3z А (z)) & (А (у) V A(y)&x < x%

Производим третью операцию над вторым множи­ телем:

Vx Vy {(А {х) V А (х) V 3z А (г)) &

& (А (у) V My)) & (А (у) V х < х%

В этой формуле каждый множитель элементарно ре­ гулярен, следовательно, формула 4 регулярна.

Чтобы доказать регулярность какой-либо формулы 21, мы применяем операции 1, 2, 3 и получаем при этом цепочку формул:

2t0, 21„ . . . . 2l„^2t .

Каждая формула 21г_1 получается из формулы 21* применением одной из операций 1, 2, 3. Если в резуль-

Очевидно, что каждая формула цепочки регулярно­ сти является регулярной формулой. В дальнейшем мы будем доказывать некоторые утверждения, касающиеся регулярных формул, применяя индукцию по цепочке ре­ гулярности. Схема рассуждений при этом следующая. Утверждение доказывается для формулы 910, все внеш­ ние множители которой элементарно регулярны. Затем для любой цепочки регулярности доказывается, что если утверждение верно для 91г-_ь то оно верно и для 91,. От­ сюда делается заключение, что утверждение справед­ ливо для любой регулярной формулы. Мы ставим себе

смотрим формулу 91', которая отличается от 91 только внешними кванторами, т. е. может быть получена из 91

множители формул % и $0 . Поэтому, так как по усло­ вию внешние множители йо элементарно регулярны, то

Тогда, по определению регулярности, формула &'„, т. е.

ляется внешним, поэтому его удаление не нарушает ре­ гулярности; точно так же присоединение к регулярной

формулы которой являются произведениями внешних

судить по второй цепочке так же хорошо, как и по пер­

чаются одна из другой теми же операциями, что и фор­ мулы первой цепочки, за исключением операции выне­ сения квантора. Эта операция заменяется операцией уничтожения квантора, конечно, с соответствующим из­ менением переменной, которую он связывает.

нив далее те же операции, что и для первой цепочки, за

с другой стороны, $о представляет произведение внеш­ них множителей формулы $0 , то из сказанного следует, что регулярность первой цепочки влечет регулярность второй и обратно. Таким образом, мы можем в опреде­ лении регулярности заменить операции 1, 2, 3 операциями

другой множитель или произведение множителей, кото­

В противном случае 91^11 изменится и перейдет в фор­ мулу 9(|i'l2 , все множители которой будут внешними множителями формулы $ „ _ 2 . Продолжая этот процесс