книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Из выводимости формул (13) и (15) заключаем, что

Для умножения также можно вывести законы ассо­ циативности, коммутативности и дистрибутивности по отношению к сложению. Формулы, выражающие эти законы, в нашем написании имеют обычный вид:

h (х • у) • г = х • (у • z), I— ху = ух,

\-{х + y)z = xz + yz.

Мы ограничимся доказательством последней фор­

Из рекурсивных равенств, определяющих умножение, следует

М и + о) • 0 = О, Н и - 0 = 0, Н v • 0 = 0.

Кроме того, имеет место

Заметим теперь, что если имеет место

r-s = /,

На основании законов ассоциативности и коммутатив­ ности сложения имеем

I— (их Аг vx) А- и Аг v = (их + и) A- (vx A- v).

Заменив в формуле (18) последний терм равным, получим

\- (и Аг v) • х — их Ar vx -> (и Ar V) х Аг (и Аг v) —

На основании рекурсивных равенств, определяющих умножение, имеем

I - (и Аг v) х' = (и A- v) х + (и Аг v), \- их' — ихАг и,

Ь- vx' = vx A- v.

Заменив в формуле (19) некоторые термы равными, бу­ дем иметь

посылка, а значит, и следствие формулы (16) выводи­ мы, т. е.

(и + v) У = и • У + v • у.

ства натурального ряда, так как в ней не выводимы са­ мые основные свойства натурального ряда, как, на­ пример,

х' = у'->х = у.

Не выводимо также свойство упорядоченности

х = у->х <у\/ у <х

и многие другие. Введение рекурсивных равенств ис­ правляет это положение, и в арифметике с рекурсив­ ными функциями все основные свойства натурального ряда оказываются выводимыми.

Здесь мы ограничимся выводом первого из указан­ ных выше положений, а для второго только вкратце

На основании свойства однозначности термов имеем

\-х = у->Ь(х) = Ь(у).

Совершив подстановки в эту формулу, получим

334 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ А Р И Ф М Е Т И К А

можно провести следующим образом. Сначала с по­

Эта формула без особого труда доказывается с по­ мощью аксиомы полной индукции.

Г Л А В А V I

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

чивости и независимости аксиом. Это метод интерпрета­ ций системы аксиом на той или иной области объектов, построенной средствами теории множеств, принимаемой в качестве основы. Но неудовлетворительность теоре­ тико-множественного обоснования как раз и является основной причиной обращения к аксиоматическому опи­ санию математических систем. Поэтому возникла иная постановка вопроса о независимости и непротиворечи­ вости. Обо всем этом мы уже неоднократно говорили.

мость ее из других аксиом с помощью правил вывода рассматриваемого исчисления. Для решения вопроса о непротиворечивости исчисления или независимости какой-либо из его аксиом в такой постановке нет необ­ ходимости прибегать к интерпретации Требуется мета­ логическими средствами доказать невозможность фор­ мального вывода в нем тех или иных формул. Новая постановка вопроса о непротиворечивости и независи­

менении к вопросам аксиоматической арифметики. По­ ставим себе задачу найти метод, позволяющий решить следующие два вопроса;

336 ГЛ. V I . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

тики с аксиомой полной индукции, то здесь возникают

и в настоящее время занимают существенное место в математической логике. Мы остановимся на них не­ сколько подробнее.

В главе IV, стр. 278, мы уже указывали, что невоз­ можно доказать непротиворечивость какого-либо исчис­ ления средствами, формализующимися в самом этом

доказана непротиворечивость некоторого исчисления, то полученная в результате этой формализации система будет содержать формулы, не выводимые в исчисле­ нии, непротиворечивость которого доказывается, Это положение имеет достаточно общий характер, и оно во всяком случае справедливо для аксиоматической ариф­ метики.

Принятая нами финитная металогика может быть

металогики оказывается невозможным доказать непро­ тиворечивость аксиоматической арифметики. Таким об­ разом, требуется изменение самой постановки вопроса о непротиворечивости аксиоматической арифметики. Если речь идет об обосновании идеи актуальной беско­ нечности, то вопрос о непротиворечивости арифметики может быть поставлен достаточно удовлетворительным образом. Анализ оснований математики, проведенный Брауэром, показал, что в арифметике единственным принципом, опирающимся на актуальную бесконечность, является закон исключенного третьего. Предполагая арифметику без закона исключенного третьего непроти-

воречивой, можно доказать ее непротиворечивость с за­ коном исключенного третьего *) .

