книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

322 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА

•••> pfc(i) пробегает всевозможные наборы по k цифр.

когда i пробегает последовательно все цифры, то сово­ купность значений определенных таким образом функ­

ствами, определяющими сложение, умножение и сте­ пень, то получится система аксиом, представляющая собой несущественное видоизменение системы аксиом Пеано. Присоединение всех рекурсивных равенств вво­ дит в арифметику, помимо обычных арифметических действий, широкий класс других операций. Как мы ви­ дели, при помощи этих операций можно определять все­ возможные теоретико-числовые понятия, связанные с делимостью чисел, простыми множителями, степенями простых множителей, и многие другие.

Связанные с рекурсивными термами рекурсивные функции представляют довольно широкий класс функ­ ций, определенных на натуральном ряде и принимаю­ щих целочисленные значения (в нашей терминологии цифровые).

Вместе с тем определение этих функций таково, что они являются эффективно вычислимыми, т. е. для каж-

функции имеет очень большое значение. К нему сво­ дится общее понятие алгоритма, по которому совер­ шаются какие-либо операции, например решаются за­ дачи определенного круга. Если какой-нибудь алгоритм производит регулярным образом определенные опера­ ции, то легко себе представить, что элементы этих опе­ раций и всевозможные комбинации их могут быть обо­

ной цифрой. Тогда то, что производит алгоритм, будет

цифры. Утверждение, что всякий алгоритм может быть описан в виде вычислимой функции одной переменной, не должно казаться удивительным, так как в известном смысле вычислимую функцию любого числа перемен­ ных можно свести к вычислимой функции от одной переменной. Если мы имеем, например, вычислимую

так что каждому набору Ji, . . . , J„ мы ставим в соот­ ветствие номер j . Тогда функция

номеру набора (ji, $„) ставит в соответствие вы­ числимым образом значение функции г, которое она принимает для набора j i $„.

Понятие «алгоритма» давно существовало и упо­ треблялось в математике. Однако его понимание имело чисто интуитивный характер, что, естественно, затруд­ няло пользование этим понятием. Рядом авторов (Чёрч, Тьюринг, Пост, Марков и др.) были даны определения понятия алгоритма. Все эти определения различны по

п*

форме, но они оказались эквивалентными между собой. Наиболее просто формулируется это определение в тер­ минах вычислимых функций. Мы его здесь приведем. Рекурсивные функции, которые мы рассмотрели в пре­ дыдущих параграфах, являются вычислимыми. Можно было бы предположить, что интуитивное понятие вычис­ лимой функции совпадает с понятием рекурсивной функции. Оказывается, однако, что это не так. Можно определить функцию двух переменных Ь(х,у), обла­ дающую следующими свойствами.

1. Для каждой пары цифр j b fa значение функции Ь($ь 12) представляет собой цифру, вычислимую спосо­

В таком случае функция to i) + 0' является, оче­ видно, вычислимой функцией. Покажем, что она не совпадает ни с одной рекурсивной функцией. В самом деле, предположим, что й (\, \) -f- 0' представляет собой рекурсивную функцию, Обозначим ее через с(\). В таком случае найдется цифра J* такая, что с(^) равно й^,, $*)

что невозможно. Таким образом, предположив, что Ь (i,, $) -f- 0' — рекурсивная функция, мы пришли к про­ тиворечию.

Итак, нельзя считать, что понятие рекурсивной функ­ ции совпадает с понятием вычислимой функции. Однако определение вычислимой функции тесно связано с по­ нятием рекурсивной функции. Вводится понятие обще­ рекурсивной функции. В отличие от общерекурсивных функций, введенные выше рекурсивные функции часто

не употребляли этот термин потому, что не вводили по­ нятия общерекурсивной функции. Да и в дальнейшем мы не будем иметь с ним дело, так как ограничимся только определением общерекурсивной функции. По­ этому и в следующей главе мы будем примитивно ре-

курсивные функции называть по-прежнему рекурсив­ ными функциями.

Определение общерекурсивной функции состоит в

произвольная примитивно рекурсивная функция от од*

Тогда тем самым определяется неявная функция g($i) такая, что

H 2 = aGi)~t(3i. к) = о. Вместе с тем можно определить еще функцию

Как мы указывали выше, под термином «вычисли* мая функция» подразумевается, что для этой функции задан алгоритм, позволяющий для каждого значения аргумента определить значение функции. Задача же со­ стоит в уточнении понятия вычислимой функции, так как понятие алгоритма, на которое оно опирается, здесь пока употребляется лишь в интуитивном понимании, без всякого определения. Определение вычислимой

сивной функции состоит в том, что для каждой цифры $ мы вычисляем значения соответствующей примитивно рекурсивной функции г($, 0), r ( j , 0') и т. д., пока недой* дем до такой цифры $*, что r($, J*) примет значение 0, В силу предположения о функции г это непременно слу­ чится, и, следовательно, через конечное число шагов мы получим требуемую цифру $*. После этого мы вы* числим значение второй рекурсивной функции f(j*), ко­ торое, по определению, и будет значением данной об­ щерекурсивной функции. Может на первый взгляд

функции имеет слишком частный характер и не соот­ ветствует нашему интуитивному представлению об ал­ горитме и вычислимой функции. Иными словами, можно подумать, что возможно указать алгоритм для вы­ числения значений некоторой функции, которая заве­ домо не является общерекурсивной. Однако оказы­ вается, что все известные нам способы построения вы­ числимых функций, определенных на всем множестве натуральных чисел, приводят к общерекурсивным функ­ циям. Более детальный анализ этого вопроса, на кото­ ром мы останавливаться не будем, убедительно показы­

определения общерекурсивной функции с интуитивным понятием вычислимой функции, то не может быть речи о каком бы то ни было строгом доказательстве. Вопрос заключается в достаточной убедительности обстоя­ тельств, на которые опирается сравнение этих понятий. Утверждение о том, что эти два понятия совпадают, из­ вестно под названием тезиса Чёрча.

Определение понятия алгоритма было использовано для доказательства несуществования алгоритмов для решения того или иного класса задач. Так, например, Чёрч показал, что не существует алгоритма, решающего проблему разрешимости исчисления предикатов. Про­ блемы, заключающиеся в отыскании алгоритма, решаю­ щего ту или иную бесконечную серию однотипных за­ дач, получили название алгоритмических проблем. Не­ разрешимость алгоритмической проблемы означает, что искомый алгоритм невозможен. В последнее время по­ лучен ряд результатов, относящихся к неразрешимости алгоритмических проблем в различных разделах мате­ матики. В частности, советские математики А. А. Мар­ ков, П. С. Новиков и их ученики установили неразре­ шимость ряда алгоритмических проблем, касающихся групп, полугрупп, матриц, полиэдров, диофантовых

f- z -4- х' = z' + х.

Подставим в аксиому полной индукции вместо A (t) предикат z + t' — z' + t. Получим

b z + 0' = z' + 0& Ух[z + х' = z' -\- x-+z + х" = z' + х']-+

| - z + 0' = (z + 0)', I - z + 0 = г,

(- z' + 0 = г'.

Заменив в формуле (6) некоторые термы равными, по­ лучим

t-z + y' — z' + y.

Доказанная теорема может быть сформулирована следующим образом: если в сумме штрих с одного тер-