В этой книге мы не будем касаться вопроса о непро­ тиворечивости аксиоматической арифметики. Мы огра­ ничимся решением таких вопросов непротиворечивости, для которых достаточно средств финитизма Гильберта.

В частности, мы докажем непротиворечивость огра­ ниченной арифметики. Решение этого вопроса хотя и представляет собой очень неполный и ограниченный результат, все же имеет интерес, так как здесь мы до­ казываем с помощью содержательной системы рассуж­ дений, не опираясь на понятие актуальной бесконечно­ сти, непротиворечивость системы, которая своим пред­ метом имеет бесконечное множество объектов и допу­ скает для них такие средства рассуждения, -как закон исключенного третьего.

Таким образом, доказательство непротиворечивости ограниченной арифметики представляет собой обосно­ вание возможности пользоваться в некоторой мере ак­ туальной бесконечностью.

§ 2. Простые множители и простые слагаемые

Предположим, что формула 91 представляет собой ло­ гическое произведение, т. е. имеет вид 91| & . . . & 91п . Может случиться, что некоторые множители (а может быть, и все) также являются произведениями. Пусть, например, 911 имеет вид 9Т., & . . . & 91,,,,. В силу закона ассоциативности формула 91 эквивалентна формуле

9Х,,& . . . & 9 t l m & 9 t , & . . . &2f„.

Мы можем продолжать такие же преобразования и далее до тех пор. пока не придем к формуле, эквива­ лентной формуле 91 и представляющей собой произве­ дение, ни один множитель которого уже не является произведением. Будем называть множители такого ло­ гического произведения простыми множителями. Мы видим, что каждое логическое произведение можно

338 ГЛ. V I . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

преобразовать на основании закона ассоциативности в эквивалентное ему произведение, в котором все множи­ тели простые. Назовем указанное преобразование раз­ ложением на простые множители. Совершенно очевид­ но, что полученное в результате разложения произведе­ ние простых множителей совершенно не зависит оттого, в каком порядке мы производим разложение. Таким образом, состав простых множителей однозначно опреде­ ляется исходной формулой 91. (Нетрудно видеть, что простые множители сами являются частями форму­ лы 91.) В силу этого мы можем говорить о простых множителях произведения, подразумевая под этим те простые множители, которые могут быть получены в ре­ зультате разложения формулы 91.

Аналогичным образом назовем простым слагаемым такое слагаемое логической суммы, которое само не является суммой. Рассуждая так же, как и в случае произведения, можно показать, что каждая логическая сумма может быть разложена на простые слагаемые.

тели, которые входят в число простых множителей фор­ мулы 91. И обратно, каждый простой множитель произ­

из этих множителей. Аналогично, каждое не простое слагаемое суммы разлагается на простые слагаемые,

ложение 91 на простые множители, совершенно равно­ правны, так что 91 всегда можно заменить через 91'. Аналогично, любую сумму можно заменить ее разло­ жением на простые слагаемые.

§ 3. Примитивно истинные формулы

В дальнейшем мы введем очень существенное понятие регулярной формулы. Для этого сначала нам придется дать некоторые предварительные определения.

В примитивную формулу, помимо индивидуальных элементарных формул, могут входить еще переменные

каты рекурсивными, затем все предметные переменные цифрами и, наконец, все получившиеся примитивно ис­ тинные элементарные высказывания символом И, а при­ митивно ложные — символом Л. Остальные элементар­ ные формулы заменим символами И а Л произвольным образом, но так, чтобы одинаковые выражения заменя­ лись одинаковым образом. После этого мы получим

340 ГЛ. V I . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А

формулу, которую можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, которой, по правилам алгебры высказываний, мы уже можем однозначно приписать значение И или Л. Какое именно из этих значений при­ нимает формула, можно определить конечным числом шагов.

условие 2°. Мы, однако, не будем делать этого пред­ положения, так как мы ставим себе задачу доказать непротиворечивость ограниченной арифметики. В даль­ нейшем мы будем существенно пользоваться свой­ ством 2° примитивно истинной формулы. Поэтому в оп­ ределении мы его высказали явным образом.

Пр и м е р у .

1.А (х) V А(х)&0 < х'.

но, поэтому мы должны заменить его символом П. По­ лучим формулу A{0W) V Ж О & П.

Рассматривая Л (О*'*') как переменное высказывание алгебры высказываний, мы получим тождественно ис­

примитивно истинными формулами.